考研数二真题及解析Word文档格式.docx
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已知函数f(x)在(0,十叼内可导f(x):
>
0,limf(x)=1,且满足邺W'
求f(x).
六、(本题满分8分)
求微分方程xdy+(X-2y)dx=0的一个解y=y(x),使得由曲线y=y(x),与直线
X=1,x=2以及x轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周的旋转体体积最小
七、(本题满分7分)
某闸门的性状与大小如图所示,其中直线l为对
称轴,闸门的上部为矩形ABCD,下部由二次抛物线与线段AB所围成,当水面与闸门的上端相平时,欲使闸门矩形部分承受的水压力与闸门下部承受的水压力之比为5:
4,闸门矩形部分的高h应为多少m(米)?
九、(本题满分8分)
十、(本题满分8分)
设函数f(X)在X=0的某邻域内具有二阶连续导数,且f(0)H0,f'
(0)H0,f"
(0)H0.
证明:
存在惟一的一组实数再,扎2,扎3,使得当hT0时,
(m+XJ(2h)+為f(3h)-f(0)
是比h2高阶的无穷小.
卜一、(本题满分6分)
八、(本题满分8分)
十二、(本题满6分)
2宀3,
已知4阶方阵A=(01,口2,(^3,04),%,口2,口3,口4均为4维列向量,其中020304线性无关,口1=2^2-口3.如果P=«
1+口2+^3+^4,求线性方程组Ax=P的通解.
全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析
一、填空题
【答案】二2
【详解】如果分段函数f(X)连续,则f(x)在0点处的左右极限相等,从而确定a的值.
当xtO+时,1—etanxLI_tanx_—x;
arcsin-Lx,所以有
-22
/ItanX,
..£
/\I-1_e].—tanx].—x
lim,f(X)=lim=lim=lim—=-2;
x_0+.xx7十x
arcsin---
222
limf(x)=limae2x=a=f(0)
—x—0—
如果f(x)在X=0处连续,必有f(0,=f(0J=f(0),即a=—2.
-be-beL-I
【详解】面积S=Ixeddx=-J0xde」=一[xe」一jrdx]0
=-Txe^-e^l=-limfxe^-e^-lim「be』-e」-11=1
L」0L七b—jfccL」
(3)
【答案】y=
原方程yy"
+y"
2=0化为yp—+p2=0,得dy
dp
P=0或y——+P=0
dy
dy1
dx2y
特解y=Jx+1.
2^2
⑷【答案】竺2
【详解】利用定积分的概念将被积函数化为定积分求极限.
因为nim1N1+cosn+J1+cos-+「Z+cosw
=lim丄2」1+cos上i匸=丄limSf(―^xi
—Vnn兀Yyn
其中f(X)=J1+cosx,Axi=二,(i=1,2,川,n),所以根据定积分的定义,有
n
1rHII~
lim—U+cos—+J1+cos—+...+J1+cos—Yn卩nVn¥
n
1严近严x2^2
^?
H^cosxd^r4cos2dx^
⑸【答案】4
7
f0
-2
—2、
2、
几E-A=
-12
Z-2
1
I
■
I-2
2>
扎-2」
2-2
(对应元素相减)
两边取行列式,
Z
A
/―/―
把第2行的公
Q
a-2
2行+3仃0
r
_1,…rrh
因子入提出来
九一2
人一2
aE-A=
(其中(-1)仆指数中的1和1分别是A所在的行数和列数)
=入2(入_2_2)=)/()「一4)
A=4是矩阵的非零特征值.(另一个特
令aE—A=0,解得打=為=0,為:
=4,故征值是A=0(二重))
二、选择题
(1)
【答案】
(D)
t=—u,贝ydt=—du,所以
7x
F(-X)珥t[f(t)+f(-t)]dt=.0(-u)[f(-u)+f(u)]-du
x
=.0u[f(-u)+f(u)]du=F(x),
所以(D)为偶函数.同理证得(A)、(C)为奇函数,而(B)不确定,如f(t)=1+t.故应选(D).
(C)
【详解】由y”+Py・+qy=e3x,且y(0)=y'
(0)=0,可知y”(0)=1
方法1因为当X2T0时,ln(1+x2)[|X2,所以
X22x22
=lim=lim=lim=-=2,
Ty(x)7y'
(x)Ty"
(x)1
故选(C)•
⑸【答案】A
【详解】方法1对任意常数k,向量组a1a2a3,P2线性无关.用反证法,若
线性表出.即存在常数為,扎,使得kd+p2=冰4+為02+几曲3
又已知P1可由%,口2,口3线性表出,即存在常数l1,l2,l3,使得h=Im+1尹2+1尹3
代入上式,得
k优+p2=kQq+12^2+I3O3)+p2=>
4%+^25+入303
=^2=(—kh)%中(/吃一灯2)02+('
■■C—kb)O3
与p2不能由
a1^2^3线性表出矛盾.故向量组a1^2^3,
kPi+p2线性无关,选(A)
方法2:
用排除法
B选项:
取k=0,向量组a1^2^3,kP1+P2即%,口2,03,陶线性相关不成立,
否则因为a
4,口3,P2线性相关,又%,02,^3线性无关,故P2可由a1,^2,口3线性表
出•即存在常数和為,為,使得^2=f^1与已知矛盾,排除(B)•
C选项:
取k=0,向量组a1,^2,s,p1+kp2,即%,口2,03,p1线性无关不成
立,因为叫可由«
1^2^3线性表出,%,口2,口3,氏线性相关,排除(C)•
D选项:
kH0时,amazes,Pj+kS线性相关不成立.若^1^2^3,P1卄駡
线性相关,因已知a1^2^3线性无关,故Pj+kl可由ct1^2^3线性表出.即存在常
数[片厶,兀3,使得P1+kP2=^1+)护2+為叫.又已知时可由%严2严3线性表出,
即存在常数Ii,l2,l3,使得Pl=10+12^2+*3代入上式,得
A+kP2=(1卩1+02+13叫)+犀2=^1+^2+^3
=kp2=a-l1)%+@2T2)a2中@3T3)S
因为20,故越=4%十32僅2十334
kkk
与P2不能由叫‘冬企线性表出矛盾.故%尸2尸3,fVkP2线性相关不成立,排除(D)•
1)2)
2,53-
故选(A)•
IX=rcos日
三【详解】由极坐标到直角坐标的变换公式«
,化极坐标曲线r=1-cos日为直
ly=rsin日
角坐标的参数方程为
de
于是得切线的直角坐标方程为
1^3y/333厂
y—(厂〒Wx—W,即X"
讣
(这是由直线的点斜式得到的,直线的点斜式方程为
y-y。
=k(x-x0),由导数的几何意义
=)),
知在0=兀时斜率为1,且该点的直角坐标为(逅-m,1
6242
法线方程为
1431433731
y飞盲)「(-(厂?
即x+y盲+厂0.
(这是由直线的点斜式方程及在同一点切线斜率与法线斜率为负倒数的关系而得
四【详解】当一1<
x<
0时
xx32
F(x)=Jjf(t)dt=L(2t+?
t2)dt=(t
+y)
-1
+X21
当0<
1时,
所以
五【详解】
从而得到
于是推得
F(x)=<
因为
解此微分方程,
Sx2—丄
22
当一1<
xcO
X4
"
寿一&
^^^2—2,当0乞x<
1f、
〔f(X+hx)[
If(x)丿■
liml|n
Th
仃(x+hx)Lliml(lnf(x+hx)-Inf(x)),丿Th
If(x)
^lim(lnf(^hx^lnf(x)pc^(|nf(x)),x
xf\x)
hx
f(x)
limfxM
TI---
xf(x)
再由条件lim
x_j{oC
f(x)丿
xf(x)1
二e帀由题设e:
=(lnf(X))X=丄,即(lnf(x))'
=2
xx
lnf(X)=—丄+C1,改写成f(X)=CeX
f(X)=C■,于是得f(X)=e7
六【详解】这是一阶线性微分方程y'
——y=—1,由通解公式(如果一个一阶线性方程为
_Jp(x)dx『P(x)dx
y+p(x)y=q(x)那么通解为y=e、[Jq(x)e'
dx+C])有
2dx_2dx21212
y=e'
x[-〔e&
dx+C]=x2[—[右dx+C]=x2(—+C)=x+Cx2,1<
x<
2XX
由曲线y=x+Cx2与x=1,x=2及x轴围成的图形绕x轴旋转一周的旋转体的体积为
222312157
…⑴—孑”7)
(旋转体的体积公式:
设有连续曲线「y=f(x)(a<
b),f(x)>
0与直线x=a,x=b及
b2
X轴围成平面图形.该图形绕X轴旋转一周产生旋转体的体积为V=J兀f(x)2dx)
a
取C使V最小,由求最值的方法知先求函数的驻点,即dV=0的点,
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- 考研 数二真题 解析