新课标人教A版高中数学选修21单元测试第三章综合素质检测Word格式文档下载.docx
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=0 B.·
=0
C.·
=0D.·
[答案] B
[解析] ①⇒DA⊥平面PAB⇒DA⊥PB⇒·
=0;
②同①知·
③PA⊥平面ABCD⇒PA⊥CD⇒·
④若·
=0,则BD⊥PC,
又BD⊥PA,∴BD⊥平面PAC,故BD⊥AC,
但在矩形ABCD中不一定有BD⊥AC,故选B.
4.如果平面的一条斜线段长是它在这个平面上的射影长的3倍,那么斜线段与平面所成角的余弦值为( )
A. B.
C. D.
5.已知a=(λ+1,0,2),b=(6,2μ-1,2λ),若a∥b,则λ与μ的值可以是( )
A.2,B.-,
C.-3,2D.2,2
[解析] ∵a∥b,∴存在实数k,使b=ka,即:
(6,2μ-1,2λ)=(kλ+k,0,2k),
∴,∴或,故选A.
6.在正三棱柱ABC-A1B1C1,若AB=BB1,则AB1与C1B所成角的大小( )
A.60°
B.90°
C.105°
D.75°
[解析] 解法一:
设=a,=b,=c,AB=,则
|a|=|b|=,|c|=1,a·
c=0,b·
c=0,a·
b=1.
∴=+=a+c,
=+=(b-a)+c,
∵·
=a·
b-|a|2+a·
c+c·
b-c·
a+|c|2=0,
∴⊥,即AB1⊥C1B.
解法二:
取AC中点D,建立如图所示的坐标系.
设AB=1,则B,C1,A,B1,
∴cos〈,〉==0.
∴AB1与C1B所成的角为90°
.
7.在下列条件中,使M与不共线三点A、B、C一定共面的是( )
A.=2--
B.=++
C.++=0
D.+++=0
[答案] C
[解析] ∵点M在平面ABC内,∴对空间任一点O,有=x+y+z且x+y+z=1,故A、B、D均不对.
8.如图,P是边长为a的正六边形ABCDEF平面外一点,PA⊥AB,PA⊥AF,为求P与CD的距离作PQ⊥CD于Q,则( )
A.Q为CD的中点
B.Q与D重合
C.Q与C重合
D.以上都不对
9.如图,空间四边形OABC中,=a,=b,=c,点M在OA上,且OM=MA,N为BC中点,则等于( )
A.a-b+c
B.-a+b+c
C.a+b-c
D.a+b-c
[解析] =-=(+)-
=(b+c)-a=-a+b+c.
故选B.
10.如图ABCD-A1B1C1D1为正方体,下面结论错误的是( )
A.BD∥平面CB1D1
B.AC1⊥BD
C.AC1⊥平面CB1D1
D.异面直线AD与CB1所成的角为60°
[解析] 正方体中,BD∥B1D1,且BD⊄面CB1D1,知BD∥平面CB1D1,A正确;
AC1在面ABCD内的射影为AC,又AC⊥BD,由三垂线定理知AC1⊥BD.故B正确;
同理可得AC1⊥B1D1,AC1⊥CD1,且B1D1∩CD1=D1,∴AC1⊥平面CB1D1,故C正确;
由AD∥BC知,∠B1CB为AD与CB1所成的角,应为45°
,故D错误.
11.已知A(2,-5,1),B(2,-2,4),C(1,-4,1),则与的夹角为( )
A.30°
B.45°
C.60°
D.90°
[解析] =(0,3,3),=(-1,1,0).设〈,〉=θ,则cosθ===,
∴θ=60°
12.已知△ABC的顶点A(1,-1,2),B(5,-6,2),C(1,3,-1),则AC边上的高BD的长等于( )
A.3 B.4
C.5 D.6
设D(x,y,z),则=(x-1,y+1,z-2),=(x-5,y+6,z-2),=(0,4,-3),
∵∥,且⊥,
∴,∴,
∴||=5.
设=λ,D(x,y,z),则(x-1,y+1,z-2)=λ(0,4,-3),
∴x=1,y=4λ-1,z=2-3λ.
∴=(-4,4λ+5,-3λ),
又=(0,4,-3),⊥,
∴4(4λ+5)-3(-3λ)=0,
∴λ=-,∴=,
∴||==5.
二、填空题(本大题共4个小题,每小题4分,共16分,把正确答案填在题中横线上)
13.过二面角α-l-β内一点P作PA⊥α于A,作PB⊥β于B,若PA=5,PB=8,AB=7,则二面角α-l-β为________.
[答案] 120°
[解析] 设=a,=b,由条件知|a|=5,|b|=8,||=7,
∴AB2=||2=|b-a|2
=|b|2+|a|2-2a·
b
=64+25-2a·
b=49,
∴a·
b=20,∴cos〈a,b〉==,
∴〈a,b〉=60°
,∴二面角α-l-β为120°
14.若△ABC中,∠ACB=90°
,∠BAC=60°
,AB=8,PC⊥平面ABC,PC=4,M是AB上一点,则PM的最小值为________.
[答案] 2
[解析] 由条件知PC、AC、BC两两垂直,设=a,=b,=c,则a·
b=b·
c=c·
a=0,
∵∠BAC=60°
,AB=8,∴|a|=CA=8cos60°
=4,|b|=CB=8sin60°
=4.|c|=PC=4,
设=x=x(b-a),
则=++=-c+a+x(b-a)=(1-x)a+xb-c,
||2=(1-x)2|a|2+x2|b|2+|c|2+2(1-x)xa·
b-2xb·
c-2(1-x)a·
c=16(1-x)2+48x2+16=32(2x2-x+1)=642+28,
∴当x=时,||2取最小值28,
∴||min=2.
15.已知正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都相等,D是A1C1的中点,则直线AD与平面B1DC所成的角的正弦值为________.
[答案]
[解析] 不妨设正三棱柱ABC-A1B1C1的棱长为2,建立如右图所示空间直角坐标系,其中x轴垂直于AB,y轴平行于AB.则C(0,0,0),A(,-1,0),B1(,1,2),
D,
则=,=(,1,2),
设平面B1DC的法向量为
n=(x,y,1),由,
解得n=(-,1,1).
又∵=,
∴sinθ=|cos〈,n〉|=.
16.正方体ABCD-A1B1C1D1中,二面角A-BD1-B1的大小为________.
[解析] 如图,以C为原点建立空间直角坐标系C-xyz,设正方体的棱长为a,则A(a,a,0),B(a,0,0),D1(0,a,a),B1(a,0,a),
∴=(0,a,0),=(-a,a,a),=(0,0,a),
设平面ABD1的法向量为n=(x,y,z),
则n·
=(x,y,z)·
(0,a,0)=ay=0,
n·
(-a,a,a)=-ax+ay+az=0,
∵a≠0,∴y=0,x=z,
令z=1,则n=(1,0,1),
同理平面B1BD1的法向量m=(-1,-1,0),
cos〈n,m〉==-,
而二面角A-BD1-B1为钝角,故为120°
三、解答题(本大题共6个大题,共74分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分12分)若e1、e2、e3是三个不共面向量,则向量a=3e1+2e2+e3,b=-e1+e2+3e3,c=2e1-e2-4e3是否共面?
请说明理由.
[解析] 设c=λ1a+λ2b,则
⇒λ1=,λ2=-.
即c=a-b.∵a、b不共线,∴a、b、c共面.
18.(本小题满分12分)在四棱锥P-ABCD中,ABCD为平行四边形,AC与BD交于O,G为BD上一点,BG=2GD,=a,=b,=c,试用基底{a,b,c}表示向量.
[解析] ∵BG=2GD,
∴=.
又=+=-+-=a+c-2b,
∴=+=b+(a+c-2b)
=a-b+c.
19.(本小题满分12分)如图所示,已知空间四边形ABCD,P、Q分别是△ABC和△BCD的重心.
求证:
PQ∥平面ACD.
[证明] ∵P、Q分别是△ABC和△BCD的重心.
∴=-=-
=(-)=.
∴∥即PQ∥AD,
又PQ平面ACD,AD⊂平面ACD,∴PQ∥平面ACD.
20.(本小题满分12分)已知空间三点A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5).若|a|=,且a分别与、垂直,求向量a.
[解析] 设a=(x,y,z),
由题意得,解得或
所以a=(1,1,1)或a=(-1,-1,-1).
21.(本小题满分12分)如图,已知正三棱柱ABC-A′B′C′的侧棱长为2,底面边长为1,M是BC的中点,在直线CC′上是否存在一点N,使得MN⊥AB′?
若存在,请指出它的位置;
若不存在,请说明理由.
[解析] 假设在直线CC′上存在一点N,使得MN⊥AB′,设=x.
∵=+=+x,
=+=+,
∴·
=·
(+)=0,
即·
+·
+x·
+x2=0,
||||cos〈,〉+4x=0.
∴-+4x=0,∴x=.
即在直线CC′上存在一点N,
当||=时,MN⊥AB′.
22.(本小题满分14分)(2010·
重庆·
理,19)如图,四棱锥P—ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥底面ABCD,PA=AB=,点E是棱PB的中点.
(1)求直线AD与平面PBC的距离;
(2)若AD=,求二面角A—EC—D的平面角的余弦值.
(1)如下图,在矩形ABCD中,AD∥BC,从而AD∥平面PBC,故直线AD与平面PBC的距离为点A到平面PBC的距离.
因PA⊥底面ABCD,故PA⊥AB,由PA=AB知△PAB为等腰直角三角形,又点E是棱PB的中点,故AE⊥PB.
又在矩形ABCD中,BC⊥AB,而AB是PB在底面ABCD内的射影,由三垂线定理得BC⊥PB,从而BC⊥平面PAB,故BC⊥AE,从而AE⊥平面PBC,故AE之长即为直线AD与平面PBC的距离.
在Rt△PAB中,PA=AB=,所以AE=BP==.
(2)过点D作DF⊥CE,交CE于F,过点F作FG⊥CE,交AC于G,则∠DFG为所求的二面角的平面角.
由
(1)知BC⊥平面PAB,又AD∥BC,得AD⊥平面PAB,故AD⊥AE,从而DE==.
在Rt△CBE中,CE==.
由CD=,所以△CDE为等边三角形,故点F为CE的中点,且DF=CD·
sin=.
因为AE⊥平面PBC,故AE⊥CE,又FG⊥CE,FG綊AE,从而FG=,且G点为A
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