北师大版文科数学空间向量与立体几何 名师精编单元测试Word格式.docx
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C.不一定共面D.无法判断
解析 ∵=++,且++=1.
∴P,A,B,C四点共面.
5.已知向量a=(0,2,1),b=(-1,1,-2),则a与b的夹角为( )
A.0°
B.45°
C.90°
D.180°
答案 C
解析 ∵cos〈a,b〉===0,
又〈a,b〉∈[0°
,180°
],
∴〈a,b〉=90°
.
6.若平面α的法向量为n,直线l的方向向量为a,直线l与平面α的夹角为θ,则下列关系式成立的是( )
A.cosθ=B.cosθ=
C.sinθ=D.sinθ=
解析 若直线与平面所成的角为θ,直线的方向向量与该平面的法向量所成的角为β,则θ=β-90°
或θ=90°
-β,cosβ=,∴sinθ=|cosβ|=.
7.已知直线l的方向向量a,平面α的法向量μ,若a=(1,1,1),μ=(-1,0,1),则直线l与平面α的位置关系是( )
A.垂直
B.平行
C.相交但不垂直
D.直线l在平面α内或直线l与平面α平行
解析 a·
μ=1×
(-1)+1×
0+1×
1=0,得直线l的方向向量垂直于平面的法向量,则直线l在平面α内或直线l与平面α平行.
8.A,B,C,D是空间不共面的四点,且满足·
=0,·
=0,M为BC的中点,则△AMD是( )
A.钝角三角形B.锐角三角形
C.直角三角形D.不确定
解析 ∵M为BC的中点,
∴=(+).
∴·
=(+)·
=·
+·
=0.
∴AM⊥AD,△AMD为直角三角形.
9.已知=(1,2,3),=(2,1,2),=(1,1,2),点Q在直线OP上运动,则当·
取得最小值时,点Q的坐标为( )
C.D.
解析 设Q(,y,),因Q在上,故有∥,
设=λ(λ∈R),可得
则Q(λ,λ,2λ),=(1-λ,2-λ,3-2λ),
=(2-λ,1-λ,2-2λ),
所以·
=6λ2-16λ+10=62-,
故当λ=时,·
取最小值,此时Q.
10.过正方形ABCD的顶点A作线段PA⊥平面ABCD,若AB=PA,则平面ABP与平面CDP的夹角为( )
A.30°
B.45°
C.60°
D.90°
解析 建立如图所示的空间直角坐标系Ay,
设AB=PA=1,知A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,1,0),C(1,1,0),P(0,0,1),
由题意得,AD⊥平面ABP,
设E为PD的中点,
连接AE,则AE⊥PD.
又∵CD⊥平面PAD,∴AE⊥CD,
又PD∩CD=D,∴AE⊥平面CDP.
∴=(0,1,0),=分别是平面ABP,
平面CDP的法向量,而〈,〉=45°
∴平面ABP与平面CDP的夹角为45°
11.如图所示,四面体SABC中,·
=0,∠SBC=60°
,则BC与平面SAB的夹角为( )
B.60°
D.75°
解析 ∵·
=0,∴⊥,⊥,即SB⊥SC,SA⊥SC,
又SB∩SA=S,∴SC⊥平面SAB,
∴∠SBC为BC与平面SAB的夹角.
又∠SBC=60°
,故BC与平面SAB的夹角为60°
12.将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A-BD-C,有如下四个结论:
①AC⊥BD;
②△ACD是等边三角形;
③AB与平面BCD所成的角为60°
;
④AB与CD所成的角为60°
其中错误的结论是( )
A.①B.②C.③D.④
解析 如图所示,建立空间直角坐标系Oy,设正方形ABCD边长为,则D(1,0,0),B(-1,0,0),C(0,0,1),A(0,1,0),所以=(0,-1,1),=(2,0,0),·
=0,
故AC⊥BD.①正确.
又||=,||=,||=,
所以△ACD为等边三角形.②正确.
对于③,为平面BCD的法向量,
cos〈,〉====-.
因为直线与平面所成的角∈[0°
,90°
所以AB与平面BCD所成角为45°
.故③错误.
又cos〈,〉===-.
因为异面直线所成的角为锐角或直角,
所以AB与CD所成角为60°
.故④正确.
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.设a,b是直线,α,β是平面,a⊥α,b⊥β,向量a在a上,向量b在b上,a=(1,1,1),b=(-3,4,0),则α,β所成二面角中较小的一个角的余弦值为.
答案
解析 设α,β所成二面角中较小的一个角为θ,
由题意得,cosθ=|cos〈a,b〉|=
==.
14.如图所示,已知正四面体A-BCD中,AE=AB,CF=CD,则直线DE和BF所成角的余弦值为.
解析 设AB=4,=+=+,
=+
=+,
cos〈,〉====.
15.如图所示,已知二面角α-l-β的平面角为θ,AB⊥BC,BC⊥CD,AB在平面β内,BC在l上,CD在平面α内,若AB=BC=CD=1,则AD的长为.
解析 因为=++,
所以2=2+2+2+2·
+2·
=1+1+1+2cos(π-θ)=3-2cosθ.
所以||=,
即AD的长为.
16.给出下列命题:
①若=,则必有A与C重合,B与D重合,AB与CD为同学一线段;
②若a·
b<
0,则〈a,b〉是钝角;
③若a为直线l的方向向量,则λa(λ∈R)也是l的方向向量;
④非零向量a,b,c满足a与b,b与c,c与a都是共面向量,则a,b,c必共面.
其中不正确的命题为.(填序号)
答案 ①②③④
解析 ①错误,如在正方体ABCD-A1B1C1D1中,
=,但线段AB与A1B1不重合;
②错误,a·
0,即cos〈a,b〉<
0,即<
〈a,b〉≤π,而钝角的取值范围是;
③错误,当λ=0时,λa=0不能作为直线l的方向向量;
④错误,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,令=a,=b,=c,则它们两两共面,但显然,,不共面.
三、解答题(本大题共6小题,共70分)
17.(10分)设向量a=(3,5,-4),b=(2,1,8),计算2a+3b,3a-2b,a·
b以及a与b所成角的余弦值,并确定λ,μ应满足的条件,使λa+μb与轴垂直.
解 2a+3b=2×
(3,5,-4)+3×
(2,1,8)
=(6,10,-8)+(6,3,24)=(12,13,16).
3a-2b=3×
(3,5,-4)-2×
=(9,15,-12)-(4,2,16)=(5,13,-28).
a·
b=(3,5,-4)·
(2,1,8)=6+5-32=-21.
∵|a|==5,
|b|==,
∴cos〈a,b〉===.
∵λa+μb与轴垂直,
∴(3λ+2μ,5λ+μ,-4λ+8μ)·
(0,0,1)=-4λ+8μ=0,即λ=2μ,∴当λ,μ满足λ=2μ时,可使λa+μb与轴垂直.
18.(12分)已知空间内三点A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5).
(1)求以向量,为一组邻边的平行四边形的面积S;
(2)若向量a与向量,都垂直,且|a|=,求向量a的坐标.
解
(1)∵=(-2,-1,3),=(1,-3,2),
∴cos∠BAC===,
又∵∠BAC∈[0°
∴∠BAC=60°
,∴S=||sin60°
=7.
(2)设a=(,y,),
由a⊥,得-2-y+3=0,
由a⊥,得-3y+2=0,
由|a|=,得2+y2+2=3,
∴=y==1或=y==-1.
∴a=(1,1,1)或a=(-1,-1,-1).
19.(12分)如图,在平行四边形ABCD中,AB=AC=1,∠ACD=90°
,把△ADC沿对角线AC折起,使AB与CD成60°
角,求BD的长.
解 ∵AB与CD成60°
角,∴〈,〉=60°
或120°
,
又∵AB=AC=CD=1,AC⊥CD,AC⊥AB,
∴||==
=
∴||=2或.
∴BD的长为2或.
20.(12分)如图所示,已知几何体ABCD-A1B1C1D1是平行六面体.
(1)化简++,并在图上标出结果;
(2)设M是底面ABCD的中心,N是侧面BCC1B1对角线BC1上的点,且C1N=C1B,设=α+β+γ,试求α,β,γ的值.
解
(1)取AA1的中点E,在D1C1上取一点F,使得D1F=2FC1,连接EF,
则++=++=.
(2)=+
=(+)+(+)
=++,
所以α=,β=,γ=.
21.(12分)如图所示,四边形ABCD为直角梯形,AB∥CD,AB⊥BC,△ABE为等边三角形,且平面ABCD⊥平面ABE,AB=2CD=2BC=2,P为CE的中点.
(1)求证:
AB⊥DE;
(2)求平面ADE与平面BCE所成的锐二面角的余弦值;
(1)证明 取AB的中点O,连接OD,OE,
因为△ABE是正三角形,所以AB⊥OE.
因为四边形ABCD是直角梯形,DC=AB,AB∥CD,
所以四边形OBCD是平行四边形,
所以OD∥BC.又AB⊥BC,所以AB⊥OD,
又OE∩OD=O,所以AB⊥平面ODE,
所以AB⊥DE.
(2)解 因为平面ABCD⊥平面ABE,
AB⊥OE,OE⊂平面ABE,平面ABCD∩平面ABE=AB.
所以OE⊥平面ABCD,
所以OE⊥OD.
如图所示,以O为原点建立空间直角坐标系Oy,
则A(1,0,0),B(-1,0,0),
D(0,0,1),C(-1,0,1),
E(0,,0),
所以=(-1,0,1),
=(0,,-1).
设平面ADE的法向量为n1=(1,y1,1),
则即
令1=1,则1=1,y1=,
所以n1=,
同学理可求得平面BCE的一个法向量为
n2=(-,1,0),
设平面ADE与平面BCE所成的锐二面角为θ,
则cosθ===,
所以平面ADE与平面BCE所成的锐二面角的余弦值为.
22.(12分)如图,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,侧棱A1A⊥底面ABCD,AB⊥AC,AB=1,AC=AA1=2,AD=CD=,且点M和N分别为B1C和D1D的中点.
MN∥平面ABCD;
(2)求平面ACD1与平面ACB1的夹角的正弦值;
(3)设E为棱A1B1上的点,若直线NE和平面ABCD的夹角的正弦值为,求线段A1E的长.
(1)证明 如图,以A为原点建立空间直角坐标系,依题意可得A(0,0,0),B(0,1,0),C(2,0,0),D(1
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