导波光学题库Word文档格式.docx
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故
对
(1)式两边求旋度,得
所以,均匀各向同性良好的无磁性的线性介质的波动方程为
对于非均匀介质,为空间的函数,则(4)式变为
对
(2)式两边取旋度,得
所以非均匀各向同性良好的无磁性的线性介质的波动方程为
当时,,,两波动方程表达式相同.
2.对于均匀各向同性良好的无磁性圆柱形介质,在求解其中磁场方程的表达式时,只直接求纵向分量,而不求横向分量.试述其原因.
将电磁场方程的和用沿z轴方向的纵向分量和垂直于z轴的横向分量来表示,即,由Helmholtz方程
得
即
故有
同理,有
所以,Helmholtz变为
(1)式为标量方程,
(2)式为矢量方程.求解
(1)简便,为求横向分量,便用纵向分量来表示.又由于
同理
左叉乘(6)式,
∴
∴(7)
左叉乘(4)式,
∴(8)
由(7)(8)两式得
3.从频域的Maxwell方程组出发,证明无限大均匀介质中的平面电磁波为TEM波.
证明:
∵
令则
又
∴(6)
由
所以该电磁波为TEM波.
4.由无限大均匀介质中的Maxwell方程组
(提示:
)
5.由方程
推导平面波矢与z轴的夹角为时,单轴介质内光速的表达式.
用矢量左叉乘的两边,得
对于单轴介质,在主轴坐标系中,
用矩阵表示为
若上式有解,须
由
(1)式得
由
(2)式得
光速表达式为和.
6.证明在非均匀介质中光线发生弯曲,指向折射率较高的区域.
设表示沿射线切线方向的单位矢量,则.由路径方程得
而
其中为该点的曲率半径.方向与垂直且指向曲率中心,则,垂直于,故
两边点乘,则
又∵∴.这说明光纤轨迹的主法线与折射率梯度之间的夹角是锐角,即光线发生弯曲指向折射率较高的区域.
光线传播的路径方程为,均可看作的函数,将上式展开为
又∵
其中为曲率半径,为曲线主法线方向的单位矢量.易知
选取自然坐标系,则
为路径上任一点的切线的单位矢量.若光线走过的路程,则
如左图所示,沿光线传播方向恒成立,故
此题得证.
7.如图所示的均匀薄膜波导的芯层折射率为,上下两侧的折射率均为,且.试问:
当光线与z轴的夹角满足什么条件时,光线为束缚光线和折射光线?
设临界角为,则.当时光线为束缚光线,当时光线为折射光线.而,
故当即
∴时为束缚光线.
当即
∴时为折射光线.
8.已知某光波导的折射率分布为
,
求其光线的路径方程.
令,则,有
9.试比较均匀薄膜波导和阶跃光纤中光线传播的异同点.
答:
相同点:
①光线的传播路径都是直线.
②光线的传播时延和传播时延差的表达式完全一样.
不同点:
①在均匀薄膜光波导中光线只有束缚光线和折射光线;
而在阶跃光纤中除了束缚光线和折射光线外,还有漏泄光线.
②在均匀薄膜光波导中束缚光线的路径是平面锯齿状的折线;
而在阶跃光纤中子午光线的束缚光线的路径是平面锯齿状的折线,偏斜光线的束缚光线的路径是空间折线.
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