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(4)某人内骑车行进了1,则他骑车的平均速度,这里是的函数;
(5)购买每本1元的练习本本,则需支付元,这里是的函数.
新知
1、幂函数的概念:
一般地,形如的函数称为幂函数,其中为常数.
试一试:
判断下列函数哪些是幂函数.
1;
②;
③;
④.
探究任务二:
幂函数的图象与性质
作出下列函数的图象:
(1);
(2);
(3);
(4);
(5).
从图象分析出幂函数所具有的性质.
观察图象,总结填写下表:
常见幂函数的性质
例1、已知幂函数,求的值
例2、已知函数为何值时,是:
(1)正比例函数
(2)反比例函数(3)二次函数(4)幂函数
例3.下面六个幂函数的图象如图所示,试建立函数与图象之间的对应关系.
(5);
(6).
2、幂函数的定义域和值域
所有幂函数的定义域和值域的求法分为五种情况
(1)时,的定义域为,值域为
(2)为正整数时,的定义域为,为偶数时,值域为,为奇数时,值域为
(3)为负整数时,的定义域为,为偶数时,值域为,为奇数时,值域为
(4)当为正分数时,化为,根据的奇偶性求解
(5)当为负分数时,化为,根据的的奇偶性求解
例4、
(1)函数的定义域是,值域是;
(2)函数的定义域是,值域是;
练1
(1)函数的定义域是,值域是;
练2、幂函数①,②,③,④,⑤,其中定义域为的是()
A.①②B.②③C.②④D.④⑤
例5.设α∈{-1,1,,3},则使函数y=xα的定义域为R,且为奇函数的所有α值为( )
A.1,3B.-1,1C.-1,3D.-1,1,3
3、幂函数的单调性和奇偶性
(1)幂函数的单调性:
在区间上,当时,是增函数;
当时,是减函数
(2)幂函数的奇偶性:
令(其中、互质,、)
当为奇数,则的奇偶性取决于是奇数还是偶数.当是奇数时,则是奇函数;
当是偶数时,则是偶函数
当为偶数,则必是奇数,此时既不是奇函数,也不是偶函数
例6、若当时,幂函数为减函数,则实数的值为()
A.B.C.或D.
例7、已知函数为偶函数,且
(1)求的值,并确定的解析式
(2)若在上为增函数,求实数的取值范围
例8、已知幂函数为偶函数,且在区间上市减函数
(1)求函数的解析式
(2)讨论的奇偶性
练3、下列说法正确的是()
A.是奇函数B.是奇函数
C.是非奇非偶函数D.是非奇非偶函数
构造幂函数比较两个幂值得大小
比较两个幂值的大小,关键是构造适当的函数,若指数相同而底数不同,则考虑幂函数;
若指数不同而底数相同,则考虑指数函数;
若底数不同,指数也不同,需引入中间量,利用幂函数、指数函数的单调性或借助于函数的图像来比较
例9、比较下列各组数大小:
(1)
(2)(3)
练4、比较下列各组数大小:
(1)
(2)
(3),,
练5、若,则下列不等式成立的是()
A.B.
C.D.
任务三、课后作业
第一题、选择题
1.在函数y=2x3,y=x2,y=x2+x,y=x0中,幂函数有( )
A.1个B.2个
C.3个D.4个
解析:
选B.y=x2与y=x0是幂函数.
2.若幂函数在上是增函数,则().
A.>
0B.<
0
C.=0D.不能确定
3.函数f(x)=(m2-m-1)xm2-2m-3是幂函数,且在x∈(0,+∞)上是减函数,则实数m=( )
A.2B.3
C.4D.5
4.使(3-2x-x2)-有意义的x的取值范围是( )
A.RB.x≠1且x≠3
C.-3<x<1D.x<-3或x>1
选C.(3-2x-x2)-=,
∴要使上式有意义,需3-2x-x2>0,
解得-3<x<1.
选A.m2-m-1=1,得m=-1或m=2,再把m=-1和m=2分别代入m2-2m-3<0,经检验得m=2.
5.若,那么下列不等式成立的是().
A.<
l<
B.1<
<
C.<
D.1<
6.函数的图象是().
A.B.C.D.
7.函数y=(x+4)2的递减区间是( )
A.(-∞,-4)B.(-4,+∞)
C.(4,+∞)D.(-∞,4)
选A.y=(x+4)2开口向上,关于x=-4对称,在(-∞,-4)递减.
8.给出四个说法:
①当n=0时,y=xn的图象是一个点;
②幂函数的图象都经过点(0,0),(1,1);
③幂函数的图象不可能出现在第四象限;
④幂函数y=xn在第一象限为减函数,则n<0.
其中正确的说法个数是( )
A.1B.2C.3D.4
选B.显然①错误;
②中如y=x-的图象就不过点(0,0).根据幂函数的图象可知③、④正确,故选B.
第二题、填空题
9.已知幂函数的图象过点,则它的解析式为.
10.比较下列两组数的大小:
(2).
11.已知2.4α>2.5α,则α的取值范围是________.
∵0<2.4<2.5,而2.4α>2.5α,∴y=xα在(0,+∞)为减函数.
答案:
α<0
第三题、解答题
12.求函数y=(x-1)-的单调区间.
解:
y=(x-1)-==,定义域为x≠1.令t=x-1,则y=t-,t≠0为偶函数.
因为α=-<0,所以y=t-在(0,+∞)上单调递减,在(-∞,0)上单调递增.又t=x-1单调递增,故y=(x-1)-在(1,+∞)上单调递减,在(-∞,1)上单调递增.
13.已知(m+4)-<(3-2m)-,求m的取值范围.
∵y=x-的定义域为(0,+∞),且为减函数.
∴原不等式化为,
解得-<m<.
∴m的取值范围是(-,).
14.已知幂函数y=xm2+2m-3(m∈Z)在(0,+∞)上是减函数,求y的解析式,并讨论此函数的单调性和奇偶性.
由幂函数的性质可知
m2+2m-3<0⇒(m-1)(m+3)<0⇒-3<m<1,
又∵m∈Z,∴m=-2,-1,0.
当m=0或m=-2时,y=x-3,
定义域是(-∞,0)∪(0,+∞).
∵-3<0,
∴y=x-3在(-∞,0)和(0,+∞)上都是减函数,
又∵f(-x)=(-x)-3=-x-3=-f(x),
∴y=x-3是奇函数.
当m=-1时,y=x-4,定义域是(-∞,0)∪(0,+∞).
∵f(-x)=(-x)-4===x-4=f(x),
∴函数y=x-4是偶函数.
∵-4<0,∴y=x-4在(0,+∞)上是减函数,
又∵y=x-4是偶函数,
∴y=x-4在(-∞,0)上是增函数.
任务四、巩固训练
1.已知幂函数f(x)的图象经过点(2,),则f(4)的值为( )
A.16B.C.D.2
选C.设f(x)=xn,则有2n=,解得n=-,
即f(x)=x-,所以f(4)=4-=.
2.下列幂函数中,定义域为{x|x>0}的是( )
A.y=xB.y=xC.y=x-D.y=x-
选D.A.y=x=,x∈R;
B.y=x=,x≥0;
C.y=x-=,x≠0;
D.y=x-=,x>0.
3.函数和图象满足()
A.关于原点对称B.关于轴对称C.关于轴对称D.关于直线对称
4.函数在区间上的最大值是()
A.B.C.D.
5.设T1=,T2=,T3=,则下列关系式正确的是( )
A.T1<
T2<
T3B.T3<
T1<
T2C.T2<
T3<
T1D.T2<
T3
6.幂函数在第一象限内的图象依次是图中的曲线()
A.B.
C.D.
7.下列函数在上为减函数的是()
A. B. C. D.
B
8.幂函数f(x)=xα满足x>1时f(x)>1,则α满足条件( )
A.α>1B.0<α<1
C.α>0D.α>0且α≠1
选A.当x>1时f(x)>1,即f(x)>f
(1),f(x)=xα为增函数,且α>1.
选D.y=x=,其定义域为R,值域为[0,+∞),故定义域与值域不同.
9.当x∈(1,+∞)时,函数)y=的图象恒在直线y=x的下方,则a的取值范围是( A )
A、a<1B、0<a<1C、a>0D、a<0
10.若点在幂函数的图象上,则下列结论中不能成立的是(B)
A.B.C.D.
11.函数的定义域为________.
,∴x<
1.
(-∞,1)
12.已知n∈{-2,-1,0,1,2,3},若n>
n,则n=____-1,2____.
13.是偶函数,且在是减函数,则整数的值是5.
14.设x∈(0,1)时,y=xp(p∈R)的图象在直线y=x的上方,则p的取值范围是________.
结合幂函数的图象性质可知p<
p<
1
15.已知函数f(x)=xα(0<α<1),对于下列命题:
①若x>1,则f(x)>1;
②若0<x<1,则0<f(x)<1;
③若f(x1)>f(x2),则x1>x2;
④若0<x1<x2,则.
其中正确的命题序号是_①②③_______.
16.已知幂函数f(x)=(p∈Z)在上是增函数,且在其定义域内是偶函数,求p的值,并写出相应的函数f(x)
17.函数f(x)=(m2-m-5)xm-1是幂函数,且当x∈(0,+∞)时,f(x)是增函数,试确定m的值.
根据幂函数的定义得:
m2-m-5=1,
解得m=3或m=-2,
当m=3时,f(x)=x2在(0,+∞)上是增函数;
当m=-2时,f(x)=x-3在(0,+∞)上是减函数,不符合要求.故m=3.
18.已知幂函数,当x∈(0,+∞)时为减函数,则该幂函数的解析式是什么?
奇偶性如何?
单调性如何?
由于为幂函数,所以m2-m-1=1,解得m=2,或m=-1.
当m=2时,m2-2m-3=-3,y=x-3,在(0,+∞)上为减函数;
当m=-1时,m2-2m-3=0,y=x0=1(x≠0)在(0,+∞)上为常函数,不合题意,舍去.
故所求幂函数为y=x-3.这
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- 函数 导学案