组合数学2章母函数Word文档下载推荐.docx
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nJn?
!
nm
S={n1e,n2e2,,nmem},n1+n2+…+nm=nnk>
1,
(k=1,2,…,m)
r=1
m
所有nk>
r
Cr
匕mr1
rm
至少有一个nk满足Knk<
r
基本思想:
把离散的数列同多项式或幕级数对应起来,从而把离散数列间的结合关系转化为多项式或幕级数之间的运算。
2.1母函数
(一)母函数
(1)定义
定义2.1.1对于数列an,称无穷级数Gxanxn为该数
n0列的(普通型)母函数,简称普母函数或母函数。
(2)例
例2.1.1有限数列C(n,r),r=0,1,2,…,n的普母函数是。
Gx=C0C:
xC2x2C:
xn=1xn
例2.1.2无限数列{1,1,…,1,-}的普母函数是
Gx=1xx2xn=-^
1x
(3)说明
•an可以为有限个或无限个;
•数列an与母函数对应,即给定数列便得知它的母函数;
反
之,求得母函数则数列也随之而定;
例如,无限数列{0,1,1,…,1,…}的普母函数是
x2
•这里将母函数只看作一个形式函数,目的是利用其有关运算性质
完成计数问题,故不考虑“收敛问题”,而且始终认为它是可“逐
项微分”和“逐项积分”的
(4)常用母函数
{ak},k=0,1,…
G(x)
{ak},k—0,1,…
ak=1
ak—ak
1ax
ak=k
x
ak—k+1
1x2
ak=k(k+1)
2x
ak—k2
x1x
3
ak=k(k+1)(k+
2)
6x
4
ak—,任
k
意
ca
ao—0,ak—
-In(1-ax)
ak——,任
k!
xe
1k
COSx
〜1k
sin以
ak—
2k!
2k1!
2k1
larctan以vx
nk
“n1
(二)组合问题
(1)组合的母函数
定理2.1.1组合的母函数:
设Sn1e1,n2e2,,nmem,且ni+n2+…+nm=n,则S的r可重组合的母函数为
mnin
Gx=xj=arxr(2.1.1)
i1j0r0
其中,r可重组合数为xr之系数ar,r=0,1,2,…,n.
定理2.1.1的优点:
•将无重组合与重复组合统一起来处理;
•使处理可重组合的枚举问题变得非常简单
(2)特例
推论1S
e1,e2,,en,则r无重组合的母函数为
(2.1.2)
G(x)=(1+x)n
组合数为xr之系数C(n,r)
推论2Se2,
,则r无限可重组合的母函数为
n
G(x)=
xj
j0
(2.1.3)
组合数为xr之系数C(n+r-1,
r)
推论3Se1,e2,
重组合(r>
n)的母函数为
en
,每个元素至少取一个,则r可
(2.1.4)
G(x)=xj
j1
组合数为xr之系数C(r-1,n-1)
推论4Se1,
r可重组合的母函数为
每个元素出现非负偶数次,则
G(x)=1x2x4
x2n
1x2n
(2.1.5)
组合数为xr之系数
0,当r为奇数
ar=
2ri,当r为偶数
推论5Se1,e2,
可重组合的母函数为
G(x)=xx3x5
en,每个元素出现奇数次,则r
x2n1
nx
1x2
2.1.6)
0,当rn为奇数
ar
cnJX亍,当rn为偶数
推论6设Sn〔e1,n2e2,,nmem,且n2+…+nm=
n,要求元素ei至少出现ki次,则S的r可重组合的母函数为
mn,n
G(x)=xj=arxr(2.1.7)
i1jkirk
其中,r可重组合数为xr之系数ar,r=k,k+1,…,n,k=k1+
k2+…+km
(3)—般情形:
设S20a,30b,c,并设元素a
只能出现1〜5,10,13,16次,b只允许出现奇数次,c至少出
现5次且必须出现偶数次,求S的r可重组合的母函数。
2
G(x)=xx
10
13
16
296
xx3
(三)应用
例2.1.3设有2个红球,1个黑球,1个白球,问
(1)共有多少种不同的选取方法,试加以枚举?
(2)若每次从中任取3个,有多少种不同的取法?
解
(1)设想用X,y,z分别代表红、黑、白三种球,两个红球的取法与X0,X1,X2对应起来,即红球的可能取法与1+x+X2中X的各次幕一一对应,亦即X0=1表示不取,X表示取1个红球,X2表示取两个。
对其它球,依此类推。
则母函数
G(x,y,z)=(1+x+x)(1+y)(1+z)
=1+(x+y+z)+(x2+xy+xz+yz)+(x2y+x2z+xyz)+
(xyz)
共有5种情况,即
1数字1表示一个球也不取的情况,共有1种方案;
2取1个球的方案有3种,分别为红、黑、白三种球只取1个;
3取2个球的方案有4种,即2红、1红1黑、1红1白、1黑1白;
4取3个球的方案有3种,即2红1黑、2红1白、三色球各一;
5取4个球的方案有1种,即全取。
若令x=y=z=1,就得所有不同的选取方案总数为
G(1,1,1)=1+3+4+3+1=12
(2)若只考虑每次取3个的方案数,而不需枚举,则令y
=X,z=X,便有
2234
G(x)=(1+x+x)(1+x)(1+x)=1+3x+4x+3x+x
由X3的系数即得所求方案数为3。
例2.1.4有18张戏票分给甲、乙、丙、丁4个班(不考虑座位号),其中甲、乙两班最少1张,甲班最多5张,乙班最多6张,丙班最少2张,最多7张,丁班最少4张,最多10张,问有多少种不同的分配方案?
解
(1)分析问题:
这实质上是由甲、乙、丙、丁四类共28个元素中可重复地取18个元素的组合问题。
其中S5e1,6e2,7e3,10e4,m=4,n=n1+n2+n3+n4=5+6+7+10=28,k=k1k2k3k4=1+1+2+4=8,r=18。
由推论6知相应的母函数为
67
ii
XX
i1i2
140种分配方案。
求解:
5
i
X
i1
共有
i4
81828
=x+…+140x+…+x
所以,
(3)特殊情况处理:
若将戏票数改为下限数ki=0(i=1,2,3,4),这时
r=4张,各班所分戏票的
G1(x)=xi
i0
6
7
=14x35x4
x28
G2(X)=
Xi
4x
1_
1X435x4
4495x28
中x4的系数是一样的,
因为将xi扩展为i0
数,故用G2(x)计算要比用G1(x)方便得多。
同理,当r=6时,可以用
Xi并不影响
4的系
G3(x)=xi
来代替G1(x)求x6的系数。
r只(rn),要求其中没有任何两只是成对的,问共有多少种不同的取法?
例2.1.5从n双互相不同的鞋中取出
解法一:
用母函数方法。
即视为S2e^,2e2,,2en,但同
类中的两个ei不一样,即S应为
Se11,e12,e21,e22,,en1,en2
故其r重组合的母函数为
nnnrr
G(x)=(1+2x)n=2rxr
r0r
即不同的取法共有arn2r种。
由于每类元素最多只能出现一次,故G(x)=12xn中不能有
x2项,再由同双的两只鞋子有区别知,x的系数应为2。
解法二:
用排列组合。
先从n双鞋中选取r双,共有n种选法,r
再从此r双中每双抽取一只,有2r种取法,由乘法原理,即得结果同上。
解法三:
仍用排列组合。
先取出k只左脚的鞋,再在其余nk双
鞋中取出rk只右脚的鞋k
nnnn1
r0r1r1
0,1,2,,r,即得取法数为
nn2nnr
2r2r0
由此得组合恒等式
nrnr
=2r
0r
此类问题的一般提法是:
设集合S中共有m类元素,其中第i类有ni个,且同类的元素也互不相同,即S=e11,e12,,e1n1;
e21,e22,,e2n2;
;
em1,em2,,emnm。
现从中取出r个,若规定第i类元素不能少于ki个,则S的r组合的母函数为mninjj
G(x)=;
xJ
i1jkiJ
例如,把5本相同的书分给甲、乙、丙3个班,再发到个人手上,每人最多发一本。
考虑将分给某班的某本书发给该班的同学A与将其发给同学B被认为是不同的分法(每个同学最多一本),而且甲、乙两班最少1本,甲班最多5本,乙班最多6本,丙班最少2本,最多9本,问有多少种不同的分配方案?
这时,S—en,e12,,e15;
e21,e22,,e26;
e31,e32,,e39,
m3,n=n2n3=5+6+9=20,k=k1k2k3=1+1+2=4,
r=5。
故r组合母函数为,
G(x)=
55i66ixxi1ii1i
99
i2i
56
94
=
x4
11
69569
95
+
x+…
13122
21
6920
x20
69
=1080x4
+7380x5+…+x20
所以,共有7380种分配方案。
说明:
这里不能认为此问
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- 组合 数学 函数