专题24 数学思想方法押题专练高考理数二轮复习精品资料解析版Word格式.docx
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(2)求{an}前n项和Sn的最大值.
4、设椭圆中心在坐标原点,A(2,0),B(0,1)是它的两个顶点,直线y=kx(k>
0)与AB相交于点D,与椭圆相交于E、F两点.
(1)若=6,求k的值;
(2)求四边形AEBF面积的最大值.
解
(1)依题意得椭圆的方程为+y2=1,直线AB,EF的方程分别为x+2y=2,y=kx(k>
0).如图,设D(x0,kx0),E(x1,kx1),F(x2,kx2),其中x1<
x2,且x1,x2满足方程(1+4k2)x2=4,故x2=-x1=.①
由=6知x0-x1=6(x2-x0),
得x0=(6x2+x1)=x2=;
由D在AB上知x0+2kx0=2,
得x0=.
所以=,
化简得24k2-25k+6=0,
解得k=或k=.
5.设a,b∈R且b≠0,若复数(a+bi)3是实数,则a、b满足的关系式为________.
答案 b2=3a2
解析 (a+bi)3=(a+bi)2(a+bi)
=a3+3a2bi-3ab2-b3i
=(a3-3ab2)+(3a2b-b3)i,
因(a+bi)3是实数且b≠0,
所以3a2b-b3=0⇒b2=3a2.6.满足条件AB=2,AC=BC的三角形ABC的面积的最大值是________.
答案 2
解析 可设BC=x,则AC=x,
根据面积公式得S△ABC=x,
由余弦定理计算得cosB=,
代入上式得S△ABC=x
=.
由得2-2<
x<
2+2.
故当x=2时,S△ABC最大值为2.
7.设a>
1,若仅有一个常数c使得对于任意的x∈[a,2a],都有y∈[a,a2]满足方程logax+logay=c,这时,a的取值的集合为________.
8.已知直线y=a交抛物线y=x2于A,B两点.若该抛物线上存在点C,使得∠ACB为直角,则a的取值范围为________.
答案 [1,+∞)
解析 以AB为直径的圆的方程为x2+(y-a)2=a,
由
得y2+(1-2a)y+a2-a=0.
即(y-a)[y-(a-1)]=0,
则由题意得解得a≥1.
9.已知f(x)是定义域为R的偶函数,当x≥0时,f(x)=x2-4x,那么,不等式f(x+2)<
5的解集是________.
答案 {x|-7<
3}
解析 令x<
0,则-x>
0,∵x≥0时,f(x)=x2-4x,∴f(-x)=(-x)2-4(-x)=x2+4x,又f(x)为偶函数,∴f(-x)=f(x),∴x<
0时,f(x)=x2+4x,故有f(x)=再求f(x)<
5的解,由得0≤x<5;
由得-5<
0,即f(x)<
5的解集为(-5,5).由于f(x)向左平移两个单位即得f(x+2),故f(x+2)<
5的解集为{x|-7<
3}.
10.在△ABC中,内角A,B,C对边的边长分别是a,b,c.已知c=2,C=.
(1)若△ABC的面积等于,求a,b;
(2)若sinC+sin(B-A)=2sin2A,求△ABC的面积.
11.已知数列{an}是等差数列,a1=1,a2+a3+…+a10=144.
(1)求数列{an}的通项an;
(2)设数列{bn}的通项bn=,记Sn是数列{bn}的前n项和,若n≥3时,有Sn≥m恒成立,求m的最大值.
解
(1)∵{an}是等差数列,
a1=1,a2+a3+…+a10=144,
∴S10=145,∴S10=,
∴a10=28,∴公差d=3.
∴an=3n-2(n∈N*).
12.已知椭圆C:
+=1(a>
b>
0)的一个顶点为A(2,0),离心率为.直线y=k(x-1)与椭圆C交于不同的两点M,N.
(1)求椭圆C的方程;
(2)当△AMN的面积为时,求k的值.
解
(1)由题意得解得b=.
所以椭圆C的方程为+=1.
(2)由得(1+2k2)x2-4k2x+2k2-4=0.
设点M,N的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),
则x1+x2=,
x1x2=.
所以MN=
=
又因为点A(2,0)到直线y=k(x-1)的距离
d=,
所以△AMN的面积为
S=MN·
d=.
由=,解得k=±
1.
所以,k的值为1或-1.
13.设关于θ的方程cosθ+sinθ+a=0在区间(0,2π)内有相异的两个实根α、β.
(1)求实数a的取值范围;
(2)求α+β的值.
解
(1)原方程可化为sin(θ+)=-,作出函数y=sin(x+)(x∈(0,2π))的图象.
由图知,方程在(0,2π)内有相异实根α,β的充要条件
是
即-2<a<-或-<a<2.
14.设有函数f(x)=a+和g(x)=x+1,已知x∈[-4,0]时恒有f(x)≤g(x),求实数a的取值范围.
解 f(x)≤g(x),
即a+≤x+1,
变形得≤x+1-a,
令y1=,①
y2=x+1-a.②
15. 已知函数f(x)=x3-3ax-1,a≠0.
(1)求f(x)的单调区间;
(2)若f(x)在x=-1处取得极值,直线y=m与y=f(x)的图象有三个不同的交点,求m的取值范围.
解
(1)f′(x)=3x2-3a=3(x2-a),
当a<
0时,对x∈R,有f′(x)>
0,
∴当a<
0时,f(x)的单调增区间为(-∞,+∞);
当a>
0时,由f′(x)>
0,解得x<
-或x>
,
由f′(x)<
0,解得-<
∴当a>
0时,f(x)的单调增区间为(-∞,-),(,+∞);
单调减区间为(-,).
(2)∵f(x)在x=-1处取得极值,
16.已知实数x,y满足则的最大值为________.
解析 画出不等式组
对应的平面区域Ω为图中的四边形ABCD,=表示的平面区域Ω上的点P(x,y)与原点的连线的斜率,显然OA的斜率最大.
17.已知P是直线l:
3x+4y+8=0上的动点,PA、PB是圆x2+y2-2x-2y+1=0的两条切线,A、B是切点,C是圆心,求四边形PACB面积的最小值.
解
18.已知抛物线y2=2px(p>
0)的焦点为F,A是抛物线上横坐标为4,且位于x轴上方的点,A到抛物线准线的距离等于5,过A作AB垂直于y轴,垂足为B,OB的中点为M.
(1)求抛物线的方程;
(2)以M为圆心,MB为半径作圆M,当K(m,0)是x轴上一动点时,讨论直线AK与圆M的位置关系.
解
(1)抛物线y2=2px的准线为x=-,
由题意得4+=5,所以p=2,
所以抛物线的方程为y2=4x.
(2)由题意知,圆M的圆心为点(0,2),半径为2.
当m=4时,直线AK的方程为x=4,
此时,直线AK与圆M相离;
当m≠4时,由
(1)知A(4,4),
则直线AK的方程为y=(x-m),
即4x-(4-m)y-4m=0,
圆心M(0,2)到直线AK的距离
令d>
2,解得m>
所以,当m>
1时,直线AK与圆M相离;
当m=1时,直线AK与圆M相切;
当m<
1时,直线AK与圆M相交.
19.设关于x的函数y=2cos2x-2acosx-(2a+1)的最小值为f(a),试确定满足f(a)=的a的值,并求此时函数的最大值.
当>
1,即a>
2时,
函数y在t∈[-1,1]上是单调递减,
所以f(a)=f
(1)=-4a+1=,
解得a=,这与a>
2矛盾;
当-1≤≤1,即-2≤a≤2时,
f(a)=--2a-1=,
即a2+4a+3=0,解得a=-1或a=-3,
因为-2≤a≤2,所以a=-1.
所以y=2t2+2t+1,t∈[-1,1],所以当t=1时,
函数取得最大值ymax=2+2+1=5.
20.已知a是实数,函数f(x)=(x-a).
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)设g(a)为f(x)在区间[0,2]上的最小值.
①写出g(a)的表达式;
②求a的取值范围,使得-6≤g(a)≤-2.
解
(1)函数的定义域为[0,+∞),
f′(x)=+=(x>
0).
若a≤0,则f′(x)>
0,f(x)有单调递增区间[0,+∞).
若a>
0,令f′(x)=0,得x=,
当0<
时,f′(x)<
当x>
时,f′(x)>
0.
f(x)有单调递减区间[0,],有单调递增区间(,+∞).
21.已知等差数列{an}的前3项和为6,前8项和为-4.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn=(4-an)qn-1(q≠0,n∈N*),求数列{bn}的前n项和Sn.
解
(1)设数列{an}的公差为d,
由已知,得解得
故an=3-(n-1)=4-n.
(2)由
(1)可得bn=n·
qn-1,
于是Sn=1·
q0+2·
q1+3·
q2+…+n·
qn-1.
若q≠1,将上式两边同时乘以q,得
qSn=1·
q1+2·
q2+…+(n-1)·
qn-1+n·
qn.
两式相减,得(q-1)Sn=nqn-1-q1-q2-…-qn-1
=nqn-=.
于是,Sn=.
若q=1,则Sn=1+2+3+…+n=.
综上,Sn=
22.设F1、F2为椭圆+=1的两个焦点,P为椭圆上一点,已知P、F1、F2是一个直角三角形的三个顶点,且PF1>PF2,求的值.
23.已知函数f(x)=-x2+2ax+1-a在x∈[0,1]上有最大值2,求a的值.
解 函数f(x)=-x2+2ax+1-a
=-(x-a)2+a2-a+1,
对称轴方程为x=a.
(1)当a<
0时,f(x)max=f(0)=1-a,
∴1-a=2,∴a=-1.
(2)当0≤a≤1时,f(x)max=f(a)=a2-a+1,
∴a2-a+1=2,∴a2-a-1=0,
∴a=(舍).
(3)当a>
1时,f(x)max=f
(1)=a,∴a=2.
综上可知,a=-1或a=2.
24.设集合A={x∈R|x2+4x=0},B={x∈R|x2+2(a+1)x+a2-1=0,a∈R},若B⊆A,求实数a的值.
25.f(x)=x3-x,x1,x2∈[-1,1]时,求证:
|f(x1)-f(x2)|≤.
证明 ∵f′(x)=x2-1,当x∈[-1,1]时,f′(x)≤0,
∴f(x)在[-1,1]上递减.
故f(x)在[-1,1]上的最大值为f(-1)=,
最小值为f
(1)=-,
即f(x)在[-1,1]上的值域为[-,].
所以x1,x2∈[-1,1]时,|f(x
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