高考数学一轮复习 第一章 集合与常用逻辑用语 11 集合及其运算 理文档格式.docx
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Venn图
子集
集合A中所有元素都在集合B中(即若x∈A,则x∈B)
A⊆B(或B⊇A)
真子集
集合A是集合B的子集,且集合B中至少有一个元素不在集合A中
AB(或BA)
集合相等
集合A,B中的元素相同或集合A,B互为子集
A=B
3.集合的基本运算
运算
交集
由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合
A∩B={x|x∈A且x∈B}
并集
由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合
A∪B={x|x∈A或x∈B}
补集
由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合
∁UA={x|x∈U且x∉A}
【知识拓展】
1.若有限集A中有n个元素,则集合A的子集个数为2n,真子集的个数为2n-1.
2.A⊆B⇔A∩B=A⇔A∪B=B.
3.A∩∁UA=∅;
A∪∁UA=U;
∁U(∁UA)=A.
【思考辨析】
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×
”)
(1)任何一个集合都至少有两个子集.( ×
)
(2){x|y=x2+1}={y|y=x2+1}={(x,y)|y=x2+1}.( ×
(3)若{x2,1}={0,1},则x=0,1.( ×
(4){x|x≤1}={t|t≤1}.( √ )
(5)对于任意两个集合A,B,关系(A∩B)⊆(A∪B)恒成立.( √ )
(6)若A∩B=A∩C,则B=C.( ×
1.(教材改编)若集合A={x∈N|x≤},a=2,则下列结论正确的是( )
A.{a}⊆AB.a⊆A
C.{a}∈AD.a∉A
答案 D
解析 由题意知A={0,1,2,3},由a=2,知a∉A.
2.(2016·
江西重点中学联考)已知集合A={x|x2-6x+5≤0},B={x|y=},则A∩B等于( )
A.[1,3]B.[1,5]C.[3,5]D.[1,+∞)
答案 C
解析 根据题意,得A={x|x2-6x+5≤0}={x|1≤x≤5},
B={x|y=}={x|x≥3},
所以A∩B={x|3≤x≤5}=[3,5].
3.已知集合A={x|x2-x-2≤0},集合B为整数集,则A∩B等于( )
A.{-1,0,1,2}B.{-2,-1,0,1}
C.{0,1}D.{-1,0}
答案 A
解析 因为A={x|x2-x-2≤0}={x|-1≤x≤2},又因为集合B为整数集,所以集合A∩B={-1,0,1,2},故选A.
4.(2016·
天津)已知集合A={1,2,3,4},B={y|y=3x-2,x∈A},则A∩B等于( )
A.{1}B.{4}
C.{1,3}D.{1,4}
解析 因为集合B中,x∈A,所以当x=1时,y=3-2=1;
当x=2时,y=3×
2-2=4;
当x=3时,y=3×
3-2=7;
当x=4时,y=3×
4-2=10;
即B={1,4,7,10}.
又因为A={1,2,3,4},所以A∩B={1,4}.故选D.
5.(2016·
云南名校联考)集合A={x|x-2<
0},B={x|x<
a},若A∩B=A,则实数a的取值范围是____________.
答案 [2,+∞)
解析 由A∩B=A,知A⊆B,
从数轴观察得a≥2.
题型一 集合的含义
例1
(1)(2017·
济南调研)设P,Q为两个非空实数集合,定义集合P+Q={a+b|a∈P,b∈Q},若P={0,2,5},Q={1,2,6},则P+Q中元素的个数是( )
A.9B.8C.7D.6
(2)若集合A={x∈R|ax2-3x+2=0}中只有一个元素,则a=________.
答案
(1)B
(2)0或
解析
(1)当a=0时,a+b=1,2,6;
当a=2时,a+b=3,4,8;
当a=5时,a+b=6,7,11.
由集合中元素的互异性知P+Q中有1,2,3,4,6,7,8,11共8个元素.
(2)若a=0,则A=,符合题意;
若a≠0,则由题意得Δ=9-8a=0,解得a=.
综上,a的值为0或.
思维升华
(1)用描述法表示集合,首先要搞清楚集合中代表元素的含义,再看元素的限制条件,明白集合的类型,是数集、点集还是其他类型的集合;
(2)集合中元素的互异性常常容易忽略,求解问题时要特别注意.分类讨论的思想方法常用于解决集合问题.
(1)(2016·
临沂模拟)已知A={x|x=3k-1,k∈Z},则下列表示正确的是( )
A.-1∉AB.-11∈A
C.3k2-1∈A(k∈Z)D.-34∉A
(2)设a,b∈R,集合{1,a+b,a}=,则b-a=________.
答案
(1)C
(2)2
解析
(1)∵k∈Z,∴k2∈Z,∴3k2-1∈A.
(2)因为{1,a+b,a}=,a≠0,
所以a+b=0,得=-1,
所以a=-1,b=1,所以b-a=2.
题型二 集合的基本关系
例2
(1)(2016·
唐山一模)设A,B是全集I={1,2,3,4}的子集,A={1,2},则满足A⊆B的B的个数是( )
A.5B.4C.3D.2
(2)已知集合A={x|x2-2017x+2016<
a},若A⊆B,则实数a的取值范围是__________________.
答案
(1)B
(2)[2016,+∞)
解析
(1)∵{1,2}⊆B,I={1,2,3,4},
∴满足条件的集合B有{1,2},{1,2,3},{1,2,4},{1,2,3,4},共4个.
(2)由x2-2017x+2016<
0,解得1<
x<
2016,
故A={x|1<
2016},
又B={x|x<
a},A⊆B,如图所示,
可得a≥2016.
引申探究
本例
(2)中,若将集合B改为{x|x≥a},其他条件不变,则实数a的取值范围是____________.
答案 (-∞,1]
解析 A={x|1<
2016},B={x|x≥a},A⊆B,如图所示,
可得a≤1.
思维升华
(1)空集是任何集合的子集,在涉及集合关系时,必须优先考虑空集的情况,否则会造成漏解.
(2)已知两个集合间的关系求参数时,关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系,进而转化为参数所满足的关系,常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题.
(1)已知集合A={x∈R|x2+x-6=0},B={x∈R|ax-1=0},若B⊆A,则实数a的值为( )
A.或-B.-或
C.或-或0D.-或或0
(2)已知集合A={x|-2≤x≤7},B={x|m+1<
2m-1},若B⊆A,则实数m的取值范围是____________.
答案
(1)D
(2)(-∞,4]
解析
(1)由题意知A={2,-3}.
当a=0时,B=∅,满足B⊆A;
当a≠0时,ax-1=0的解为x=,
由B⊆A,可得=-3或=2,
∴a=-或a=.
综上,a的值为-或或0.
(2)当B=∅时,有m+1≥2m-1,则m≤2;
当B≠∅时,若B⊆A,如图,
则解得2<
m≤4.
综上,m的取值范围为(-∞,4].
题型三 集合的基本运算
命题点1 集合的运算
例3
(1)(2016·
全国乙卷)设集合A={x|x2-4x+3<
0},B={x|2x-3>
0},则A∩B等于( )
A.B.
C.D.
(2)(2016·
浙江)已知集合P={x∈R|1≤x≤3},Q={x∈R|x2≥4},则P∪(∁RQ)等于( )
A.[2,3]B.(-2,3]
C.[1,2)D.(-∞,-2]∪[1,+∞)
答案
(1)D
(2)B
解析
(1)由A={x|x2-4x+3<
0}={x|1<
3},
B={x|2x-3>
0}={x|x>
},
得A∩B={x|<
3}=,故选D.
(2)由已知得Q={x|x≥2或x≤-2}.
∴∁RQ=(-2,2).又P=[1,3],
∴P∪(∁RQ)=[1,3]∪(-2,2)=(-2,3].
命题点2 利用集合的运算求参数
例4
(1)设集合A={x|-1≤x<
2},B={x|x<
a},若A∩B≠∅,则a的取值范围是( )
A.-1<
a≤2B.a>
2
C.a≥-1D.a>
-1
(2)集合A={0,2,a},B={1,a2},若A∪B={0,1,2,4,16},则a的值为( )
A.0B.1C.2D.4
答案
(1)D
(2)D
解析
(1)因为A∩B≠∅,所以集合A,B有公共元素,作出数轴,如图所示,易知a>
-1.
(2)由题意可得{a,a2}={4,16},∴a=4.
思维升华
(1)一般来讲,集合中的元素若是离散的,则用Venn图表示;
集合中的元素若是连续的实数,则用数轴表示,此时要注意端点的情况.
(2)运算过程中要注意集合间的特殊关系的使用,灵活使用这些关系,会使运算简化.
山东)设集合A={y|y=2x,x∈R},B={x|x2-1<
0},则A∪B等于( )
A.(-1,1)B.(0,1)
C.(-1,+∞)D.(0,+∞)
(2)已知集合A={x|x2-x-12≤0},B={x|2m-1<
m+1},且A∩B=B,则实数m的取值范围为( )
A.[-1,2)B.[-1,3]
C.[2,+∞)D.[-1,+∞)
答案
(1)C
(2)D
解析
(1)∵A={y|y>
0},B={x|-1<
1},
∴A∪B=(-1,+∞),故选C.
(2)由x2-x-12≤0,得(x+3)(x-4)≤0,即-3≤x≤4,所以A={x|-3≤x≤4}.又A∩B=B,所以B⊆A.
①当B=∅时,有m+1≤2m-1,解得m≥2.
②当B≠∅时,有解得-1≤m<
2.
综上,m的取值范围为[-1,+∞).
题型四 集合的新定义问题
例5 已知集合A={(x,y)|x2+y2≤1,x,y∈Z},B={(x,y)||x|≤2,|y|≤2,x,y∈Z},定义集合AB={(x1+x2,y1+y2)|(x1,y1)∈A,(x2,y2)∈B},则AB中元素的个数为( )
A.77B.49C.45D.30
解析 如图,集合A表示如图所示的所有圆点“”,集合B表示如图所示的所有圆点“”+所有圆点“”,集合AB显然是集合{(x,y)||x|≤3,|y|≤3,x,y∈Z}中除去四个点{(-3,-3),(-3,3),(3,-3),(3,3)}之外的所有整点(即横坐标与纵坐标都为整数的点),即集合AB表示如图所示的所有圆点“”+所有圆点“”+所有圆点“”,共45个.故AB中元素的个数为45.故选C.
思维升华 解决以集合为背景的新定义问题,要抓住两点:
(1)紧扣新定义.首先分析新定义的特点,把新定义所叙述的问题的本质弄清楚,并能够应用到具体的解题过程之中,这是破解新定义型集合问题难点的关键所在;
(2)用好集合的性质.解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些
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- 高考数学一轮复习 第一章 集合与常用逻辑用语 11 集合及其运算 高考 数学 一轮 复习 集合 常用 逻辑 用语 及其 运算