培优专题1三角形和有关概念含答案Word文档格式.docx
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(5)三角形具有稳定性。
4.补充性质:
在中,D是BC边上任意一点,E是AD上任意一点,则。
三角形是最常见的几何图形之一,在工农业生产和日常生活中都有广泛的应用。
三角形又是多边形的一种,而且是最简单的多边形,在几何里,常常把多边形分割成若干个三角形,利用三角形的性质去研究多边形。
实际上对于一些曲线,也可以利用一系列的三角形去逼近它,从而利用三角形的性质去研究它们。
因此,学好本章知识,能为以后的学习打下坚实的基础。
5.三角形边角关系、性质的应用
【分类解析】
例1.锐角三角形ABC中,∠C=2∠B,则∠B的范围是()
A.B.
C.D.
分析:
因为为锐角三角形,所以
又∠C=2∠B,
又∵∠A为锐角,为锐角
,即
,故选择C。
例2.选择题:
已知三角形的一个外角等于160°
,另两个外角的比为2:
3,则这个三角形的形状是()
A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.无法确定
由于三角形的外角和等于360°
,其中一个角已知,另两个角的比也知道,因此三个外角的度数就可以求出,进而可求出三个内角的度数,从而可判断三角形的形状。
解:
∵三角形的一个外角等于160°
∴另两个外角的和等于200°
设这两个外角的度数为2x,3x
解得:
与80°
相邻的内角为100°
∴这个三角形为钝角三角形
应选C
例3.如图,已知:
在中,,求证:
。
欲证,可作∠ABC的平分线BE交AC于E,只要证即可。
为与题设联系,又作AF//BE交CB的延长线于F。
显然∠EBC=∠F,只要证即可。
由可得证。
证明:
作∠ABC的角平分线BE交AC于E,过点A作AF//BE交CB的延长线于F
又∵BE平分∠ABC,∴∠EBC=∠ABE
∴∠F=∠FAB,∴AB=BF
又∵AB+FB>AF,即2AB>AF
又∵
,又∵
例4.已知:
三角形的一边是另一边的两倍。
求证:
它的最小边在它的周长的与之间。
首先应根据已知条件,运用边的不等关系,找出最小边,然后由周长与边的关系加以证明。
证明:
如图,设的三边为a、b、c,其中,
因此,c是最小边,
因此,,即
故最小边在周长的与之间。
中考点拨:
例1.选择题:
如图是一个任意的五角星,它的五个顶角的和是()
A.50B.100C.180D.200
分析:
由于我们学习了三角形的内角、外角的知识,所以需要我们把问题转化为三角形角的问题。
解:
所以选择C
已知三角形的两边分别为5和7,则第三边x的范围是()
A.大于2B.小于12C.大于2小于12D.不能确定
根据三角形三边关系应有,即
所以应选C
例3.已知:
P为边长为1的等边内任一点。
求证:
过P点作EF//BC,分别交AB于E,交AC于F,
则∠AEP=∠ABC=60°
在中,
是等边三角形
题型展示:
例1.已知:
如图,在中,D是BC上任意一点,E是AD上任意一点。
(1)∠BEC>∠BAC;
(2)AB+AC>BE+EC。
在
(1)中,利用三角形内角和定理的推论即可证出在
(2)中,添加一条辅助线,转化到另一个三角形中,利用边的关系定理即可证出。
(1)∵∠BED是的一个外角,
同理,
即
(2)延长BE交AC于F点
例2.求证:
直角三角形的两个锐角的相邻外角的平分线所夹的角等于45°
已知:
如图,在中,是的外角,AF、BF分别平分∠EAB及∠ABD。
∠AFB=45°
欲证,须证
∵AF、BF分别平分∠EAB及∠ABD
∴要转证∠EAB+∠ABD=270°
又∵∠C=90°
,三角形一个外角等于和它不相邻的两个内角之和
∴问题得证
∵∠EAB=∠ABC+∠C
∠ABD=∠CAB+∠C
∠ABC+∠C+∠CAB=180°
,∠C=90°
【实战模拟】
1.已知:
三角形的三边长为3,8,,求x的取值范围。
2.已知:
中,,D点在BC的延长线上,使,,,求α和β间的关系为?
3.如图,中,的平分线交于P点,,则()
A.68°
B.80°
C.88°
D.46°
4.已知:
如图,AD是的BC边上高,AE平分。
5.求证:
三角形的两个外角平分线所成的角等于第三个外角的一半。
【试题答案】
1.
本题是三边关系的应用问题,只需用三边关系确定第三边的取值范围即可。
∵三边长分别为3,8,,由三边关系定理得:
2.
又
根据三角形内角和,得:
3.
又∵BP、CP为∠B、∠C的平分线
4.
∵AE平分∠BAC,
又∵AD⊥BC,
5.
如图,设的∠BAC和∠ABC的外角平分线交于点D
则
。
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