全程复习方略广西专用版高中数学 单元评估检测十四课时提能训练 理 新人教A版Word文档下载推荐.docx
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( )
(A)2(B)3(C)4(D)5
6.设函数f(x)在x=1处连续,且=2,则f
(1)等于( )
(A)-1(B)0(C)1(D)2
7.(2012·
贺州模拟)在数列{an}中,a1=1,当n≥2时,an=,且已知此数列有极限,则an等于( )
(A)-2(B)-1(C)0(D)1
8.(2012·
柳州模拟)等于( )
(A)3(B)(C)(D)6
9.已知等比数列{an}的各项均为正数,前n项和为Sn,若{log2an}是公差为-1的等差数列,且Sn=,那么a1的值为( )
(A) (B) (C) (D)
10.(2012·
钦州模拟)设Sn是无穷等比数列的前n项和,若Sn=,那么a1的取值范围是( )
(A)(0,)(B)(0,)
(C)(0,)∪(,)(D)(0,)∪(,1)
11.设正数a,b满足(x2+ax-b)=4,则等于( )
(A)0(B)
(C)(D)1
12.函数y=f(x)在x=x0处连续,且f(x)=a2-2,f(x)=2a+1,其中a>0,则f(x0)等于( )
(A)-1(B)7(C)-1或7(D)3
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)
13.(易错题)= .
14.在数列{an}中,a1=9,且对于任意大于1的正整数n,点(,)在直线x-y-3=0上,则= .
15.= .
16.如图,在半径为r的圆内作内接正六边形,再作正六边形的内切圆,又在此内切圆内作内接正六边形,如此无限继续下去,设Sn为前n个圆的面积之和,则Sn= .
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)数列{an}满足Sn=2n-an(n∈N*).
(1)计算a1,a2,a3,a4,并由此猜想数列{an}的通项公式;
(2)用数学归纳法证明
(1)中的猜想.
18.(12分)已知等差数列前三项为a,4,3a,前n项的和为Sn,Sk=2550.
(1)求a及k的值;
(2)求(++…+).
19.(12分)设函数f(x)=
f(x)在x=0处连续,求实数a、b的值.
20.(12分)已知f(x)=a·
bx(a,b为常数)的图象经过点P(1,)和Q(4,8).
(1)求f(x)的解析式;
(2)记an=log2f(n),n∈N*,Sn是数列{an}的前n项和,求.
21.(12分)已知等比数列{an}的首项为a1,公比为q,且有(-qn)=,求首项a1的取值范围.
22.(12分)在边长为l的等边△ABC中,⊙O1为△ABC的内切圆,⊙O2与⊙O1外切,且与AB、BC相切,…,⊙On+1与⊙On外切,且与AB,BC相切,如此无限继续下去,记⊙On的面积为an(n∈N*).
(1)证明{an}是等比数列;
(2)求(a1+a2+…+an)的值.
答案解析
1.【解题指南】对分子、分母进行因式分解,约去x-1,然后代入求解.
【解析】选A.===.
2.【解析】选D.∵当n=k时,等式左边=1+2+3+…+k2;
当n=k+1时,等式左边=1+2+3+…+k2+(k2+1)+(k2+2)+…+(k+1)2,
∴比较上述两个式子,n=k+1时,等式左边是在假设n=k时的等式成立的基础上,等式的左边加上了(k2+1)+(k2+2)+…+(k+1)2,故选D.
3.【解析】选B.f(x)在x=x0处连续⇒f(x)存在,
f(x)存在f(x)在x=x0处连续.
∴极限f(x)存在是函数f(x)在点x=x0处连续的必要而不充分条件.
4.【解析】选A.原式===1+a.由题意,知1+a=2,因此a=1.
5.【解题指南】本题考查函数连续的定义,若函数在某一点处连续,则必须具备函数在此点的左极限等于右极限等于在该点的函数值.
【解析】选B.∵f(x)==(x+2)=4,f(x)=f
(2)=a+log22=a+1,由函数的连续性定义知a+1=4,可得a=3.
6.【解析】选B.依题意可知f(x)是含有(x-1)项的多项式,所以f
(1)=0.
7.【解析】选C.由an存在,知an=an-1,
令an=b,∵an=,
∴an==.
∴b=,∴b=0.∴an=0.
8.【解题指南】解决本题的关键是对C+C+C+…+C进行化简,技巧在于利用C=C.
【解析】选B.∵C+C+C+…+C=C+C+C+…+C=C+C+…+C=…=C,
n(C+C+C+…+C)=n,
===.
9.【解析】选B.由条件可知log2an=log2a1-(n-1)
=log2,
故an=,则Sn==,a1=.
10.【解析】选C.由Sn==,解得q=1-4a1,由题意知|q|<
1且q≠0,得|1-4a1|<
1,且|1-4a1|≠0,解之得a1∈(0,)∪(,).
【方法技巧】数列极限问题的逆向思维
(1)关于qn类型的逆运算问题,一定要考虑qn存在的条件及分析已知极限中的值,看是否要先变形,再逆运算求待定问题.
(2)逆用无穷等比数列(0<
|q|<
1)的各项和公式求范围问题,应注意一个无穷等比数列的各项和存在的充要条件是其公比q满足0<
1.
【变式备选】在等比数列{an}中,a1>1,且前n项和Sn满足Sn=,那么a1的取值范围是( )
(A)(1,+∞)(B)(1,4)
(C)(1,2)(D)(1,)
【解析】选D.由题意,知Sn=,
∵Sn=,∴.
∴a1=.∴1<
a1<
,0<
1(舍去).
11.【解析】选B.
(x2+ax-b)=4⇒4+2a-b=4⇒2a=b,
∴=.
∴==
=.
12.【解题指南】根据题意可以得到f(x)=f(x)=f(x0),即可列出关于a的方程,便可得解.
【解析】选B.∵函数f(x)在x=x0处连续,
∴f(x)=f(x)=f(x0),即a2-2=2a+1.
∵a>0,∴a=3.
∴f(x0)=7.
13.【解析】原式=
=
==.
答案:
【误区警示】看到,盲目采用分子有理化或分母有理化,而无法求解,或半途而废,要看到分子、分母中都含有根式,一定要利用分子、分母同时有理化.
14.【解析】由题意,得-=3,
∴{}是以=3为首项,以d=3为公差的等差数列.
∴=+(n-1)×
3=3n(n∈N*).
∴an=9n2(n∈N*).
∴===9.
9
【方法技巧】求数列极限的常用方法
(1)分子分母同时除以n的幂;
(2)利用有理化因式变形;
(3)求和式极限时一般先求和,然后再求极限;
(4)求含有参数式子的极限时,注意对参数进行分类讨论,分别确定极限是否存在;
(5)熟记三个基本极限:
=0;
C=C(C是常数);
qn=0(|q|<
1).
15.【解析】=(+)cosx
=(+)cosπ=-2.
-2
16.【解题指南】此类问题属于无穷递缩等比数列问题,通过对图形分析,构造等比数列,求出首项及公比,利用Sn=求解.
【解析】设第n个正六边形的外接圆的半径为rn,面积为an,则=cos30°
=,从而an+1=an,由a1=πr2,q=,知{an}是以πr2为首项,以为公比的等比数列.所以Sn===4πr2.
4πr2
17.【解析】
(1)a1=1,a2=,a3=,a4=,由此可猜想an=(n∈N*).
(2)下面用数学归纳法证明:
①当n=1时,左边=a1=1,右边==1,猜想成立.
②假设n=k(k∈N*)时猜想成立,即ak=,
当n=k+1时,已知Sk=2k-ak,①
Sk+1=2(k+1)-ak+1,②
由②-①可得ak+1=2-ak+1+ak,
∴ak+1=1+=1+==,即当n=k+1时猜想也成立.
∴数列{an}的通项公式an=(n∈N*).
【方法技巧】归纳推理的思维方法
(1)在遇到求解某些数学问题而不能直接找到解题途径时,可先考查几个连续的初始特例,归纳出规律,猜想结论,这是关键,规律的发现要凭借经验,有时还要合理变形.
(2)解决问题时要注意以下几点:
①计算特例时,不仅仅是简单的算数过程,有时要通过计算过程发现数据的变化规律;
②猜想必须准确,绝对不能猜错,否则将徒劳无功;
③如果猜想出来的结论与正整数n有关,一般用数学归纳法证明.
【变式备选】已知数列{an}的前n项和为Sn,其中an=(n∈N*)且a1=.
(1)求a2、a3;
(2)猜想数列{an}的通项公式,并用数学归纳法加以证明;
(3)求Sn.
【解析】
(1)由a2=,得a2=,
由a1=,a2=,得a3=,
得a3=.
(2)猜想an=(n∈N*).
证明:
①当n=1时,显然成立.
②假设n=k(k∈N*)时,猜想成立,即ak=,
则n=k+1时,ak+1=,
得Sk+1=(k+1)(2k+1)ak+1,同时Sk=k(2k-1)ak=.
两式相减,得ak+1=Sk+1-Sk=(k+1)(2k+1)ak+1-,
即k(2k+3)ak+1=.
∴ak+1=
=,
即n=k+1时,猜想成立.
所以数列{an}的通项公式
an=(n∈N*).
(3)Sn=[++…+]=(1-+-+…+-)
=(1-)=.
18.【解题指南】
(1)由已知条件求出a及公差d,然后利用前n项和公式Sn=na1+求出k的值;
(2)采用裂项相消法求和后再求极限.
(1)设该等差数列为{an},
则a1=a,a2=4,a3=3a,Sk=2550.
由已知有a+3a=2×
4,解得首项a1=a=2,
公差d=a2-a1=2.
代入公式Sk=ka1+d,
得k×
2+×
2=2550,
∴k2+k-2550=0,
解得k=50,k=-51(舍去),
∴a=2,k=50.
(2)由Sn=na1+d得Sn=n(n+1)(n∈N*),
++…+=++…+
=(-)+(-)+…+(-)
=1-,
∴(++…+)=(1-)=1.
19.【解析】f(x)=(-1)
=(-1)==1,
f(x)=(-1)
==,
∵f(x)=f(x),∴=1,即b=2.
又∵f(x)=f(x)=f(x)=1,
且f(x)=f(0),即a=1.综上,a=1,b=2.
20.【解析】
(1)∵f(x)的图象经过点P(1,)和Q(4,8),
∴,解得,
∴f(x)=×
4x=22x-5.
(2)an=log2f(n)=log222n-5=2n-5.
∵an+1-an=2(n+1
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