中考数学专题复习教学案开放探究题附答案文档格式.docx
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∴AD+BD=BE+BD,即AB=DE.
在△ABC和△DEF中,
AB=DE,
∠A=∠FDE,
AC=DF,
∴△ABC≌△DEF(SAS).
②添加条件:
∠CBA=∠E.
∵AD=BE,
∴AD+BD=BE+BD,即AB=DE.
在△ABC和△DEF中,
∠CBA=∠E,
∴△ABC≌△DEF(ASA).
③添加条件:
∠C=∠F.
∠C=∠F,
AB=DE,
∴△ABC≌△DEF(AAS)
同步测试
1.(20XX年牡丹江市)如图,□ABCD中,、分别为、边上的点,要使需添加一个条件:
.
1.
2.(2009东营)如图,在四边形ABCD中,已知AB与CD不平行,∠ABD=∠ACD,请你添加一个条件:
,使得加上这个条件后能够推出AD∥BC且AB=CD.
2.∠DAC=∠ADB,∠BAD=∠CDA,∠DBC=∠ACB,∠ABC=∠DCB,OB=OC,OA=OD;
(任选其一)
类型二:
探究结论型
探究结论型问题是指根据题目所给的条件经过分析、推断,得出一个与条件相关的结论,解决此类问题的关键是需要对已知的条件进行综合推理,得出新的结论。
例2.(20XX年安徽)如图,M为线段AB的中点,AE与BD交于点C,∠DME=∠A=∠B=α,
且DM交AC于F,ME交BC于G.
(1)写出图中三对相似三角形,并证明其中的一对;
(2)连结FG,如果α=45°
,AB=,AF=3,求FG的长.
【答案】
(1)证:
△AMF∽△BGM,△DMG∽△DBM,△EMF∽△EAM
以下证明△AMF∽△BGM.
∵∠AFM=∠DME+∠E=∠A+∠E=∠BMG,∠A=∠B
∴△AMF∽△BGM.
(2)解:
当α=45°
时,可得AC⊥BC且AC=BC
∵M为AB的中点,∴AM=BM=
又∵AMF∽△BGM,∴
∴
又,∴,
3.(20XX年福州)请写出一个比小的整数
3.答案不唯一,小于或等于2的整数均可,如:
2,1等
4.(20XX年莆田)已知,如图,是以线段为直径的的切线,交于点,过点作弦垂足为点,连接.
(1)仔细观察图形并写出四个不同的正确结论:
①________,②________,③________,④____________(不添加其它字母和辅助线,不必证明);
(2)=,=,求的半径
4.
(1)
等
(2)解:
是的直径
又
又是的切线
在中,
类型三:
探究结论存在与否型
探究结论存在与否型问题的解法一般先假定存在,然后以此为条件及现有的条件进行推理,然后得出问题的解或矛盾再加以说明。
例3.(2009仙桃)如图,直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°
,已知AD=AB=3,BC=4,动点P从B点出发,沿线段BC向点C作匀速运动;
动点Q从点D出发,沿线段DA向点A作匀速运动.过Q点垂直于AD的射线交AC于点M,交BC于点N.P、Q两点同时出发,速度都为每秒1个单位长度.当Q点运动到A点,P、Q两点同时停止运动.设点Q运动的时间为t秒.
(1)求NC,MC的长(用t的代数式表示);
(2)当t为何值时,四边形PCDQ构成平行四边形?
(3)是否存在某一时刻,使射线QN恰好将△ABC的面积和周长同时平分?
若存在,求出此时t的值;
若不存在,请说明理由;
(4)探究:
t为何值时,△PMC为等腰三角形?
(1)在直角梯形ABCD中,
∵QN⊥AD,∠ABC=90°
,∴四边形ABNQ是矩形。
∵QD=t,AD=3,∴BN=AQ=3-t,∴NC=BC-BN=4-(3-t)=t+1。
∵AB=3,BC=4,∠ABC=90°
,∴AC=5。
,∴MN∥AB,∴,
即,∴.
(2)当QD=CP时,四边形PCDQ构成平行四边形。
∴当t=4-t,即t=2时,四边形PCDQ构成平行四边形。
(3)∵MN∥AB,
∴△MNC∽△ABC,要使射线QN将△ABC的面积平分,则△MNC与△ABC的面积比为1:
2,即相似比为1:
,∴,即,∴t=.∴CN=,MC=,∴CN+MC=,∵△ABC的周长的一半==6≠,∴不存在某一时刻,使射线QN恰好将△ABC的面积和周长同时平分。
(4)分3种情况:
①如图,当PM=MC时,△PMC为等腰三角形。
则PN=NC,即3-t-t=t+1,
∴,即时,△PMC为等腰三角形。
②如图,当CM=PC时,△PMC为等腰三角形。
即,
∴时,△PMC为等腰三角形。
③如图,当PM=PC时,△PMC为等腰三角形。
∵PC=4-t,NC=t+1,
∴PN=2t-3,
又∵,
∴MN=,
由勾股定理可得[]2+(2t-3)2=(4-t)2,
即当t=时,△PMC为等腰三角形。
5.(20XX年广西南宁·
改编)如图,在边长为5的正方形中,点、分别是、边上的点,且,延长交正方形外角平分线,边上是否存在一点,使得四边形是平行四边形?
若存在,请给予证明;
若不存在,请说明理由.
解法①
四边形ABCD为正方形
2
四边形是平行四边形.
解法:
在边上存在一点,使四边形是平行四边形
在边上取一点,使,连接、、.
M
四边形为平行四边形
6.(2009白银市)如图
(1),抛物线与x轴交于A、B两点,与y轴交于点
C(0,).[图
(2)、图(3)为解答备用图]
(1) ,点A的坐标为 ,点B的坐标为 ;
(2)设抛物线的顶点为M,求四边形ABMC的面积;
(3)在x轴下方的抛物线上是否存在一点D,使四边形ABDC的面积最大?
若存在,请求出点D的坐标;
(4)在抛物线上求点Q,使△BCQ是以BC为直角边的直角三角形.
图
(1) 图
(2) 图(3)
(1),
A(-1,0),
B(3,0).
(2)如图
(1),抛物线的顶点为M(1,-4),连结OM.
则△AOC的面积=,△MOC的面积=,
△MOB的面积=6,
∴四边形ABMC的面积
=△AOC的面积+△MOC的面积+△MOB的面积=9.
(3)如图
(2),设D(m,),连结OD.
则0<m<3,<0.
且△AOC的面积=,△DOC的面积=,
△DOB的面积=-(),
∴四边形ABDC的面积=△AOC的面积+△DOC的面积+△DOB的面积
=
=.
图(3)图(4)
∴存在点D,使四边形ABDC的面积最大为.
(4)有两种情况:
如图(3),过点B作BQ1⊥BC,交抛物线于点Q1、交y轴于点E,连接Q1C.
∵∠CBO=45°
,∴∠EBO=45°
,BO=OE=3.
∴点E的坐标为(0,3).
∴直线BE的解析式为.
由解得
∴点Q1的坐标为(-2,5).
如图(4),过点C作CF⊥CB,交抛物线于点Q2、交x轴于点F,连接BQ2.
,∴∠CFB=45°
,OF=OC=3.
∴点F的坐标为(-3,0).
∴直线CF的解析式为.
∴点Q2的坐标为(1,-4).
综上,在抛物线上存在点Q1(-2,5)、Q2(1,-4),使△BCQ1、△BCQ2是以BC为直角边的直角三角形.
类型四:
归纳探究型
归纳探究型问题是指给定一些条件和结论,通过归纳、总结、概括,由特殊猜测一般的结论或规律,解决这类问题的一般方法是由特殊性得到的结论进行合理猜想,适量验证。
例4.(20XX年抚顺市)已知:
如图所示,直线与的平分线交于点,过点作一条直线与两条直线分别相交于点.
(1)如图1所示,当直线与直线垂直时,猜想线段之间的数量关系,请直接写出结论,不用证明;
(2)如图2所示,当直线与直线不垂直且交点都在的同侧时,
(1)中的结论是否成立?
如果成立,请证明:
如果不成立,请说明理由;
(3)当直线与直线不垂直且交点在的异侧时,
(1)中的结论是否仍然成立?
如果成立,请说明理由;
如果不成立,那么线段之间还存在某种数量关系吗?
如果存在,请直接写出它们之间的数量关系.
备用图
(1)
(2)成立.
(方法一):
在上截取,连接.
即
题
(2)方法二图
(方法二):
过点作直线,垂足为点,
交于点.作,垂足为点.
由
(1)得
(方法三):
延长,交于点.
(3)不成立.
存在.当点在射线上、点在射线的反向延长线上时(如图),
当点在射线的反向延长线上,点在射线上时(如图),
题(3)图②
7.(2009仙桃)如图所示,在△ABC中,D、E分别是AB、AC上的点,DE∥BC,如图①,然后将△ADE绕A点顺时针旋转一定角度,得到图②,然后将BD、CE分别延长至M、N,使DM=BD,EN=CE,得到图③,请解答下列问题:
(1)若AB=AC,请探究下列数量关系:
①在图②中,BD与CE的数量关系是________________;
②在图③中,猜想AM与AN的数量关系、∠MAN与∠BAC的数量关系,并证明你的猜想;
(2)若AB=k·
AC(k>1),按上述操作方法,得到图④,请继续探究:
AM与AN的数量关系、∠MAN与∠BAC的数量关系,直接写出你的猜想,不必证明.
7.
(1)①BD=CE;
②AM=AN,∠MAN=∠BAC理由如下:
∵在图①中,DE//BC,AB=AC
∴AD=AE.
在△ABD与△ACE中∴△ABD≌△ACE.∴BD=CE,∠ACE=∠ABD.在△DAM与△EAN中,
∵DM=BD,EN=CE,BD=CE,∴DM=EN,∵∠AEN=∠ACE+∠CAE,∠ADM=∠ABD+∠BAD,∴∠AEN=∠ADM.
又∵AE=AD,∴△ADM≌△AEN.∴AM=AN,∠DAM=∠EAN.∴∠MAN=∠DAE=∠BAC.∴AM=AN,∠MAN=∠BAC.
(2)AM=kAN,∠MAN=∠BAC.
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