人教版高中数学选修2123《双曲线的简单几何性质第1课时》教学设计Word下载.docx
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A.1B.2C.3D.4
【知识点】双曲线的几何性质.
【解题过程】
(1)中与有相等的焦距与实轴长,故两形状形同;
与具有形同渐近线的双曲线可表示为,故②不对③正确;
④中的取值范围不确定,故④不对.
【思路点拨】注意利用双曲线方程的结构认识双曲线的几何性质.
【答案】B
(二)课堂设计
1.知识回顾
在椭圆部分,我们曾经从图形和标准方程两个角度来研究椭圆的几何性质.那么,你认为应该研究双曲线的哪些性质呢?
范围、对称性、顶点、离心率等.
这就是我们今天要共同学习的内容:
双曲线的简单几何性质
2.新知讲解
探究一:
探究双曲线的简单几何性质
●活动①师生互动,探索性质
我们先来研究一下焦点坐标在x轴上的双曲线的简单几何性质.
由标准方程,从横的方向来看,直线x=-a,x=a之间没有图象,从纵的方向来看,随着x的增大,y的绝对值也无限增大,所以曲线在纵方向上可无限伸展,不像椭圆那样是封闭曲线.双曲线不封闭,但仍称其对称中心为双曲线的中心.
(1)范围:
问题1:
从图形看,x的取值范围是什么?
问题2:
从标准方程能否得出这个结论呢?
问题3:
y的范围呢?
(2)对称性
从图形看,双曲线关于什么对称性?
关于x轴、y轴和原点都是对称的
那么,类比椭圆几何性质的推导,从标准方程如何得出这个结论呢?
提示:
用-y代替原方程中的y,若方程不变,则该曲线关于x轴对称.同理,若用-x代替原方程中的x,若方程不变,则该曲线关于y轴对称.若用-x,-y分别代替原方程中的x,y,若方程不变,则该曲线关于原点对称.
所以,双曲线是关于x轴、y轴和原点都是对称的x轴、y轴是双曲线的对称轴,原点是对称中心,又叫做双曲线的中心.
【设计意图】问题引领,培养学生类比、归纳能力.
(3)顶点
椭圆的顶点有几个?
(4个)它是如何定义的?
(椭圆与对称轴的交点)
类比椭圆顶点的定义,我们把双曲线与对称轴的交点,叫做双曲线的顶点.由图形可以看到,双曲线的顶点有几个?
顶点坐标是?
虽然对比椭圆,双曲线只有两个顶点,但我们仍然把标在图形上.为了后面定义渐近线表述的方便,定义如图矩形为双曲线的特征矩形.
椭圆中有长轴和短轴的概念,并且长轴比短轴长.双曲线中也有类似的定义.如图,线段叫做双曲线的实轴,它的长为2a,a叫做半实轴长;
线段叫做双曲线的虚轴,它的长为2b,b叫做双曲线的半虚轴长.
我们知道,双曲线定义中a和b的大小关系是不确定的.但是它们之间存在一种特殊的关系:
a=b.此时实轴2a和虚轴2b也是相等的.实轴与虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线.等轴双曲线的方程为.
(4)渐近线
标准位置下的双曲线的渐近线应该是什么呢?
通过操作确认,发现渐近线是双曲线特征矩形的对角线,其方程是.
定义:
特征矩形的两条对角线叫做双曲线的渐近线.
双曲线的渐近线方程是即.
注意:
通过变形,对比双曲线方程与渐近线方程,可以发现:
将双曲线方程中的1改为0后得到新的方程,它的解就是两条渐近线方程.(此处提供了一种求双曲线的渐近线方程的方法,避免记忆公式)
焦点在y轴上的双曲线的渐近线:
即
(5)离心率
类比椭圆,我们把双曲线的焦距与实轴长的比,叫做双曲线的离心率.
椭圆离心率的范围是什么?
(0<
e<
1).它对椭圆的形状有何影响?
(影响椭圆的扁平程度,e越大椭圆越扁).
那么,双曲线的离心率的范围是什么呢?
由等式,可得:
,不难发现:
e越小(越接近于1),就越接近于0,双曲线开口越小;
e越大,就越大,双曲线开口越大.所以,双曲线的离心率反映的是双曲线的开口大小.通过对这些性质的探究,就可以更好的理解双曲线图形与这些基本量之间的关系,更加准确的作出双曲线的图形.
e对双曲线的形状有何影响呢?
得出结论:
e是表示双曲线开口大小的一个量,e越大开口越大.
●活动②巩固基础,检查反馈
例1.求双曲线的半实轴长和半虚轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程.
【解答过程】把方程化为标准方程.
由此可知,半实轴长,半虚轴长.所以,焦点坐标是
离心率,渐近线方程是.
【思路点拨】从方程研究双曲线的几何性质,需要将方程转化为标准形式.
【答案】见解题过程.
同类训练已知双曲线过点,离心率,求该双曲线的标准方程.
【解题过程】若双曲线焦点在轴上,设双曲线方程为:
,由条件知:
,解得:
.
若双曲线焦点在轴上,设双曲线方程为:
,同理可得:
(不符合,舍去).
所以,双曲线方程为.
【思路点拨】解题时注意双曲线焦点的位置.
【答案】.
例2.已知双曲线的渐近线方程为,且双曲线过点,求此双曲线的标准方程.
【知识点】渐近线方程.
【解题过程】设所求双曲线的标准方程可设为,由题意得,解得.
所以,所求双曲线的标准方程为.
【思路点拨】结合渐近线方程与双曲线方程之间的关系,对渐近线是的双曲线方程可设为,再通过待定系数法求解.
同类训练一椭圆的方程为,焦距为.若一双曲线与此椭圆共焦点,且它的实轴比椭圆的长轴短,双曲线的离心率与椭圆的离心率之比是,求椭圆和双曲线方程.
【知识点】椭圆与双曲线的几何性质.
【解题过程】设分别为双曲线的实半轴、虚半轴长.依题意知:
于是,椭圆的短半轴长,双曲线的虚半轴长,故椭圆、双曲线方程分别为.
【思路点拨】灵活利用双曲线的几何性质解题.
【答案】椭圆方程:
;
双曲线方程:
例3.求与双曲线共渐近线,且通过点的双曲线的标准方程.
【知识点】双曲线的标准方程与渐近线方程.
【解题过程】因为与双曲线共渐近线,故可设所求双曲线方程为:
把代入,得
所求双曲线方程为:
【思路点拨】渐近线的双曲线独有的性质,对不同形式的双曲线方程,须牢记渐近线方程,同时要熟练掌握共渐近线的双曲线方程的统一形式:
与共渐近线的双曲线方程为:
同类训练已知双曲线的渐近线方程是,求该双曲线的离心率.
【解题过程】若双曲线焦点在轴上,设方程为,由题意知:
,又,故,所以.
若双曲线焦点在轴上,同理可得:
综上,或.
【思路点拨】利用双曲线的方程解决相应几何性质问题,注意解题时分清双曲线焦点的位置.
【答案】或.
3.课堂总结
知识梳理
双曲线的简单几何性质:
焦点的位置
焦点在轴上
图形
标准方程
范围
顶点
轴长
实轴长,虚轴长.
焦点
焦距
,其中,
对称性
对称轴:
轴,对称中心:
离心率
,范围:
渐近线方程
重难点归纳
(1)双曲线的渐近线方程是即
(2)渐近线是的双曲线方程可设为
(三)课后作业
基础型自主突破
1.已知a>
b>
0,椭圆C1的方程为+=1,双曲线C2的方程为-=1,C1与C2的离心率之积为,则C2的渐近线方程为()
A.x±
y=0B.x±
y=0
C.x±
2y=0D.2x±
【知识点】双曲线的性质.
【解答过程】e==,e==,
∴e·
e==1-()4=,∴=,∴双曲线的渐近线方程为y=±
x.
【思路点拨】由双曲线离心率的定义求解.
【答案】A
2.双曲线mx2+y2=1的虚轴长是实轴长的2倍,则m等于()
A.-B.-4
C.4D.
【知识点】双曲线的标准方程及几何性质.
【解答过程】双曲线方程化为标准形式:
y2-=1,
则有:
a2=1,b2=-,
由题设条件知,2=,∴m=-.
【思路点拨】由双曲线方程的性质整理即可.
3.双曲线x2-=1的离心率大于的充分必要条件是()
A.m>
B.m≥1
C.m>
1
D.m>
2
【解答过程】双曲线离心率e=>
,所以m>
1,选C.
【思路点拨】由双曲线性质即可.
【答案】C
4.以椭圆+=1的长轴端点为焦点、以椭圆焦点为顶点的双曲线方程为()
A.-=1B.-=1
C.-y2=1D.-y2=1
【知识点】双曲线的标准方程.
【解答过程】椭圆+=1中,a=2,c=,由条件知,双曲线中焦点为(±
2,0),顶点为(±
,0),∴选A.
5.若双曲线+=1的渐近线方程为y=±
x,则双曲线的焦点坐标是________________.
【知识点】双曲线的标准方程及渐近线的性质.
【解答过程】由双曲线方程得出其渐近线方程为y=±
x,∴m=-3,求得双曲线方程为-=1,从而得到焦点坐标(,0)(-,0).
【思路点拨】由双曲线及渐近线性质即可.
【答案】
(,0)(-,0)
6.两个正数a,b的等差中项是,等比中项是2,且a>b,则双曲线-=1的离心率为________.
【解答过程】∵两个正数a,b的等差中项是,等比中项是2,且a>b,
∴解得a=5,b=4,
∴双曲线方程为-=1,∴c==,
∴双曲线-=1的离心率e==.
【思路点拨】由双曲线离心率的性质即可.
能力型师生共研
1.已知双曲线-=1(b>
0)的左、右焦点分别是F1、F2,其一条渐近线方程为y=x,点P(,y0)在双曲线上,则·
=()
A.-12B.-2
C.0D.4
【知识点】双曲线及其渐近线的性质.
【解答过程】由渐近线方程为y=x知,=1,∴b=,
∵点P(,y0)在双曲线上,∴y0=±
1,
y0=1时,P(,1),F1(-2,0),F2(2,0),∴·
=0,
y0=-1时,P(,-1),·
=0,故选C.
【思路点拨】由双曲线的性质即可.
2.已知F1、F2为双曲线的焦点,以F1F2为边作正三角形,若双曲线恰好平分另外两边,则双曲线的离心率为()
A.1+B.1-
C.D.
【解答过程】设以F1F2为边的正三角形与双曲线右支交于点M,在Rt△MF1F2中可得,|F1F2|=2c,|MF1|=c,|MF2|=c,由双曲线的定义有|MF1|-|MF2|=2a,即c-c=2a,所以双曲线的离心率e===+1,故选A.
【答案】A
探究型多维突破
1.若F1,F2是双曲线-=1的左、右两个焦点,点P在双曲线上,且|PF1|·
|PF2|=32,求∠F1PF2的大小.
【解答过程】由双曲线的方程,知a=3,b=4,所以c=5.
由双曲线的定义得,||PF1|-|PF2||=2a=6.
上式两边平方得,|PF1|2+|PF2|2=36+2|PF1|·
|PF2|=10
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- 双曲线的简单几何性质第1课时 人教版 高中数学 选修 2123 双曲线 简单 几何 性质 课时 教学 设计