概率论与数理统计历年考研试题Word格式.docx
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4.(1991年、数学一、填空)设X~N(2,)且P{2<
X<
4}=0.3,则P{X<
0}=()。
[答案填:
0.2]
即,则
5.(1992年、数学一、填空)设随机变量X服从参数为1的指数分布,则().[答案填:
]
6.(1995年、数学一、填空)设X表示10次独立重复射击命中目标的次数且每次命中率为0.4,则=()。
[答案填:
18.4]X~B(10,0.4),则
7.(1996年、数学一、填空)设两个随机变量X与Y相互独立且均服从分布N(0,),则E|X-Y|=().[答案填:
令U=X-Y,则U~N(0,1),从而E|X-Y|=E|U|=
=
8.(1996年、数学一、计算)设两个随机变量与相互独立且同分布,的分布律为P(=k)=,k=1,2,3,又X=max(,),Y=min(,).
(1)写出(X,Y)的分布律;
(2)求E(X).解:
(1)(X,Y)的分布律如下:
(2)X的边缘分布为:
则E(X)=.
9.(1997年、数学一、选择)设随机变量X与Y相互独立且D(X)=4,D(Y)=2,则D(3X-2Y)=().A.8B.16C.28D.44[答案选:
D]D(3x-2Y)=9D(x)+4D(Y)=44
10.(1997年、数学一、计算)从学校乘汽车到火车站的途中有三个交通岗,设在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的,其概率均为0.4,用X表示途中遇到红灯的次数,求X的分布律、分布函数和数学期望。
显然X~B(3,0.4),其分布律为,i=0,1,2,3,分布函数为:
,E(X)=
11.(1998年、数学一、计算)设随机变量X与Y相互独立,均服从N(0,0.5)分布,求|X-Y|的方差。
显然X-Y~N(0,1),则,而E|X-Y|=(见第102题),故|X-Y|=1-
12.(2000年、数学一、计算)某流水生产线上每个产品不合格的概率为p(0<
p<
1),各产品合格与否相互独立,当出现一个不合格产品时即停机检修。
设开机后第一次停机时已生产了的产品个数为X,求E(X)和D(X)。
记q=1-p,则X的概率分布为,i=1,2,…
则:
13.(1987年、数学三、计算)设,求随机变量的期望。
由,可知
14.(1989年、数学三、计算)设与的联合密度为,求:
,。
,可知或
15.(1991年、数学三、选择)若,则()正确。
与独立与不独立[答案选:
].由得又可知.由得可知.由,得,得,可知与不相关,但未必独立。
16.(1992年、数学三、计算)谋设备有三大部件构成,设备运转时,各部件需调整的概率为,若各部件的状态相互独立,求同时需调整的部件数的期望与方差。
设{谋设备第个需调整的部件}且相互独立,,,,同时需调整的部件数的所有可能取值为由得
17.(1993年、数学三、计算)设且与同分布,与独立,,求:
(1)值;
(2)的期望。
(1)由设且与同分布,与独立,可知当时,即与相矛盾,因而,即,即即,即,(不合题意,舍去)
(2)。
18.(1994年、数学三、计算)由自动线加工的某种零件的内径(毫米)服从正态分布,内径小于10或大于12的为不合格品,其余为合格品,销售每件合格品获利,销售每件不合格品亏损,设销售利润(元)与销售零件的内径的关系为问平均内径取何值时,销售一个零件的平均利润最大?
由,即且,可知由得令,即即即,平均内径取时,销售一个零件的平均利润最大。
19.(1996年、数学三、计算)设一部机器在一天内发生故障的概率为,机器发生故障时,全天停止工作,一周五个工作日,若无故障,可获利10万元,若发生一次故障,仍可获利5万元,若发生两次故障,获利为零。
若至少发生三次故障,要亏损2万元,求一周内的利润期望。
设{一周共五个工作日,机器发生故障的天数}且则:
所以一周内的利润期望为万元。
20.(1997年、数学三、计算)游客乘电梯从底层到电视塔的顶层观光,电梯于每个整点的第5分钟、25分钟和55分钟,从底层起行,一游客在早八点的第分钟到达底层候梯处,且在上服从均匀分布,求该游客等候时间的数学期望。
由到达时刻在上服从均匀分布,可知且等候时间
21.(1997年、数学三、计算)两台同样的自动记录仪,每台无故障工作的时间服从参数为5的指数分布,先开动其中的一台,当发生故障时,自动停机,另一台自动开机。
求:
两台记录仪无故障工作的总时间的概率密度、期望值与方差。
设{第台自动记录仪无故障的工作时间},,与独立同分布,且,即,当时,当时,即为两台记录仪无故障工作的总时间的概率密度。
。
22.(1998年、数学三、计算)设一商店经销某种商品,每周的进货量与顾客对该商品的需求量是两个相互独立的随机变量,均服从区间上的均匀分布,此商店每售出一个单位的商品,可获利1000元,若需求量超过了进货量,可从其它商店调剂供应,此时售出的每单位商品,仅获利500元,求此商店经销这种商品每周获利的期望。
设一商店经销某种商品的每周所获利润为元,据题意可知:
当时,当时,即且所以此商店经销这种商品每周获利的期望是14167元。
23.(1999年、数学三、填空)设随机变量独立同分布,,则的数学期望()。
(答案:
)
24.(2000年、数学三、填空)设随机变量在区间上服从均匀分布;
随机变量则()。
[答案填:
25.(1998年、数学四、填空)设一次试验的成功率为,进行100此独立重复试验,当()时,成功次数的标准差的值最大,最大值为()。
(答案:
)解:
据题意可知,,即令,得且。
26.(1987年、数学四、计算)设随机变量的概率分布为。
(1)写出其分布函数;
(2)求的期望与方差。
(1)由,可知,当时,当时,当时,当时,即的分布函数。
(2)。
27.(1988年、数学四、计算)设十只同种电器元件中有两只废品,装配仪器时,从这批元件众任取1只,若是废品,则扔掉从新任取1只,若仍是废品,则在扔掉还取1只。
在取到正品之前,已取出的废品数的概率分布、数学期望及方差。
设事件{从10只电器元件中,任取一只,第次取到废品}在取到正品前,已取出废品数为随机变量,其所有可能取的值为,,,其概率分布如下:
由得:
28.(1989年、数学四、计算)设随机变量与的联合分布为
(1)的概率分布;
(2)的概率分布;
(3)的数学期望。
(1)由与的联合分布可知的概率分布如下:
(2)的概率分布如下:
(3)的概率分布如下:
可知:
29.(1989年、数学四、填空)设随机变量相互独立且,若,则()。
46]解:
由,可知;
由,可知;
由,可知相互独立
30.(1993年、数学四、计算)设随机变量与相互独立,均在区间上服从均匀分布,引进事件,且。
(2)的数学期望。
(1)由与在上均服从均匀分布,可知,当时由随机变量与相互独立,可知事件与也是相互独立的。
与相矛盾,因而。
当时,即,即或
(2)。
31.(1995年、数学四、填空)设,则()。
]解:
32.(1997年、数学四、选择)设是随机变量且,则对任意常数,()成立。
[答案选:
]由,得显然
33.(1997年、数学四、计算)设且,求:
(1)与的联合概率分布;
(1)由,可知由,得,
(2)又。
34.(1998年、数学四、计算)设商店经销某种商品的每周需求量服从区间上的均匀分布,而进货量为区间中的某一个整数,商店每售一单位商品可获利500元,若供大于求,则削价处理,每处理一单位商品亏损100元,若供不应求,则从外部调剂供应,此时每售出一单位商品仅获利300元,求此商店经销这种商品每周进货量为多少,可使获利的期望不少于9280元。
设一商店经销某种商品的每周进货量为且当时,当时,即且令,即,即,取。
答:
此商店经销这种商品每周进货量为21个单位,可使获利的期望不少于9280元。
35.(1999年、数学四、填空)设随机变量服从参数为的泊松(Poisson)分布,且已知,则()。
1]
36.(20XX年、数学四、计算)设随机变量X和Y的联合分布在以点(0,1),(1,0),(1,1),为顶点的三角形区域D上服从均匀分布,试求随机变量U=X+Y的方差。
由条件可知(X,Y)的联合分布密度为:
,则:
同理,
又:
,综上可知:
37.(1993年、数学一、计算)设
(1)求E(X),D(X);
(2)求X与|X|的协方差且判定二者是否不相关;
(3)判断X与|X|是否相互独立。
(1)由于X的密度为偶函数则E(X)=0,若设随机变量Y服从参数为1的指数分布,利用指数分布随机变量的均值及方差的有关结论不难知:
(2),即X与|X|不相关。
(3)设0<
a<
+,则从而,但是
则,即知X与|X|不独立。
38.(1994年、数学一、计算)设,其中求:
(1)E(Z),D(Z);
(2);
(3)X与Z是否相互独立?
为什么?
(1),
(2)
所以
(3)由于X,Z均为正态变量,故独立与不相关等价,则由知X、Z独立。
39.(2000年、数学一、选择)设二维随机向量(X,Y)服从二维正态分布,则随机变量与不相关的充要条件为()。
[答案选:
B]
40.(1991年、数学三、计算)设与在圆域上服从联合均匀分布,
(1)求与的相关系数;
(2)问与是否独立?
(1)由与服从圆域上的联合均匀分布,即可知关于各自的边缘概率密度函数为:
且(奇函数对称区间上的积分为0)因而且,即与的相关系数为0。
(2)由及可知,即与不独立。
41.(1995年、数学三、选择)设与独立且同分布,,则与必()。
.不独立.独立.相关系数不为零.相关系数为零[答案:
选]由与相互独立且同分布,可知且由且得:
由,得且而
42.(1999年、数学三、计算)假设二维随机变量在矩形上服从均匀分布,记,
(1)求和的联合分布;
(2)求和的相关系数。
由题设可得,
(1)有四个可能取值:
,,,
(2)由以上可见以及和的分布为:
,,于是,有,
43.(2000年、数学三、证明)设是二随机事件,随即变量:
,试证明随机变量和不相关的充要条件是与相互独立。
证明:
记,由数学期望的定义,可见现在求。
由于只有两个可能取值和,可见从而因此即随机变量和不相关当且仅当事件与相互独立。
44.(20XX年、数学三、选择)将一枚硬币重复掷n次,以X和Y分别表示正面向上和反面向上的次数,则X和Y的相关系数等于()。
A.–1B.0C.0.5D.1
[答案选:
A]
由X+Y=n知:
Y=n-X,显然二者负相关。
45.(2000年、数学四、计算)设二维随机变量的密度函数为:
其中和都是二维正态密度函数,且它们对应的二维随机变量的相关系数分别为和,它们的边缘密度函数所对应的随机变
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- 概率论 数理统计 历年 考研 试题