圆锥曲线的经典求法-设而不求..doc
- 文档编号:140053
- 上传时间:2022-10-04
- 格式:DOC
- 页数:17
- 大小:604.80KB
圆锥曲线的经典求法-设而不求..doc
《圆锥曲线的经典求法-设而不求..doc》由会员分享,可在线阅读,更多相关《圆锥曲线的经典求法-设而不求..doc(17页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
圆锥曲线
设而不求法典型试题
在求解直线与圆锥曲线相交问题,特别是涉及到相交弦问题,最值问题,定值问题的时候,采用“设点代入”(即“设而不求”)法可以避免求交点坐标所带来的繁琐计算,同时还要与韦达定理,中点公式结合起来,使得对问题的处理变得简单而自然,因而在做圆锥曲线题时注意多加训练与积累.
1.通常情况下如果只有一条直线,设斜率相对容易想一些,或者多条直线但是直线斜率之间存在垂直,互为相反数之类也可以设斜率需要注意的是设斜率的时候需要考虑:
(1)斜率是否存在
(2)直线与曲线必须有交点也就是判别式必须大于等于0
这种设斜率最后利用韦达定理来计算并且最终消参法,思路清晰,计算量大,特别需要仔细,但是大多也是可以消去高次项,故不要怕大胆计算,最终一定能得到所需要的结果。
2.设点比较难思考在于参数多,计算起来容易信心不足,但是在对于定点定值问题上,只要按题目要求计算,将相应的参数互带,,然后把点的坐标带入曲线方程最终必定能约分,消去参数。
这种方法灵活性强,思考难度大,但是计算简单。
例1:
已知双曲线x2-y2/2=1,过点M(1,1)作直线L,使L与已知双曲线交于Q1、Q2两点,且点M是线段Q1Q2的中点,问:
这样的直线是否存在?
若存在,求出L的方程;若不存在,说明理由。
解:
假设存在满足题意的直线L,设Q1(X1,Y1),Q2(X2,Y2)
代人已知双曲线的方程,得x12- y12/2=1① , x22-y22/2=1②
②-①,得(x2-x1)(x2+x1)-(y2-y1)(y2+y1)/2=0。
当x1=x2时,直线L的方程为x=1,此时L与双曲线只有一个交点(1,0)不满足题意;
当x1≠x2时,有(y2-y1)/(x2-x1)=2(x2+x1)/(y2+y1)=2.
故直线L的方程为y-1=2(x-1)
检验:
由y-1=2(x-1),x2-y2/2=1,得2x2-4x+3=0,其判别式
⊿=-8﹤0,此时L与双曲线无交点。
综上,不存在满足题意的直线
1、设、分别是椭圆的左、右焦点.
(Ⅰ)若P是该椭圆上的一个动点,求的最大值和最小值;
(Ⅱ)是否存在过点A(5,0)的直线l与椭圆交于不同的两点C、D,使得|F2C|=|F2D|?
若存在,求直线l的方程;若不存在,请说明理由.
2、已知平面上一定点C(4,0)和一定直线为该平面上一动点,作,垂足为Q,且.
(1)问点P在什么曲线上?
并求出该曲线的方程;
(2)设直线与
(1)中的曲线交于不同的两点A、B,是否存在实数k,使得以线段AB为直径的圆经过点D(0,-2)?
若存在,求出k的值,若不存在,说明理由.
3、已知椭圆C1的方程为,双曲线C2的左、右焦点分别为C1的左、右顶点,而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点.
(Ⅰ)求双曲线C2的方程;
(Ⅱ)若直线与椭圆C1及双曲线C2都恒有两个不同的交点,且l与C2的两个交点A和B满足(其中O为原点),求k的取值范围.
4、已知圆上的动点,点Q在NP上,点G在MP上,且满足.
(I)求点G的轨迹C的方程;
(II)过点(2,0)作直线,与曲线C交于A、B两点,O是坐标原点,设是否存在这样的直线,使四边形OASB的对角线相等(即|OS|=|AB|)?
若存在,求出直线的方程;若不存在,试说明理由.
练习5,已知,椭圆C以过点A(1,),两个焦点为(-1,0)(1,0)。
(1)求椭圆C的方程;
(2)E,F是椭圆C上的两个动点,如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数,证明直线EF的斜率为定值,并求出这个定值。
练习6,已知直线经过椭圆的左顶点A和上顶点D,椭圆的右顶点为,点和椭圆上位于轴上方的动点,直线,与直线
分别交于两点
(I)求椭圆的方程;
(Ⅱ)求线段MN的长度的最小值;
练习7.已知点,是抛物线上的两个动点,是坐标原点,向量,满足.设圆的方程为
(I)证明线段是圆的直径;
(II)当圆C的圆心到直线X-2Y=0的距离的最小值为时,求p的值
答案:
练习11、解:
(Ⅰ)易知
设P(x,y),则
,
,即点P为椭圆短轴端点时,有最小值3;
当,即点P为椭圆长轴端点时,有最大值4
(Ⅱ)假设存在满足条件的直线l易知点A(5,0)在椭圆的外部,当直线l的斜率不存在时,直线l与椭圆无交点,所在直线l斜率存在,设为k
直线l的方程为
由方程组
依题意
当时,设交点C,CD的中点为R,
则
又|F2C|=|F2D|
∴20k2=20k2-4,而20k2=20k2-4不成立,所以不存在直线,使得|F2C|=|F2D|
综上所述,不存在直线l,使得|F2C|=|F2D|
2、解:
(1)设P的坐标为,由得
(2分)∴((4分)
化简得∴P点在双曲线上,其方程为(6分)
(2)设A、B点的坐标分别为、,
由得(7分)
,(8分)
∵AB与双曲线交于两点,∴△>0,即
解得(9分)
∵若以AB为直径的圆过D(0,-2),则AD⊥BD,∴,
即,(10分)
∴
∴
解得,故满足题意的k值存在,且k值为.
3解:
(Ⅰ)设双曲线C2的方程为,则
故C2的方程为
(II)将
由直线l与椭圆C1恒有两个不同的交点得
即①
.
由直线l与双曲线C2恒有两个不同的交点A,B得
解此不等式得
③
由①、②、③得
故k的取值范围为
4、解:
(1)Q为PN的中点且GQ⊥PN
GQ为PN的中垂线|PG|=|GN|
∴|GN|+|GM|=|MP|=6,故G点的轨迹是以M、N为焦点的椭圆,其长半轴长,半焦距,∴短半轴长b=2,∴点G的轨迹方程是………5分
(2)因为,所以四边形OASB为平行四边形
若存在l使得||=||,则四边形OASB为矩形
若l的斜率不存在,直线l的方程为x=2,由
矛盾,故l的斜率存在. ………7分
设l的方程为
①
②……………9分
把①、②代入
∴存在直线使得四边形OASB的对角线相等.
练习3(Ⅰ)解由题意,c=1,可设椭圆方程为。
因为A在椭圆上,所以,解得=3,=(舍去)。
所以椭圆方程为.
(Ⅱ)证明设直线AE方程:
得,代入得
设E(,),F(,).因为点A(1,)在椭圆上,
所以,
。
又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数,在上式中以代,可得
,
。
所以直线EF的斜率。
即直线EF的斜率为定值,其值为。
解4方法一(I)由已知得,椭圆的左顶点为上顶点为
故椭圆的方程为
(Ⅱ)直线AS的斜率显然存在,且,故可设直线的方程为,
从而
由得0
设则得,从而
即又
由得
故
又
当且仅当,即时等号成立
时,线段的长度取最小值
5.解析:
(I)证明1:
整理得:
设M(x,y)是以线段AB为直径的圆上的任意一点,则
即
整理得:
故线段是圆的直径
证明2:
整理得:
……..
(1)
设(x,y)是以线段AB为直径的圆上则
即
去分母得:
点满足上方程,展开并将
(1)代入得:
故线段是圆的直径
证明3:
整理得:
……
(1)
以线段AB为直径的圆的方程为
展开并将
(1)代入得:
故线段是圆的直径
(II)解法1:
设圆C的圆心为C(x,y),则
又因
所以圆心的轨迹方程为
设圆心C到直线x-2y=0的距离为d,则
当y=p时,d有最小值,由题设得
.
解法2:
设圆C的圆心为C(x,y),则
又因
所以圆心的轨迹方程为
设直线x-2y+m=0到直线x-2y=0的距离为,则
因为x-2y+2=0与无公共点,
所以当x-2y-2=0与仅有一个公共点时,该点到直线x-2y=0的距离最小值为
将
(2)代入(3)得
解法3:
设圆C的圆心为C(x,y),则
圆心C到直线x-2y=0的距离为d,则
又因
当时,d有最小值,由题设得
.
17
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 圆锥曲线 经典 求法