届中考数学复习专题练专题三 方案设计问题3.docx
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届中考数学复习专题练专题三方案设计问题3
专题三方案设计问题
A组 2017年全国中考题组
一、选择题
1.(2017·浙江宁波,12,4分)如图,小明家的住房平面图呈长方形,被分割成3个正方形和2个长方形后仍是中心对称图形.若只知道原住房平面图长方形的周长,则分割后不用测量就能知道周长的图形标号为( )
A.①②B.②③C.①③D.①②③
解 如图,∵长方形被分割成3个正方形和2个长方形后仍是中心对称图形,∴A的对应点是A′,B的对应点是B′,∴AB=A′B′.∵①的长和②的边长的和等于原长方形的长,①的宽和②的边长的和等于原长方形的宽,∴①②的周长和等于原长方形的周长,∴分割后不用测量就能知道周长的图形的标号为①②,其余的图形的周长不用测量无法判断.故选A.
答案 A
二、填空题
2.(2017·浙江温州,16,5分)图甲是小明设计的带菱形图案的花边作品,该作品由形如图乙的矩形图案拼接而成(不重叠,无缝隙).图乙中,=,EF=4cm,上、下两个阴影三角形的面积之和为54cm2,其内部菱形由两组距离相等的平行线交叉得到,则该菱形的周长为________cm.
解析 设AB=6xcm,BC=7xcm,AF=ycm.
由题意得
解得
∴AB=12,AD=14,∴DF=9,
∴CF=15,∴FH=DH=.
∵△FGE∽△FHD,
∴=,∴FG=,
∴GH=-=.∴菱形的周长为.
答案
三、解答题
3.(2017·四川广安,21,12分)手工课上,老师要求同学们将边长为4cm的正方形纸片恰好剪成六个等腰直角三角形,聪明的你请在下列四个正方形中画出不同的剪裁线,并直接写出每种不同分割后得到的最小等腰直角三角形面积(注:
不同的分法,面积可以相等).
解 根据分析,可得
(1)第一种情况下,分割后得到的最小等腰直角三角形是△AEH,△BEF,△CFG,△DHG,每个最小的等腰直角三角形的面积是:
(4÷2)×(4÷2)÷2=2×2÷2=2(cm2).
(2)第二种情况下,分割后得到的最小等腰直角三角形是△AEO,△BEO,△BFO,△CFO,每个最小的等腰直角三角形的面积是:
(4÷2)×(4÷2)÷2=2×2÷2=2(cm2).
(3)第三种情况下,分割后得到的最小等腰直角三角形是△AHO,△DHO,△BFO,△CFO,每个最小的等腰直角三角形的面积是:
(4÷2)×(4÷2)÷2=2×2÷2=2(cm2).
(4)第四种情况下,分割后得到的最小等腰直角三角形是△AEI,△OEI,每个最小的等腰直角三角形的面积是:
(4÷2)×(4÷2)÷2÷2=2×2÷2÷2=1(cm2).
4.(2017·四川绵阳,21,8分)南海地质勘探队在南沙群岛的一小岛发现很有价值的A,B两种矿石,A矿石大约565吨,B矿石大约500吨,上报公司,要一次性将两种矿石运往冶炼厂,需要不同型号的甲、乙两种货船共30艘,甲货船每艘运费1000元,乙货船每艘运费1200元.
(1)设运送这些矿石的总费用为y元,若使用甲货船x艘,请写出y和x之间的函数关系式;
(2)如果甲货船最多可装A矿石20吨和B矿石15吨,乙货船最多可装A矿石15吨和B矿石25吨,装矿石时按此要求安排甲、乙两种货船,共有几种安排方案?
哪种安排方案运费最低并求出最低运费.
解
(1)根据题意得:
y=1000x+1200(30-x)=36000-200x.
(2)设安排甲货船x艘,则安排乙货船(30-x)艘,
根据题意得:
化简得:
∴23≤x≤25.
∵x为整数,∴x=23,24,25,
方案一:
甲货船23艘,则安排乙货船7艘,运费y=36000-200×23=31400元;
方案二:
甲货船24艘,则安排乙货船6艘,运费y=36000-200×24=31200元;
方案三:
甲货船25艘,则安排乙货船5艘,运费y=36000-200×25=31000元;
经分析得方案三运费最低,为31000元.
5.(2017·浙江金华,23,10分)图1、图2为同一长方体房间的示意图,图3为该长方体的表面展开图.
(1)蜘蛛在顶点A′处.
①苍蝇在顶点B处时,试在图1中画出蜘蛛为捉住苍蝇,沿墙面爬行的最近路线.
②苍蝇在顶点C处时,图2中画出了蜘蛛捉住苍蝇的两条路线,往天花板ABCD爬行的最近路线A′GC和往墙面BB′C′C爬行的最近路线A′HC,试通过计算判断哪条路线更近.
(2)在图3中,半径为10dm的⊙M与D′C′相切,圆心M到边CC′的距离为15dm,蜘蛛P在线段AB上,苍蝇Q在⊙M的圆周上,线段PQ为蜘蛛爬行路线,若PQ与⊙M相切,试求PQ长度的范围.
解
(1)①根据“两点之间,线段最短”可知:
线段A′B为最近路线,如图1所示.
②Ⅰ.将长方体展开,使得长方形ABB′A′和长方形ABCD在同一平面内,如图2①.
图1
图2①
在Rt△A′B′C中,∠B′=90°,A′B′=40,B′C=60,
∴AC===20.
Ⅱ.将长方体展开,使得长方形ABB′A′和长方形BCC′B′在同一平面内,如图2②.
图2②
在Rt△A′C′C中,∠C′=90°,A′C′=70,C′C=30,
∴A′C===10.
∵<,
∴往天花板ABCD爬行的最近路线A′GC更近;
(2)过点M作MH⊥AB于H,连结MQ,MP,MA,MB,如图3.
图3
∵半径为10dm的⊙M与D′C′相切,圆心M到边CC′的距离为15dm,BC′=60dm,
∴MH=60-10=50,HB=15,AH=40-15=25,
根据勾股定理可得AM===,
MB===,
∴50≤MP≤.
∵⊙M与PQ相切于点Q,∴MQ⊥PQ,∠MQP=90°,
∴PQ==.
当MP=50时,PQ==20;
当MP=时,PQ==55.
∴PQ长度的范围是20dm≤PQ≤55dm.
6.(2017·四川南充,22,12分)如图,矩形纸片ABCD,将△AMP和△BPQ分别沿PM和PQ折叠(AP>AM),点A和点B都与点E重合;再将△CQD沿DQ折叠,点C落在线段EQ上点F处.
(1)判断△AMP,△BPQ,△CQD和△FDM中有哪几对相似三角形?
(不需说明理由)
(2)如果AM=1,sin∠DMF=,求AB的长.
解
(1)△AMP∽△BPQ∽△CQD,
∵四边形ABCD是矩形,∴∠A=∠B=∠C=90°,
根据折叠的性质可知:
∠APM=∠EPM,∠EPQ=∠BPQ,
∴∠APM+∠BPQ=∠EPM+∠EPQ=90°.
∵∠APM+∠AMP=90°,∴∠BPQ=∠AMP,
∴△AMP∽△BPQ,同理:
△BPQ∽△CQD,
根据相似的传递性,△AMP∽△CQD;
(2)∵AD∥BC,∴∠DQC=∠MDQ,
根据折叠的性质可知:
∠DQC=∠DQM,
∴∠MDQ=∠DQM,
∴MD=MQ.
∵AM=ME,BQ=EQ,
∴BQ=MQ-ME=MD-AM,
∵sin∠DMF==,∴设DF=3x,MD=5x,
∴BP=PA=PE=,BQ=5x-1.
∵△AMP∽△BPQ,∴=,∴=,
解得:
x=或x=2,
∴AB=或6.
B组 2017~2017年全国中考题组
解答题
1.(2017·天津,24,8分)甲、乙两商场以同样的价格出售同样的商品,并且又各自推出不同的优惠方案:
在甲商场累计购物超过100元后,超出100元的部分按90%收费;在乙商场累计购物超过50元后,超出50元的部分按95%收费.设小红在同一商场累计购物x元,其中x>100.
(1)根据题意,填写下表(单位:
元):
累计购物
实际花费
130
290
…
x
在甲商场
127
…
在乙商场
126
…
(2)当x取何值时,小红在甲、乙两商场的实际花费相同?
(3)当小红在同一商场累计购物超过100元时,在哪家商场的实际花费少?
解
(1)在甲商场:
271,0.9x+10;在乙商场:
278,0.95x+2.5.
(2)根据题意,有0.9x+10=0.95x+2.5,解得x=150,
∴当x=150时,小红在甲、乙两商场的实际花费相同;
(3)由0.9x+10<0.95x+2.5,解得x>150,
由0.9x+10>0.95x+2.5,解得x<150.
∴当小红累计购物超过150元时,在甲商场的实际花费少.
当小红累计购物超过100元而不到150元时,在乙商场的实际花费少.当小红累计购物150元时,甲、乙商场花费一样.
2.(2017·山东济宁,20,8分)在数学活动课上,王老师发给每位同学一张半径为6个单位长度的圆形纸板,要求同学们:
(1)从带刻度的三角板、量角器和圆规三种作图工具中任意选取作图工具,把圆形纸板分成面积相等的四部分;
(2)设计的整个图案是某种对称图形.王老师给出了方案一,请你用所学的知识再设计两种方案,并完成下面的设计报告.
名 称
四等分圆的面积
方 案
方案一
方案二
方案三
选用的工具
带刻度的三角板
画出示意图
简述设计方案
作⊙O两条互相垂直的直径AB,CD,将⊙O的面积分成相等的四份
指出对称性
既是轴对称图形又是中心对称图形
解
名称
四等分圆的面积
方案
方案一
方案二
方案三
选用的工具
带刻度的三角板
带刻度三角板、
量角器、圆规
带刻度三角板、
圆规
画出示意图
简述设计方案
作⊙O两条互相垂直的直径AB,CD,将⊙O的面积分成相等的四份.
(1)以点O为圆心,以3个单位长度为半径作圆;
(2)在大⊙O上依次取三等分点A,B,C;
(3)连结OA,OB,OC.则小圆O与三等份圆环把⊙O的面积四等分
(1)作⊙O的一条直径AB;
(2)分别以OA,OB的中点为圆心,以3个单位长度为半径作⊙O1,⊙O2;
则⊙O1,⊙O2和⊙O中剩余的两部分把⊙O的面积四等分
指出对称性
既是轴对称图形又是中心对称图形
轴对称图形
既是轴对称图形又是中心对称图形
3.(2017·山东烟台,23,8分)山地自行车越来越受到中学生的喜爱,各种品牌相继投放市场,某车行经营的A型车去年销售总额为5万元,今年每辆售价比去年降低400元,若卖出的数量相同,销售总额将比去年减少20%.
(1)今年A型车每辆售价多少元?
(用列方程的方法解答)
(2)该车行计划新近一批A型车和新款B型车共60辆,且B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍,应如何进货才能使这批车获利最多?
A,B两种型号车的进货和销售价格如下表:
A型车
B型车
进货价格(元)
1100
1400
销售价格(元)
今年的销售价格
2000
解
(1)设今年A型车每辆售价a元,则去年每辆售价(a+400)元,得
=.解得:
a=1600.
经检验,a=1600是所列方程的根.
答:
今年A型车每辆售价为1600元.
(2)设车行新进A型车b辆,则B型车为(60-b)辆,获利润y元.由题意,得
y=(1600-1100)b+(2000-1400)(60-b),
即y=-100b+36000.
∵B型车的进货数量不超过A型车数量的2倍,
∴60-b≤2b,∴b≥20.
由y与b的关系式可知,-100<0,y的值随b值的增大而减小.∴当b=20时,y的值最大.
∴60-b=60-20=40(辆).
答:
当车行新进A型车20辆,B型车40辆时,这批车获利最大.
4.(2017·浙江舟山,22,10分)小明在
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