工程数学线性代数第五版答案02.docx
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工程数学线性代数第五版答案02
第二章 矩阵及其运算
1.已知线性变换:
求从变量x1,x2,x3到变量y1,y2,y3的线性变换.
解由已知:
故,
.
2.已知两个线性变换
,
求从z1,z2,z3到x1,x2,x3的线性变换.
解由已知
所以有.
3.设,,求3AB-2A及ATB.
解
.
4.计算下列乘积:
(1);
解.
(2);
解=(1⨯3+2⨯2+3⨯1)=(10).
(3);
解.
(4);
解.
(5);
解
=(a11x1+a12x2+a13x3a12x1+a22x2+a23x3a13x1+a23x2+a33x3)
.
5.设,,问:
(1)AB=BA吗?
解AB≠BA.
因为,,所以AB≠BA.
(2)(A+B)2=A2+2AB+B2吗?
解(A+B)2≠A2+2AB+B2.
因为,
但,
所以(A+B)2≠A2+2AB+B2.
(3)(A+B)(A-B)=A2-B2吗?
解(A+B)(A-B)≠A2-B2.
因为,,
而,
故(A+B)(A-B)≠A2-B2.
6.举反列说明下列命题是错误的:
(1)若A2=0,则A=0;
解取,则A2=0,但A≠0.
(2)若A2=A,则A=0或A=E;
解取,则A2=A,但A≠0且A≠E.
(3)若AX=AY,且A≠0,则X=Y.
解取
,,
则AX=AY,且A≠0,但X≠Y.
7.设,求A2,A3,⋅⋅⋅,Ak.
解,
⋅⋅⋅⋅⋅⋅,
.
8.设,求Ak.
解首先观察
⋅⋅⋅⋅⋅⋅,
.
用数学归纳法证明:
当k=2时,显然成立.
假设k时成立,则k+1时,
由数学归纳法原理知:
.
9.设A,B为n阶矩阵,且A为对称矩阵,证明BTAB也是对称矩阵.
证明因为AT=A,所以
(BTAB)T=BT(BTA)T=BTATB=BTAB,
从而BTAB是对称矩阵.
10.设A,B都是n阶对称矩阵,证明AB是对称矩阵的充分必要条件是AB=BA.
证明充分性:
因为AT=A,BT=B,且AB=BA,所以
(AB)T=(BA)T=ATBT=AB,
即AB是对称矩阵.
必要性:
因为AT=A,BT=B,且(AB)T=AB,所以
AB=(AB)T=BTAT=BA.
11.求下列矩阵的逆矩阵:
(1);
解.|A|=1,故A-1存在.因为
故.
(2);
解.|A|=1≠0,故A-1存在.因为
所以.
(3);
解.|A|=2≠0,故A-1存在.因为
所以.
(4)(a1a2⋅⋅⋅an≠0).
解,由对角矩阵的性质知
.
12.解下列矩阵方程:
(1);
解.
(2);
解
.
(3);
解
.
(4).
解
.
13.利用逆矩阵解下列线性方程组:
(1);
解方程组可表示为
故,
从而有.
(2).
解方程组可表示为
故,
故有.
14.设Ak=O(k为正整数),证明(E-A)-1=E+A+A2+⋅⋅⋅+Ak-1.
证明因为Ak=O,所以E-Ak=E.又因为
E-Ak=(E-A)(E+A+A2+⋅⋅⋅+Ak-1),
所以(E-A)(E+A+A2+⋅⋅⋅+Ak-1)=E,
由定理2推论知(E-A)可逆,且
(E-A)-1=E+A+A2+⋅⋅⋅+Ak-1.
证明一方面,有E=(E-A)-1(E-A).
另一方面,由Ak=O,有
E=(E-A)+(A-A2)+A2-⋅⋅⋅-Ak-1+(Ak-1-Ak)
=(E+A+A2+⋅⋅⋅+Ak-1)(E-A),
故(E-A)-1(E-A)=(E+A+A2+⋅⋅⋅+Ak-1)(E-A),
两端同时右乘(E-A)-1,就有
(E-A)-1(E-A)=E+A+A2+⋅⋅⋅+Ak-1.
15.设方阵A满足A2-A-2E=O,证明A及A+2E都可逆,并求A-1及(A+2E)-1.
证明由A2-A-2E=O得
A2-A=2E,即A(A-E)=2E,
或,
由定理2推论知A可逆,且.
由A2-A-2E=O得
A2-A-6E=-4E,即(A+2E)(A-3E)=-4E,
或
由定理2推论知(A+2E)可逆,且.
证明由A2-A-2E=O得A2-A=2E,两端同时取行列式得
|A2-A|=2,
即|A||A-E|=2,
故|A|≠0,
所以A可逆,而A+2E=A2,|A+2E|=|A2|=|A|2≠0,故A+2E也可逆.
由A2-A-2E=O⇒A(A-E)=2E
⇒A-1A(A-E)=2A-1E⇒,
又由A2-A-2E=O⇒(A+2E)A-3(A+2E)=-4E
⇒(A+2E)(A-3E)=-4E,
所以(A+2E)-1(A+2E)(A-3E)=-4(A+2E)-1,
.
16.设A为3阶矩阵,,求|(2A)-1-5A*|.
解因为,所以
=|-2A-1|=(-2)3|A-1|=-8|A|-1=-8⨯2=-16.
17.设矩阵A可逆,证明其伴随阵A*也可逆,且(A*)-1=(A-1)*.
证明由,得A*=|A|A-1,所以当A可逆时,有
|A*|=|A|n|A-1|=|A|n-1≠0,
从而A*也可逆.
因为A*=|A|A-1,所以
(A*)-1=|A|-1A.
又,所以
(A*)-1=|A|-1A=|A|-1|A|(A-1)*=(A-1)*.
18.设n阶矩阵A的伴随矩阵为A*,证明:
(1)若|A|=0,则|A*|=0;
(2)|A*|=|A|n-1.
证明
(1)用反证法证明.假设|A*|≠0,则有A*(A*)-1=E,由此得
A=AA*(A*)-1=|A|E(A*)-1=O,
所以A*=O,这与|A*|≠0矛盾,故当|A|=0时,有|A*|=0.
(2)由于,则AA*=|A|E,取行列式得到
|A||A*|=|A|n.
若|A|≠0,则|A*|=|A|n-1;
若|A|=0,由
(1)知|A*|=0,此时命题也成立.
因此|A*|=|A|n-1.
19.设,AB=A+2B,求B.
解由AB=A+2E可得(A-2E)B=A,故
.
20.设,且AB+E=A2+B,求B.
解由AB+E=A2+B得
(A-E)B=A2-E,
即(A-E)B=(A-E)(A+E).
因为,所以(A-E)可逆,从而
.
21.设A=diag(1,-2,1),A*BA=2BA-8E,求B.
解由A*BA=2BA-8E得
(A*-2E)BA=-8E,
B=-8(A*-2E)-1A-1
=-8[A(A*-2E)]-1
=-8(AA*-2A)-1
=-8(|A|E-2A)-1
=-8(-2E-2A)-1
=4(E+A)-1
=4[diag(2,-1,2)]-1
=2diag(1,-2,1).
22.已知矩阵A的伴随阵,
且ABA-1=BA-1+3E,求B.
解由|A*|=|A|3=8,得|A|=2.
由ABA-1=BA-1+3E得
AB=B+3A,
B=3(A-E)-1A=3[A(E-A-1)]-1A
.
23.设P-1AP=Λ,其中,,求A11.
解由P-1AP=Λ,得A=PΛP-1,所以A11=A=PΛ11P-1.
|P|=3,,,
而,
故.
24.设AP=PΛ,其中,,
求ϕ(A)=A8(5E-6A+A2).
解ϕ(Λ)=Λ8(5E-6Λ+Λ2)
=diag(1,1,58)[diag(5,5,5)-diag(-6,6,30)+diag(1,1,25)]
=diag(1,1,58)diag(12,0,0)=12diag(1,0,0).
ϕ(A)=Pϕ(Λ)P-1
.
25.设矩阵A、B及A+B都可逆,证明A-1+B-1也可逆,并求其逆阵.
证明因为
A-1(A+B)B-1=B-1+A-1=A-1+B-1,
而A-1(A+B)B-1是三个可逆矩阵的乘积,所以A-1(A+B)B-1可逆,即A-1+B-1可逆.
(A-1+B-1)-1=[A-1(A+B)B-1]-1=B(A+B)-1A.
26.计算.
解设,,,,
则,
而,
所以,
即.
27.取,验证.
解,
而,
故.
28.设,求|A8|及A4.
解 令,,
则,
故,
.
.
29.设n阶矩阵A及s阶矩阵B都可逆,求
(1);
解设,则
.
由此得⇒,
所以.
(2).
解设,则
.
由此得⇒,
所以.
30.求下列矩阵的逆阵:
(1);
解设,,则
.
于是.
(2).
解设,,,则
.
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