通用版高考数学复习专题六统计与概率62概率统计解答题练习理Word格式.docx
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(1)从全校学生中随机抽取1人,估计该学生上个月A,B两种支付方式都使用的概率;
(2)从样本仅使用A和仅使用B的学生中各随机抽取1人,以X表示这2人中上个月支付金额大于1
000元的人数,求X的分布列和数学期望;
(3)已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化.现从样本仅使用A的学生中,随机抽查3人,
发现他们本月的支付金额都大于2000元根据抽查结果,能否认为样本仅使用A的学生中本月支
付金额大于2000元的人数有变化?
说明理由.
解
(1)由题意知,样本中仅使用A的学生有18+9+3=30人,仅使用B的学生有10+14+1=25人,A,B两种支付方式都不使用的学生有5人.
故样本中A,B两种支付方式都使用的学生有100-30-25-5=40人.
所以从全校学生中随机抽取
1人,该学生上个月
A,B两种支付方式都使用的概率估计为
一=0.4
(2)X的所有可能值为0,1,2
记事件C为“从样本仅使用
A的学生中随机抽取
1人,该学生上个月的支付金额大于
1000
元”,事件D为“从样本仅使用
B的学生中随机抽取
1000元”
由题设知,事件C,D相互独立,
且P(C=一=0.4,P(D)=——=0.6.所以F(X=2)=RCD=RC)P(D=O.24,
F(X=1)=RCD
=RC)F()+R)F(D
=0.4X(1-0.6)+(1-0.4)X0.6=0.52,
F(X=0)=R)=P()R)=0.24.
所以X的分布列为
X
1
2
P
0.24
0.52
0.24
故X的数学期望日X)=0X0.24+1X0.52+2X0.24=1.
(3)记事件E为“从样本仅使用A的学生中随机抽查3人,他们本月的支付金额都大于2000
假设样本仅使用A的学生中,本月支付金额大于2000元的人数没有变化,则由上个月的样本数
据得P(E)=-——.
答案示例1:
可以认为有变化•理由如下:
P(E)比较小,概率比较小的事件一般不容易发生•一旦发生,就有理由认为本月的支付金额大于
2000元的人数发生了变化.所以可以认为有变化.
答案示例2:
无法确定有没有变化.理由如下:
事件E是随机事件,P(曰比较小,一般不容易发生,但还是有可能发生的,所以无法确定有没有
变化•
2.(2019天津•16)设甲、乙两位同学上学期间,每天7:
30之前到校的概率均为-.假定甲、乙两位同学到校情况互不影响,且任一同学每天到校情况相互独立
(1)用X表示甲同学上学期间的三天中7:
30之前到校的天数,求随机变量X的分布列和数学期望
(2)设M为事件“上学期间的三天中,甲同学在7:
30之前到校的天数比乙同学在7:
30之前到校的
天数恰好多2”,求事件M发生的概率.
解
(1)因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立,且每天7:
30之前到校的概率均为-,
故X~B3,-,
从而F(X=k)=k=0,1,2,3.
所以,随机变量X的分布列为
3
—
随机变量X的数学期望E(X)=3X-=2.
(2)设乙同学上学期间的三天中7:
30之前到校的天数为Y,则Y〜B3,_,且M=X=3,Y=1}U
{X=2,Y=0}.由题意知事件{X=3,Y=1}与{X=2,Y=0}互斥,且事件{X=3}与{Y=1},事件{X=2}与{Y=0}均相互独立,从而由
(1)知P(M=R{X=3,Y=1}U
{X=2,Y=0})=RX=3,Y=1)+P(X=2,Y=0)=F(X=3)F(Y=1)+RX=2)P(Y=0)j--—一.
3.(2018全国I•20)某工厂的某种产品成箱包装,每箱200件,每一箱产品在交付用户之前要对产
品作检验,如检验出不合格品,则更换为合格品.检验时,先从这箱产品中任取20件作检验,再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验.设每件产品为不合格品的概率都为p(0vpvl),且各件
产品是否为不合格品相互独立.
(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p),求f(p)的最大值点po.
(2)现对一箱产品检验了20件,结果恰有2件不合格品,以
(1)中确定的p0作为p的值.已知每件产
品的检验费用为2元,若有不合格品进入用户手中,则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用
1若不对该箱余下的产品作检验,这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X,求EX
2以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据,是否该对这箱余下的所有产品作检验?
厂
(1)20件产品中恰有2件不合格品的概率为
218
f(p)=p(1-p).
18217
因此f'
(p)=[2p(1-p)-18p(1-p)]
17
令f(p)=0,得p=0.1.当p€(0,0.1)时,f'
(p)>
0;
当p€(0.1,1)时,f(p)<
0.
所以f(p)的最大值点为3=0.1.
⑵由
(1)知,p=0.1.
1令Y表示余下的180件产品中的不合格品件数,依题意知Y~EB180,0.1),
X=20X2+25Y,即X=40+25Y.
所以EX=E40+25Y)=40+25EY=490.
2如果对余下的产品作检验,则这一箱产品所需要的检验费为400元.
由于EX:
400,故应该对余下的产品作检验.
4.(2017山东•18)在心理学研究中,常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响,具体方
法如下:
将参加试验的志愿者随机分成两组,一组接受甲种心理暗示,另一组接受乙种心理暗示.通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用,现有6名男志愿者
A,A,A,A,A,A和4名女志愿者B,B,E3,B4,从中随机抽取5人接受甲种心理暗示,另5人接受乙种心理暗示.
(1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A但不包含B的概率.
(2)用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数,求X的分布列与数学期望E(X).
解
(1)记接受甲种心理暗示的志愿者中包含A但不包含B的事件为M则RM——.
(2)由题意知X可取的值为:
0,1,2,3,4,贝U
F(X=0)=—RX=1)=
RX=2)=—P(X=3)=—-,
F(X=4)=一—.因此X的分布列为
4
X的数学期望是
日X)=oXP(X=0)+1XF(X=1)+2XP(X=2)+3XP(X=3)+4XF(X=4)=0+1X—+2X-+3X-+4X-=2.
典题演练提能•刷高分
1.2017年5月,来自“一带一路”沿线的20国青年评选出了中国的“新四大发明”:
高铁、扫码支
付、共享单车和网购•为拓展市场,某调研组对甲、乙两个品牌的共享单车在5个城市的用户人数
进行统计,得到如下数据:
城市品牌
j
n
出
IV
V
甲品牌(百万)
8
6
12
乙品牌(百万)
5
7
9
(1)如果共享单车用户人数超过5百万的城市称为“优质潜力城市”,否则“非优”,能否在犯错误
的概率不超过0.15的前提下认为“优质潜力城市”与共享单车品牌有关?
(2)如果不考虑其他因素,为拓展市场,甲品牌要从这5个城市中选出3个城市进行大规模宣传.
①在城市I被选中的条件下,求城市n也被选中的概率
②以X表示选中的城市中用户人数超过5百万的个数,求随机变量X的分布列及数学期望日X).
F面临界值表供参考
P心ko)
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
ko
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
参考公式:
K2=,n=a+b+c+d.
解⑴根据题意列出2X2列联表如下
优质城市
单车品牌
非优质城市
合计
甲品牌(个)
乙品牌(个)
10
口=——=0.4<
2.072,
所以在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为“优质潜力城市”与“共享单车”品牌无关.
(2)①令事件C为“城市I被选中”;
事件D为“城市n被选中”,则P(C)=—-,P(CD*—,
所以RD|C)d-.
②随机变量X的所有可能取值为1,2,3,
——
E(X)=1X_+2X_+3X_=1.8.
2.在某年级的联欢会上设计了一个摸奖游戏,在一个口袋中装有3个红球和7个白球,这些球除颜
色外完全相同,一次从中摸出3个球•
(1)设E表示摸出的红球的个数,求E的分布列和数学期望;
(2)为了提高同学们参与游戏的积极性,参加游戏的同学每人可摸球两次,每次摸球后放回,若规定
两次共摸出红球的个数不少于n,且中奖概率大于60%寸,即中奖,求n的最大值.
解
(1)E=0,1,2,3,F(E=0)—
F(E=1)=一-,F(E=2)=
F(E=3)=—一,则E的分布列为
E
F
E的数学期望为E(E)=0X—+1X—+2X—+3X—-.
(2)设两次共摸出红球的个数为n,则n=0,1,2,3,4,5,6
P(n=6)=,P(n=5)=
P(n=4)=,P(n=3)=
P(n=3)=,P(n=1)=
3.2017年被称为“新高考元年”,随着上海、浙江两地顺利实施“语数外+3”新高考方案,新一轮
的高考改革还将继续在全国推进.辽宁地区也将于2020年开启新高考模式,今年秋季入学的高一新
生将面临从物理、化学、生物、政治、历史、地理等6科中任选三科(共20种选法)作为自己将来
高考“语数外+3”新高考方案中的“3”.某地区为了顺利迎接新高考改革,在某学校理科班的200
名学生中进行了“学生模拟选课数据”调查,每个学生只能从表格中的20种课程组合选择一种学
习.模拟选课数据统计如下表:
序号
组合
学科
物化生
物化政
物化历
物化地
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