高中数字必修五第二章 22 等差数列讲义学案Word格式文档下载.docx
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an-an-1=d(n≥2)
an=a1+(n-1)d(n∈N*)
[点睛] 由等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d可得an=dn+(a1-d),如果设p=d,q=a1-d,那么an=pn+q,其中p,q是常数.当p≠0时,an是关于n的一次函数;
当p=0时,an=q,等差数列为常数列.
1.判断下列命题是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×
”)
(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数,则这个数列是等差数列( )
(2)等差数列{an}的单调性与公差d有关( )
(3)根据等差数列的通项公式,可以求出数列中的任意一项( )
(4)若三个数a,b,c满足2b=a+c,则a,b,c一定是等差数列( )
解析:
(1)错误.若这些常数都相等,则这个数列是等差数列;
若这些常数不全相等,则这个数列就不是等差数列.
(2)正确.当d>
0时为递增数列;
d=0时为常数列;
d<
0时为递减数列.
(3)正确.只需将项数n代入即可求出数列中的任意一项.
(4)正确.若a,b,c满足2b=a+c,即b-a=c-b,故a,b,c为等差数列.
答案:
(1)×
(2)√ (3)√ (4)√
2.等差数列{an}中,a1=1,d=3,an=298,则n的值等于( )
A.98 B.100
C.99D.101
选B an=a1+(n-1)d=3n-2,令an=298,即3n-2=298⇒n=100.
3.在等差数列{an}中,若a1·
a3=8,a2=3,则公差d=( )
A.1B.-1
C.±
1D.±
2
选C 由已知得,解得d=±
1.
4.若log32,log3(2x-1),log3(2x+11)成等差数列.则x的值为________.
由log3(2x+11)-log3(2x-1)=log3(2x-1)-log32,得:
(2x)2-4·
2x-21=0,∴2x=7,∴x=log27.
log27
等差数列的通项公式及应用
[典例] 在等差数列{an}中,
(1)已知a5=-1,a8=2,求a1与d;
(2)已知a1+a6=12,a4=7,求a9.
[解]
(1)∵a5=-1,a8=2,
∴解得
(2)设数列{an}的公差为d.
由已知得,解得
∴an=1+(n-1)×
2=2n-1,
∴a9=2×
9-1=17.
在等差数列{an}中,首项a1与公差d是两个最基本的元素,有关等差数列的问题,如果条件与结论间的联系不明显,则均可化成有关a1,d的关系列方程组求解,但是要注意公式的变形及整体计算,以减少计算量.
[活学活用]
1.2016是等差数列4,6,8,…的( )
A.第1006项 B.第1007项
C.第1008项D.第1009项
选B ∵此等差数列的公差d=2,∴an=4+(n-1)×
2,an=2n+2,即2016=2n+2,∴n=1007.
2.已知等差数列{an}中,a15=33,a61=217,试判断153是不是这个数列的项,如果是,是第几项?
解:
设首项为a1,公差为d,则an=a1+(n-1)d,
由已知
解得
所以an=-23+(n-1)×
4=4n-27,
令an=153,即4n-27=153,解得n=45∈N*,所以153是所给数列的第45项.
等差中项的应用
[典例] 已知等差数列{an},满足a2+a3+a4=18,a2a3a4=66.求数列{an}的通项公式.
[解] 在等差数列{an}中,
∵a2+a3+a4=18,∴3a3=18,a3=6.
∴解得或
当时,a1=16,d=-5.
an=a1+(n-1)d=16+(n-1)·
(-5)=-5n+21.
当时,a1=-4,d=5.
an=a1+(n-1)d=-4+(n-1)·
5=5n-9.
三数a,b,c成等差数列的条件是b=(或2b=a+c),可用来进行等差数列的判定或有关等差中项的计算问题.如若证{an}为等差数列,可证2an+1=an+an+2(n∈N*).
1.已知数列8,a,2,b,c是等差数列,则a,b,c的值分别为________,________,________.
因为8,a,2,b,c是等差数列,
所以解得
5 -1 -4
2.已知数列{an}中,a3=2,a7=1,且数列为等差数列,则a5=________.
由数列为等差数列,则有+=,可解得a5=.
等差数列的判定与证明
[典例] 已知数列{an}满足a1=4,an=4-(n>
1),记bn=.求证:
数列{bn}是等差数列.
证明:
[法一 定义法]
∵bn+1===,
∴bn+1-bn=-==,为常数(n∈N*).
又b1==,
∴数列{bn}是首项为,公差为的等差数列.
[法二 等差中项法]
∵bn=,
∴bn+1===.
∴bn+2===.
∴bn+bn+2-2bn+1=+-2×
=0.
∴bn+bn+2=2bn+1(n∈N*),
∴数列{bn}是等差数列.
等差数列判定的常用的2种方法
(1)定义法:
an+1-an=d(常数)(n∈N*)⇔{an}为等差数列.
(2)等差中项法:
2an+1=an+an+2(n∈N*)⇔{an}为等差数列.
已知,,成等差数列,并且a+c,a-c,a+c-2b均为正数,求证:
lg(a+c),lg(a-c),lg(a+c-2b)也成等差数列.
∵,,成等差数列,∴=+,
∴=,即2ac=b(a+c).
(a+c)(a+c-2b)=(a+c)2-2b(a+c)=(a+c)2-2×
2ac=a2+c2+2ac-4ac=(a-c)2.
∵a+c,a+c-2b,a-c均为正数,上式左右两边同时取对数得,lg[(a+c)(a+c-2b)]=lg(a-c)2,即lg(a+c)+lg(a+c-2b)=2lg(a-c),
∴lg(a+c),lg(a-c),lg(a+c-2b)成等差数列.
层级一 学业水平达标
1.已知等差数列{an}的通项公式为an=3-2n,则它的公差为( )
A.2 B.3
C.-2D.-3
选C ∵an=3-2n=1+(n-1)×
(-2),∴d=-2,故选C.
2.若等差数列{an}中,已知a1=,a2+a5=4,an=35,则n=( )
A.50B.51
C.52D.53
选D 依题意,a2+a5=a1+d+a1+4d=4,代入a1=,得d=.
所以an=a1+(n-1)d=+(n-1)×
=n-,令an=35,解得n=53.
3.设x是a与b的等差中项,x2是a2与-b2的等差中项,则a,b的关系是( )
A.a=-bB.a=3b
C.a=-b或a=3bD.a=b=0
选C 由等差中项的定义知:
x=,
x2=,
∴=2,即a2-2ab-3b2=0.
故a=-b或a=3b.
4.数列{an}中,a1=2,2an+1=2an+1,则a2015的值是( )
A.1006B.1007
C.1008D.1009
选D 由2an+1=2an+1,得an+1-an=,所以{an}是等差数列,首项a1=2,公差d=,
所以an=2+(n-1)=,
所以a2015==1009.
5.等差数列{an}的首项为70,公差为-9,则这个数列中绝对值最小的一项为( )
A.a8B.a9
C.a10D.a11
选B |an|=|70+(n-1)×
(-9)|=|79-9n|=9,∴n=9时,|an|最小.
6.在等差数列{an}中,a3=7,a5=a2+6,则a6=________.
设等差数列{an}的公差为d,
由题意,得
∴an=a1+(n-1)d=3+(n-1)×
2=2n+1.
∴a6=2×
6+1=13.
13
7.已知{an}为等差数列,且a7-2a4=-1,a3=0,则公差d=________.
根据题意得:
a7-2a4=a1+6d-2(a1+3d)=-a1=-1,
∴a1=1.
又a3=a1+2d=1+2d=0,
∴d=-.
-
8.已知数列{an}满足:
a=a+4,且a1=1,an>
0,则an=________.
根据已知条件a=a+4,即a-a=4.
∴数列{a}是公差为4的等差数列,
则a=a+(n-1)×
4=4n-3.
∵an>
0,∴an=.
9.已知数列{an}满足a1=2,an+1=,则数列是否为等差数列?
说明理由.
数列是等差数列,理由如下:
因为a1=2,an+1=,
所以==+,
所以-=(常数).
所以是以=为首项,公差为的等差数列.
10.若,,是等差数列,求证:
a2,b2,c2成等差数列.
由已知得+=,通分有=.
进一步变形有2(b+c)(a+b)=(2b+a+c)(a+c),整理,得a2+c2=2b2,
所以a2,b2,c2成等差数列.
层级二 应试能力达标
1.若数列{an}为等差数列,ap=q,aq=p(p≠q),则ap+q为( )
A.p+q B.0
C.-(p+q)D.
选B ∵ap=a1+(p-1)d,aq=a1+(q-1)d,
∴
①-②,得(p-q)d=q-p.
∵p≠q,∴d=-1.
代入①,有a1+(p-1)×
(-1)=q,∴a1=p+q-1.
∴ap+q=a1+(p+q-1)d=p+q-1+(p+q-1)×
(-1)=0.
2.已知x≠y,且两个数列x,a1,a2,…,am,y与x,b1,b2,…,bn,y各自都成等差数列,则等于( )
A.B.
C.D.
选D 设这两个等差数列公差分别是d1,d2,则a2-a1=d1,b2-b1=d2.第一个数列共(m+2)项,∴d1=;
第二个数列共(n+2)项,∴d2=.这样可求出==.
3.已知数列{an},对任意的n∈N*,点Pn(n,an)都在直线y=2x+1上,则{an}为( )
A.公差为2的等差数列B.公差为1的等差数列
C.公差为-2的等差数列D.非等差数列
选A 由题意知an=2n+1,∴an+1-an=2,应选A.
4.如果a1,a2,…,a8为各项都大于零的等差数列,且公差
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