人教A版版高考数学文科一轮设计第三章教师用书Word版含答案Word文档下载推荐.docx
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f(x)=xα(α∈Q*)
f′(x)=αxα-1
f(x)=sinx
f′(x)=cosx
f(x)=cosx
f′(x)=-sinx
f(x)=ex
f′(x)=ex
f(x)=ax(a>
0,a≠1)
f′(x)=axlna
f(x)=lnx
f′(x)=
f(x)=logax
(a>
0,且a≠1)
4.导数的运算法则
若f′(x),g′(x)存在,则有:
(1)[f(x)±
g(x)]′=f′(x)±
g′(x);
(2)[f(x)·
g(x)]′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x);
(3)′=(g(x)≠0).
诊断自测
1.判断正误(在括号内打“√”或“×
”) 精彩PPT展示
(1)f′(x0)与(f(x0))′表示的意义相同.( )
(2)求f′(x0)时,可先求f(x0),再求f′(x0).( )
(3)曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点.( )
(4)若f(x)=a3+2ax+x2,则f′(x)=3a2+2x.( )
解析
(1)f′(x0)表示函数f(x)的导数在x0处的值,而f((x0))′表示函数值f(x0)的导数,其意义不同,
(1)错.
(2)求f′(x0)时,应先求f′(x),再代入求值,
(2)错.
(4)f(x)=a3+2ax+x2=x2+2ax+a3,∴f′(x)=2x+2a,(4)错.
答案
(1)×
(2)×
(3)√ (4)×
2.(选修1-1P75例1改编)有一机器人的运动方程为s(t)=t2+(t是时间,s是位移),则该机器人在时刻t=2时的瞬时速度为( )
A.B.C.D.
解析 由题意知,机器人的速度方程为v(t)=s′(t)=2t-,故当t=2时,机器人的瞬时速度为v
(2)=2×
2-=.
答案 D
3.(2016·
天津卷)已知函数f(x)=(2x+1)ex,f′(x)为f(x)的导函数,则f′(0)的值为________.
解析 因为f(x)=(2x+1)ex,
所以f′(x)=2ex+(2x+1)ex=(2x+3)ex,
所以f′(0)=3e0=3.
答案 3
4.(2017·
豫北名校期末联考)曲线y=-5ex+3在点(0,-2)处的切线方程为________.
解析 ∵y′=-5ex,∴所求曲线的切线斜率k=y′|x=0=-5e0=-5,∴切线方程为y-(-2)=-5(x-0),即5x+y+2=0.
答案 5x+y+2=0
5.(2015·
全国Ⅰ卷)已知函数f(x)=ax3+x+1的图象在点(1,f
(1))处的切线过点(2,7),则a=________.
解析 由题意可得f′(x)=3ax2+1,则f′
(1)=3a+1,
又f
(1)=a+2,
∴切线方程为y-(a+2)=(3a+1)(x-1).
∵切线过点(2,7),
∴7-(a+2)=3a+1,解得a=1.
答案 1
考点一 导数的计算
【例1】求下列函数的导数:
(1)y=exlnx;
(2)y=x;
(3)y=x-sincos;
(4)y=.
解
(1)y′=(ex)′lnx+ex(lnx)′=exlnx+ex=ex.
(2)因为y=x3+1+,
所以y′=(x3)′+
(1)′+′=3x2-.
(3)因为y=x-sinx,
所以y′=′=x′-′=1-cosx.
(4)y′=′=
=-.
规律方法
(1)熟记基本初等函数的导数公式及运算法则是导数计算的前提,求导之前,应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简,然后求导,这样可以减少运算量提高运算速度,减少差错.
(2)如函数为根式形式,可先化为分数指数幂,再求导.
【训练1】
(1)f(x)=x(2017+lnx),若f′(x0)=2018,则x0等于( )
A.e2B.1C.ln2D.e
(2)(2015·
天津卷)已知函数f(x)=axlnx,x∈(0,+∞),其中a为实数,f′(x)为f(x)的导函数.若f′
(1)=3,则a的值为________.
解析
(1)f′(x)=2017+lnx+·
x=2018+lnx.
由f′(x0)=2018,得lnx0=0,则x0=1.
(2)f′(x)=a=a(1+lnx).
由于f′
(1)=a(1+ln1)=a,又f′
(1)=3,所以a=3.
答案
(1)B
(2)3
考点二 导数的几何意义(多维探究)
命题角度一 求切线方程
【例2-1】
(1)(2016·
全国Ⅲ卷)已知f(x)为偶函数,当x≤0时,f(x)=e-x-1-x,则曲线y=f(x)在点(1,2)处的切线方程是________.
(2)(2017·
威海质检)已知函数f(x)=xlnx,若直线l过点(0,-1),并且与曲线y=f(x)相切,则直线l的方程为( )
A.x+y-1=0B.x-y-1=0
C.x+y+1=0D.x-y+1=0
解析
(1)设x>
0,则-x<
0,f(-x)=ex-1+x.
又f(x)为偶函数,f(x)=f(-x)=ex-1+x,
所以当x>
0时,f(x)=ex-1+x.
因此,当x>
0时,f′(x)=ex-1+1,f′
(1)=e0+1=2.
则曲线y=f(x)在点(1,2)处的切线的斜率为f′
(1)=2,所以切线方程为y-2=2(x-1),即2x-y=0.
(2)∵点(0,-1)不在曲线f(x)=xlnx上,
∴设切点为(x0,y0).
又∵f′(x)=1+lnx,∴
解得x0=1,y0=0.
∴切点为(1,0),∴f′
(1)=1+ln1=1.
∴直线l的方程为y=x-1,即x-y-1=0.
答案
(1)2x-y=0
(2)B
命题角度二 求切点坐标
【例2-2】(2017·
西安调研)设曲线y=ex在点(0,1)处的切线与曲线y=(x>
0)上点P处的切线垂直,则P的坐标为________.
解析 由y′=ex,知曲线y=ex在点(0,1)处的切线斜率k1=e0=1.
设P(m,n),又y=(x>
0)的导数y′=-,
曲线y=(x>
0)在点P处的切线斜率k2=-.
依题意k1k2=-1,所以m=1,从而n=1.
则点P的坐标为(1,1).
答案 (1,1)
命题角度三 求与切线有关的参数值(或范围)
【例2-3】已知直线y=x+b与曲线y=-x+lnx相切,则b的值为( )
A.2B.-1C.-D.1
解析 设切点坐标为P(x0,y0),
由y=-x+lnx,得y′=-+.
∴y′|x=x0=-+,
依题意,-+=,∴x0=1,则P,
又切点P在直线y=x+b上,
故-=+b,得b=-1.
答案 B
规律方法
(1)导数f′(x0)的几何意义就是函数y=f(x)在点P(x0,y0)处的切线的斜率,切点既在曲线上,又在切线上.切线有可能和曲线还有其他的公共点.
(2)“曲线在点P处的切线”是以点P为切点,“曲线过点P的切线”则点P不一定是切点,此时应先设出切点坐标.
(3)当曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线垂直于x轴时,函数在该点处的导数不存在,切线方程是x=x0.
【训练2】
(1)若曲线y=xlnx上点P处的切线平行于直线2x-y+1=0,则点P的坐标是________.
(2)函数f(x)=lnx+ax的图象存在与直线2x-y=0平行的切线,则实数a的取值范围是________.
解析
(1)由题意得y′=lnx+x·
=1+lnx,直线2x-y+1=0的斜率为2.
设P(m,n),则1+lnm=2,解得m=e,
所以n=elne=e,即点P的坐标为(e,e).
(2)函数f(x)=lnx+ax的图象存在与直线2x-y=0平行的切线,即f′(x)=2在(0,+∞)上有解,而f′(x)=+a,即+a在(0,+∞)上有解,a=2-,因为a>0,所以2-<2,所以a的取值范围是(-∞,2).
答案
(1)(e,e)
(2)(-∞,2)
[思想方法]
1.f′(x0)代表函数f(x)在x=x0处的导数值;
(f(x0))′是函数值f(x0)的导数,而函数值f(x0)是一个常数,其导数一定为0,即(f(x0))′=0.
2.对于函数求导,一般要遵循先化简再求导的基本原则.在实施化简时,必须注意交换的等价性.
3.曲线的切线与二次曲线的切线的区别:
曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个,而直线与二次曲线相切只有一个公共点.
[易错防范]
1.利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号,防止与乘法公式混淆.
2.曲线y=f(x)“在点P(x0,y0)处的切线”与“过点P(x0,y0)的切线”的区别:
前者P(x0,y0)为切点,而后者P(x0,y0)不一定为切点.
3.对含有字母参数的函数要分清哪是变量哪是参数,参数是常量,其导数为零.
基础巩固题组
(建议用时:
40分钟)
一、选择题
1.设y=x2ex,则y′=( )
A.x2ex+2xB.2xex
C.(2x+x2)exD.(x+x2)ex
解析 y′=2xex+x2ex=(2x+x2)ex.
答案 C
2.已知函数f(x)的导函数为f′(x),且满足f(x)=2x·
f′
(1)+lnx,则f′
(1)等于( )
A.-eB.-1
C.1D.e
解析 由f(x)=2xf′
(1)+lnx,得f′(x)=2f′
(1)+,
∴f′
(1)=2f′
(1)+1,则f′
(1)=-1.
3.曲线y=sinx+ex在点(0,1)处的切线方程是( )
A.x-3y+3=0B.x-2y+2=0
C.2x-y+1=0D.3x-y+1=0
解析 y′=cosx+ex,故切线斜率为k=2,切线方程为y=2x+1,即2x-y+1=0.
成都诊断)已知曲线y=lnx的切线过原点,则此切线的斜率为( )
A.eB.-eC.D.-
解析 y=lnx的定义域为(0,+∞),且y′=,设切点为(x0,lnx0),则y′|x=x0=,切线方程为y-lnx0=(x-x0),因为切线过点(0,0),所以-lnx0=-1,解得x0=e,故此切线的斜率为.
5.(2017·
昆明诊断)设曲线y=在点处的切线与直线x-ay+1=0平行,则实数a等于( )
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