《数学分析》第三章 函数极限Word文档格式.docx
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证明格式:
(不妨设□)(不妨设□或□,□)
要使化简≤附加条件逐次放大不等式<,
只须□()或□(),□().
于是,□,当(或,)时,有
.
根据函数极限的“”定义知□=□(或□=□,□=□).
例2验证:
1);
2).
例3验证
证……
6.的正值性,任意性与确定性,以小为贵.
7.的存在性与非唯一性,对只要求存在,在乎其大的一面.
二.时函数的极限:
1.由考虑时的极限引入.
2.函数极限的“”定义.
3.几何意义.
4.用定义验证函数极限的基本思路.
例4验证
例5验证
例6验证
证由=
为使需有
为使需有
于是,倘限制,就有
(不妨设□)(不妨设□或□,□,则□□)
于是,□,当(或,)时,有:
.
例7验证
例8验证(类似有
5.的正值性,任意性与确定性,以小为贵.
6.的存在性与非唯一性,对只要求存在,在乎其小的一面.
7.存在并不意味着在有定义,即就是有定义也并不意味着(如例6).
例9证明.
三.单侧极限:
1.定义:
单侧极限的定义及记法.
2.几何意义:
介绍半邻域
然后介绍等的几何意义.
例9验证
证考虑使的
3.单侧极限与双侧极限的关系:
Th2
例10证明:
极限不存在.
例11设函数在点的某邻域内单调.若存在,则有=
Ex[1]P471—7.
2函数极限的性质(2时)
我们引进了六种极限:
.以下以极限为例讨论性质.均给出证明或简证.
一.函数极限的性质:
以下性质均以定理形式给出.
1.唯一性:
2.局部有界性:
3.局部保号性:
4.单调性(不等式性质):
Th4若和都存在,且存在点的空心邻域,使
都有
证设=(现证对有)
註:
若在Th4的条件中,改“”为“”,未必就有以举例说明.
5.迫敛性(双逼原理):
例1求.
6.四则运算性质:
(只证“+”和“”)
Ex[1]P515——7.
二.利用极限性质求极限:
已证明过以下几个极限:
(注意前四个极限中极限就是函数值)
这些极限可作为公式用.通过有关性质,把所求极限化为基本极限,代入基本极限的值,即计算得所求极限.
例1(利用极限和)
例2
例3
关于的有理分式当时的极限.
例4[利用公式]
例5
例6
例7
例8
例9
例10已知求和
Ex[1]P511——4.
补充题:
已知求和()
3函数极限存在的条件(2时)
本节介绍函数极限存在的两个充要条件.仍以极限为例.
一、Heine归并原则——函数极限与数列极限的关系:
Th1设函数在点的某空心邻域内有定义.则极限存在对任何且都存在且相等.(证)
Heine归并原则反映了离散性与连续性变量之间的关系,是证明极限不存在的有力工具.对单侧极限,还可加强为单调趋于.参阅[1]P70.
例1证明函数极限的双逼原理.
例2证明
例3证明不存在.
Th2设函数在点的某空心右邻域有定义.则对任何以为极限的递减数列,有.
Th3设函数为定义在上的单调有界函数.则存在.
二、Cauchy准则:
Th3(Cauchy准则)设函数在点的某空心邻域内有定义.则存在,
证
(利用Heine归并原则)
Cauchy准则的否定:
不存在的充要条件.
例4用Cauchy准则证明极限不存在.
证取
例5设在[上函数↘.则极限存在在[上有界.(简证,留为作业).
Ex[1]P551——4.
4两个重要极限(2时)
一.(证)(同理有)
例1
例2.
例4
例5证明极限不存在.
二.
证对有
例6特别当等.
例9
Ex[1]P581——4.
5无穷小量与无穷大量阶的比较(2时)
一、无穷小量:
1.定义.记法.
2.无穷小的性质:
性质1(无穷小的和差积)
性质2(无穷小与有界量的积)
3.无穷小与极限的关系:
Th1(证)
二、无穷小的阶:
设时
1.高阶(或低阶)无穷小:
2.同阶无穷小:
3.等价:
Th2(等价关系的传递性).
等价无穷小在极限计算中的应用:
Th3(等价无穷小替换法则).
几组常用等价无穷小:
设以作为基本无穷小,有等价关系:
当时,~,~,~,~,~,
~,~,~,~.
再加上时(或时)的(或的)有理分式(分子次数小于分母次数)的等价无穷小.其中有些等价关系的证明以后陆续进行.
例3求.
三.无穷大量:
1.定义:
例5验证.
例6验证.
2.性质:
性质1同号无穷大的和是无穷大.
性质2无穷大与无穷大的积是无穷大.
性质3与无界量的关系.
无穷大的阶、等价关系以及应用,可仿无穷小讨论,有平行的结果.
3.无穷小与无穷大的关系:
无穷大的倒数是无穷小,非零无穷小的倒数是无穷大.
四、曲线的渐近线:
2.结论:
⑴若,则直线为曲线的垂直渐近线.
⑵若,则直线为曲线的水平渐近线.
⑶若,则直线为曲线的斜渐近线.
注:
可换为,;
可换为,.
例7求曲线的渐近线.
Ex[1]P661—6.
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