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解释,赋值,有效的,可满足的,不可满足的
9.前束X式:
前束X式
10.推理理论:
逻辑蕴含式,有效结论,-规则(US),+规则(UG),-规则(ES),+规则(EG),推理
集合论:
1.集合:
集合,外延性原理,,,,空集,全集,幂集,文氏图,交,并,差,补,对称差
2.关系:
序偶,笛卡尔积,关系,domR,ranR,关系图,空关系,全域关系,恒等关系
3.关系性质与闭包:
自反的,反自反的,对称的,反对称的,传递的,自反闭包r(R),对称闭包s(R),传递闭包t(R)
4.等价关系:
等价关系,等价类,商集,划分
5.偏序关系:
偏序,哈斯图,全序(线序),极大元/极小元,最大元/最小元,上界/下界
6.函数:
函数,常函数,恒等函数,满射,入射,双射,反函数,复合函数
7.集合基数:
基数,等势,有限集/无限集,可数集,不可数集
代数结构:
1.运算及其性质:
运算,封闭的,可交换的,可结合的,可分配的,吸收律,幂等的,幺元,零元,逆元
2.代数系统:
代数系统,子代数,积代数,同态,同构。
3.群与子群:
半群,子半群,元素的幂,独异点,群,群的阶数,子群,平凡子群,陪集,拉格朗日(Lagrange)定理
4.阿贝尔群和循环群:
阿贝尔群(交换群),循环群,生成元
5.环与域:
环,交换环,含幺环,整环,域
6.格与布尔代数:
格,对偶原理,子格,分配格,有界格,有补格,布尔代数,有限布尔代数的表示定理
图论:
1.图的基本概念:
无向图、有向图、关联与相邻、简单图、完全图、正则图、子图、补图,握手定理,图的同构
2.图的连通性:
通路,回路,简单通路,简单回路(迹)初级通路(路径),初级回路(圈),点连通,连通图,点割集,割点,边割集,割边,点连通度,边连通度,弱连通图,单向连通图,强连通图,二部图(二分图)
3.图的矩阵表示:
关联矩阵,邻接矩阵,可达矩阵
4.欧拉图与哈密顿图:
欧拉通路、欧拉回路、欧拉图、半欧拉图,哈密顿通路、哈密顿回路、哈密顿图、半哈密顿图
5.无向树与根树:
无向树,生成树,最小生成树,Kruskal,根树,m叉树,最优二叉树,Huffman算法
6.平面图:
平面图,面,欧拉公式,Kuratoski定理
命题:
具有确定真值的陈述句。
否定词符号:
设p是一个命题,p称为p的否定式。
p是真的当且仅当p是假的。
p是真的当且仅当p是假的。
【定义1.1】
合取词符号:
设p,q是两个命题,命题“p并且q”称为p,q的合取,记以pq,读作p且q。
pq是真的当且仅当p和q都是真的。
【定义1.2】
析取词符号:
设p,q是两个命题,命题“p或者q”称为p,q的析取,记以pq,读作p或q。
pq是真的当且仅当p,q中至少有一个是真的。
【定义1.3】
蕴含词符号:
设p,q是两个命题,命题“如果p,则q”称为p蕴含q,记以pq。
pq是假的当且仅当p是真的而q是假的。
【定义1.4】
等价词符号:
设p,q是两个命题,命题“p当且仅当q”称为p等价q,记以pq。
pq是真的当且仅当p,q或者都是真的,或者都是假的。
【定义1.5】
合式公式:
(1)命题常元和变元符号是合式公式;
(2)若A是合式公式,则(A)是合式公式,称为A的否定式;
(3)若A,B是合式公式,则(AB),(AB),(AB),(AB)是合式公式;
(4)所有合式公式都是有限次使用
(1),
(2),(3)、(4)得到的符号串。
子公式:
如果X是合式公式A的一部分,且X本身也是一个合式公式,则称X为公式A的子公式。
【定义1.6】
赋值(指派,解释):
设是命题变元集合,则称函数v:
{1,0}是一个真值赋值。
【定义1.8】
真值表:
公式A在其所有可能的赋值下所取真值的表,称为A的真值表。
【定义1.9】
重言式(永真式):
任意赋值v,vA
矛盾式(永假式):
任意赋值v,有vA【定义1.10】
等值式:
若等价式AB是重言式,则称A与B等值,记作AB。
【定义2.1】
基本等值式
双重否定律AA
幂等律AAA,AAA
交换律ABBA,ABBA
结合律(AB)CA(BC),(AB)CA(BC)
分配律A(BC)(AB)(AC),A(BC)(AB)(AC)
德摩根律(AB)AB,(AB)AB
吸收律A(AB)A,A(AB)A
零律A,A
同一律AA,AA
排中律AA
矛盾律AA
蕴涵等值式ABAB
等价等值式AB(AB)(BA)
假言易位ABBA
等价否定等值式ABAB
归谬论(AB)(AB)A
置换规则:
设X是公式A的子公式,XY。
将A中的X(可以是全部或部分X)用Y来置换,所得到的公式B,则AB。
文字:
设A(命题变元集),则A和A都称为命题符号A的文字,其中前者称为正文字,后者称为负文字。
【定义2.2】
析取X式:
形如A1A2…An(n1)的公式称为析取X式,其中Ai(i=1,…,n)是由文字组成的合取X式。
合取X式:
形为A1A2…An(n1)的公式称为合取X式,其中A1,…,An都是由文字组成的析取式。
【定义2.3】
极小项:
文字的合取式称为极小项,其中公式中每个命题符号的文字都在该合取式中出现一次。
极大项:
文字的析取式称为极大项,其中公式中每个命题符号的文字都在该合取式中出现一次。
【定义2.4】
主析取X式:
给定的命题公式的主析取X式是一个与之等价的公式,后者由极小项的析取组成。
主合取X式:
给定的命题公式的主合取X式是一个与之等价的公式,后者由极大项的合取组成。
【定义2.5】
公式的真值表中真值为F的指派所对应的极大项的合取,即为此公式的主合取X式。
真值函数:
称F:
{0,1}n{0,1}为n元真值函数.【定义2.6】
联结词的完备集:
设C是联结词的集合,若对于任意一个合式公式均存在一个与之等价的公式,而后者只含有C中的联结词,则称C是联结词的完备集。
【定义2.7】
{,,,,},{,,},{,},{,},{,}是联结词的完备集。
【定理2.6】
异或PQ:
(PQ)
条件否定PQ:
与非PQ:
或非PQ:
【定义2.8】
{},{↓}都是联结词的完备集【定理2.7】
重言蕴含式:
当且仅当PQ是一个重言式时,称P重言蕴含Q,记为PQ。
有效结论:
设A、C是两个命题公式,若AC,称C是A的有效结论。
【定义3.1】
推理定律——重言蕴涵式
1.A(AB)附加律
2.(AB)A化简律
3.(AB)AB假言推理
4.(AB)BA拒取式
5.(AB)BA析取三段论
6.(AB)(BC)(AC)假言三段论
7.(AB)(BC)(AC)等价三段论
8.(AB)(CD)(AC)(BD)构造性二难
(AB)(AB)B构造性二难(特殊形式)
9.(AB)(CD)(BD)(AC)破坏性二难
形式系统:
一个形式系统I由下面四个部分组成:
(1)非空的字母表,记作A(I).
(2)A(I)中符号构造的合式公式集,记作E(I).
(3)E(I)中一些特殊的公式组成的公理集,记作AX(I).
(4)推理规则集,记作R(I).
记I=<
A(I),E(I),AX(I),R(I)>
其中<
A(I),E(I)>
是I的形式语言系统,<
AX(I),R(I)>
是I的形式演算系统.
自然推理系统:
无公理,即AX(I)=
公理推理系统:
推出的结论是系统中的重言式,称作定理【定义3.2】
P规则:
在推导过程中,可以随时添加前提。
T规则:
在推导过程中,可以引入公式S,它是由其前题的一个或多个公式借助重言、蕴含而得到的。
推理(证明):
从前提A1,A2,,Ak到结论B的推理是一个公式序列C1,C2,,Cl.其中Ci(1il)是某个Aj,或者可由序列中前面的公式应用推理规则得到,并且Cl=B。
【定义3.3】
CP规则(演绎定理):
若{R}|-S,则|-RS,其中为命题公式的集合。
个体词:
用于表示命题中主语部分的符号或符号串。
个体常元表示确指个体。
个体变元表示不确指个体。
个体域:
个体变元的取值X围,常用D表示。
量词:
限定个体数量特性的词。
全称量词:
对所有的
存在量词:
有些
谓词语言:
用符号串表示个体、谓词、量词和命题
个体变元符号:
x,y,z,…
个体常元符号:
a,b,c,…
函数符号:
f,g,…
谓词符号:
P,Q,R,…
命题常元符号:
,
量词符号:
,
连接词符号:
,,,
辅助符号:
),(【定义4.1】
项:
(1)个体常元和变元是项;
(2)若f是n元函数符号,t1,…,tn是项,则f(t1,…,tn)是项;
(3)仅仅有限次使用
(1),
(2)产生的符号串是项。
【定义4.2】
原子公式:
若P是一个元谓词符号,t1,…,tn是项,则P(t1,…,tn)是原子公式。
【定义4.3】
合式公式:
(1)原子公式是公式;
(2)若A是合式公式,则(A)是合式公式;
(3)若A,B是公式,则(AB),(AB),AB),(AB)是公式;
(4)若A是公式,x是变元,则xA,xA是公式;
(5)仅仅有限次使用1~4得到的符号串才是合式公式。
【定义4.4】
设公式的一个子公式为xA或xA。
则称:
指导变元:
x是或的指导变元。
辖域:
A是相应量词的辖域。
约束出现:
辖域中x的一切出现,以及(x)中的x称为x在中的约束出现。
自由出现:
变元的非约束出现。
约束变元:
约束出现的变元。
自由变元:
自由出现的变元。
【定义4.5】
封闭的:
一个公式A是封闭的,若其中不含自由变元。
【定义4.6】
变元换名:
(1)换名的X围是量词的指导变元,及其相应辖域中的变元,其余部分不变。
(2)换名时最好选用辖域中未出现的变元名。
变元代入:
代入对自由变元进行。
不能改变约束关系。
解释:
谓词语言的一个解释I=(D,)包括:
(1)非空集合D,称之为论域;
(2)对应于每一个个体常元a,(
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