二次函数常考题文档格式.docx
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1.函数y=与y=﹣kx2+k(k≠0)在同一直角坐标系中的图象可能是( )
A.B.C.D.
2.定义[a,b,c]为函数y=ax2+bx+c的特征数,下面给出特征数为[2m,1﹣m,﹣1﹣m]的函数的一些结论,其中不正确的是( )
A.当m=﹣3时,函数图象的顶点坐标是()
B.当m>0时,函数图象截x轴所得的线段长度大于
C.当m≠0时,函数图象经过同一个点
D.当m<0时,函数在x时,y随x的增大而减小
3.已知抛物线y=ax2+bx+c(b>a>0)与x轴只有一个交点,以下四个结论:
①该抛物线的对称轴在y轴左侧;
②关于x的方程ax2+bx+c+2=0有实数根;
③a+b+c>0;
④的最大值为1.其中结论正确的为( )
A.①②③B.③④C.①③D.①③④
4.如图,已知点A1,A2,…,A2014在函数y=2x2位于第二象限的图象上,点B1,B2,…,
B2014在函数y=2x2位于第一象限的图象上,点C1,C2,…,C2014在y轴的正半轴上,若四边形OA1C1B1、C1A2C2B2,…,C2013A2014C2014B2014都是正方形,则正方形C2013A2014C2014B2014的边长为( )
A.1007B.1007C.D.
5.将y=4x2的图象先向左平移个单位,再向下平移个单位,则所得图象的函数解析式是( )
6.如图,已知二次函数y=(x+1)2﹣4,当﹣2≤x≤2时,则函数y的最小值和最大值( )
A.﹣3和5B.﹣4和5C.﹣4和﹣3D.﹣1和5
7.如图,抛物线y=﹣x2+x+2与x轴交于A,B两点(A在B的左侧),与y轴交于点C,P为此抛物线对称轴l上任意一点,则△APC的周长的最小值是( )
A.2B.3C.5D.+
8.如图是抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的一部分,抛物线的顶点坐标是A(1,4),与x轴的一个交点是B(3,0),下列结论:
①abc>0;
②2a+b=0;
③方程ax2+bx+c=4有两个相等的实数根;
④抛物线与x轴的另一个交点是(﹣2.0);
⑤x(ax+b)≤a+b,其中正确结论的个数是( )
A.4个B.3个C.2个D.1个
9.如图,某校的围墙由一段相同的凹曲拱组成,其拱状图形为抛物线的一部分,栅栏的跨径AB间,按相同间隔0.2米用5根立柱加固,拱高OC为0.36米,则立柱EF的长为( )
A.0.4米B.0.16米C.0.2米D.0.24米
10.如图,直线y=与y轴交于点A,与直线y=﹣交于点B,以AB为边向右作菱形ABCD,点C恰与原点O重合,抛物线y=(x﹣h)2+k的顶点在直线y=﹣上移动.若抛物线与菱形的边AB、BC都有公共点,则h的取值范围是( )
A.﹣2B.﹣2≤h≤1C.﹣1D.﹣1
第Ⅱ卷(非选择题)
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二.填空题(共5小题)
11.若函数y=(m2﹣m)x是二次函数,则m= .
12.如图,已知函数y=与y=ax2+bx+c(a>0,b>0)的图象相交于点P,且点P的纵坐标为1,则关于x的方程ax2+bx+=0的解是 .
13.若抛物线y=ax2﹣x+c与y=2(x﹣3)2+1对称轴相同,且两抛物线的顶点相距3个单位长度,则c的值为 .
14.如图,已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于点A(﹣1,0),对称轴为直线x=1,与y轴的交点B在(0,2)和(0,3)之间(包括这两点),下列结论正确的是 .
①当x>3时,y<0;
②3a+b<0;
③﹣1≤a≤﹣;
④4ac﹣b2<8a.
15.平行于x轴的直线l分别与一次函数y=﹣x+3和二次函数y=x2﹣2x﹣3的图象交于A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)三点,且x1<x2<x3,设m=x1+x2+x3,则m的取值范围是 .
三.解答题(共8小题)
16.已知函数y=(m2+m)x.
(1)当函数是二次函数时,求m的值;
(2)当函数是一次函数时,求m的值.
17.下表给出一个二次函数的一些取值情况:
x
…
1
2
3
4
y
﹣1
(1)请在直角坐标系中画出这个二次函数的图象;
(2)根据图象说明:
当x取何值时,y的值大于0?
18.将下列二次函数化成y=a(x﹣h)2+k的形式,并写出顶点坐标和对称轴
①y=2x2+6x﹣12
②y=﹣0.5x2﹣3x+3.
19.如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于B、C两点,交y轴于点A.
(1)根据图象确定a,b,c的符号;
(2)如果OC=OA=OB,BC=4,求这个二次函数的解析式.
20.如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象过A、B、C三点.
(1)求出抛物线解析式和顶点坐标;
(2)当﹣2<x<2时,求函数值y的范围;
(3)根据图象回答,当x取何值时,y>0?
21.如图,A(﹣1,0)、B(2,﹣3)两点在一次函数y2=﹣x+m与二次函数y1=ax2+bx﹣3图象上.
(1)求m的值和二次函数的解析式.
(2)请直接写出使y2>y1时,自变量x的取值范围.
(3)说出所求的抛物线y1=ax2+bx﹣3可由抛物线y=x2如何平移得到?
22.定义:
对于给定的两个函数,任取自变量x的一个值,当x<0时,它们对应的函数值互为相反数;
当x≥0时,它们对应的函数值相等,我们称这样的两个函数互为相关函数.例如:
一次函数y=x﹣1,它们的相关函数为y=.
(1)已知点A(﹣5,8)在一次函数y=ax﹣3的相关函数的图象上,求a的值;
(2)已知二次函数y=﹣x2+4x﹣.
①当点B(m,)在这个函数的相关函数的图象上时,求m的值;
②当﹣3≤x≤3时,求函数y=﹣x2+4x﹣的相关函数的最大值和最小值.
23.已知二次函数的图象经过点(0,﹣3),且顶点坐标为(1,﹣4).求这个解析式.
参考答案与试题解析
【分析】本题可先由反比例函数的图象得到字母系数的正负,再与二次函数的图象相比较看是否一致.
【解答】解:
由解析式y=﹣kx2+k可得:
抛物线对称轴x=0;
A、由双曲线的两支分别位于二、四象限,可得k<0,则﹣k>0,抛物线开口方向向上、抛物线与y轴的交点为y轴的负半轴上;
本图象与k的取值相矛盾,故A错误;
B、由双曲线的两支分别位于一、三象限,可得k>0,则﹣k<0,抛物线开口方向向下、抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上,本图象符合题意,故B正确;
C、由双曲线的两支分别位于一、三象限,可得k>0,则﹣k<0,抛物线开口方向向下、抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上,本图象与k的取值相矛盾,故C错误;
D、由双曲线的两支分别位于一、三象限,可得k>0,则﹣k<0,抛物线开口方向向下、抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上,本图象与k的取值相矛盾,故D错误.
故选:
B.
【点评】本题主要考查了二次函数及反比例函数和图象,解决此类问题步骤一般为:
(1)先根据图象的特点判断k取值是否矛盾;
(2)根据二次函数图象判断抛物线与y轴的交点是否符合要求.
【分析】A、把m=﹣3代入[2m,1﹣m,﹣1﹣m],求得[a,b,c],求得解析式,利用顶点坐标公式解答即可;
B、令函数值为0,求得与x轴交点坐标,利用两点间距离公式解决问题;
C、首先求得对称轴,利用二次函数的性质解答即可;
D、根据特征数的特点,直接得出x的值,进一步验证即可解答.
因为函数y=ax2+bx+c的特征数为[2m,1﹣m,﹣1﹣m];
A、当m=﹣3时,y=﹣6x2+4x+2=﹣6(x﹣)2+,顶点坐标是(,);
此结论正确;
B、当m>0时,令y=0,有2mx2+(1﹣m)x+(﹣1﹣m)=0,解得:
x1=1,x2=﹣﹣,
|x2﹣x1|=+>,所以当m>0时,函数图象截x轴所得的线段长度大于,此结论正确;
C、当x=1时,y=2mx2+(1﹣m)x+(﹣1﹣m)=2m+(1﹣m)+(﹣1﹣m)=0即对任意m,函数图象都经过点(1,0)那么同样的:
当m=0时,函数图象都经过同一个点(1,0),当m≠0时,函数图象经过同一个点(1,0),故当m≠0时,函数图象经过x轴上一个定点此结论正确.
D、当m<0时,y=2mx2+(1﹣m)x+(﹣1﹣m)是一个开口向下的抛物线,其对称轴是:
直线x=,在对称轴的右边y随x的增大而减小.因为当m<0时,=﹣>,即对称轴在x=右边,因此函数在x=右边先递增到对称轴位置,再递减,此结论错误;
根据上面的分析,①②③都是正确的,④是错误的.
D.
【点评】此题考查二次函数的性质,顶点坐标,两点间的距离公式,以及二次函数图象上点的坐标特征.
【分析】根据抛物线的对称轴、抛物线与一元二次方程的关系判断即可.
∵b>a>0,
∴x=﹣<0,
∴抛物线的对称轴在y轴左侧,①正确;
∵抛物线y=ax2+bx+c(b>a>0)与x轴只有一个交点,
∴b2﹣4ac=0,
∴b2﹣4a(c+2)=b2﹣4ac﹣8a<0,
∴关于x的方程ax2+bx+c+2=0无实数根,②错误;
∵a>0,抛物线的对称轴在y轴左侧,
∴x=1时,y>0,
∴a+b+c>0,③正确;
x=﹣1时,y≥0,
∴a﹣b+c≥0,
∴b﹣a≤c,
∴≤1,即的最大值为1,④正确;
【点评】本题考查的是二次函数图象与相似的关系,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0):
①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小.②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置.③常数项c决定抛物线与y轴交点.抛物线与y轴交于(0,c).④抛物线与x轴交点个数.
【分析】根据正方形对角线平分一组对角可得O
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