线性代数第二章习题答案文档格式.docx
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2.已知,,求.
3.设,求
(3)若满足,求;
(4)若满足,求.
(1)
;
(2)
(3)由得,
;
(4)由得,
4.计算下列矩阵的乘积:
(3);
(4)
(5)
(6)。
5.设,求.
6.设,,,
(1)求及;
(2)如果,是否必有?
(3)求.
(1),;
(2)由
(1)知,而;
(3)。
7.已知,,求.
8.举反例说明下列命题是错误的:
(1)若,则;
(2)若,则或;
(3)若,且,则.
(1)举例若,而;
(2)举例若,而且;
(3)举例若,,,,且而。
9.证明:
如果,则有
(2).
证明:
(2)
10.设均为阶矩阵,证明下列命题是等价的:
(4).
(1)
(2)因为,所以;
(2)
(1),所以;
(1)(3)因为,所以
(3)
(1),所以;
(1)(4)因为,所以
(4)
(1),所以。
11.设与是两个n阶反对称矩阵,证明:
当且仅当时,是反对称矩阵.
先证当时,是反对称矩阵。
因为,所以是反对称矩阵。
反之,若是反对称矩阵,即,则。
习 题 2-3
1.判别下列方阵是否可逆,若可逆,求它们的逆矩阵:
(2);
(3);
(4);
(5);
(6).
(1),故存在,
从而
(2),故存在,
(3),故存在,,
(4),故存在,,
(5),故不存在。
(6),故存在,,
从而。
2.设,求矩阵使满足.
由1题中的(4)小题知,又知
所以
3.设,,,解下列矩阵方程:
(3).
,
(1)
(3)
4.利用逆矩阵解下列线性方程组:
(1);
(2).
(1)取,,,则原方程组为
,∴,即。
(2)取,,,则原方程组为
5.设(为正整数),证明.
因为
(由)
所以。
6.设方阵满足,证明和都可逆,并求和.
因为可知,所以可逆且;
又有得,所以可逆且
7.设,求.
因为,所以,而,,
,所以
8.设,求矩阵.
由于,有
而且,可知可逆,所以。
9.设是阶方阵的伴随矩阵,证明:
(1)若可逆,则;
(2)若,则;
(4)若可逆,则;
(5)若可逆,则.
(1)∵,而可逆,∴
(2),当,则,∴
当,则由,∴矛盾。
∴
故当时,有。
(3)若由
(2)知此时命题也成立,故有。
若,则由,∴
综上有。
(4)∵,而可逆,∴
又,∴,即
(5)∵可逆,∴可逆
又,
即,∴
10.设的伴随矩阵,且,
求矩阵.
由
而,∴。
11.设,其中,求.
∵故,所以
而,,,
故
12.设,其中,
求.
∵,,∴
又
故。
13.设矩阵、及都可逆,证明:
(1)也可逆,并且;
证明:
(1)∵
∴可逆且
(2)∵
∴,又有
(1)知
由逆矩阵的唯一性知,。
习 题 2-4
1.设矩阵,,用分块矩阵计算:
先对进行分块,,
其中,,
(2)。
2.设,,求.
先对进行分块,,其中,
,,则,
而,,所以。
3.设,,求.
先对进行分块,,其中=,,=,,则,
而,
4.设,求及.
,令A
则是分块对角阵,故
5.已知分块方阵,,其中均为可逆方阵,证明和均可逆,并求和.
设有矩阵,使,即
则,因均为可逆方阵,所以有,即
从而可逆且。
设有,使,即
,因均为可逆方阵,所以有,
即,从而可逆且。
6.求下列矩阵的逆阵:
(1)记原方阵为,则,
(2)记原方阵为,则可直接凑得
而,,
∴=
习 题 2-5
1.对下列矩阵作初等行变换,先化为行阶梯形矩阵,再化为行最简形矩阵:
(5);
(行阶梯形矩阵)(行最简形矩阵)
(行阶梯形矩阵)
(行最简形矩阵)
(4)
(5)(行阶梯形矩阵)(行最简形矩阵)
(6)(行阶梯形矩阵)(行最简形矩阵)
2.把可逆矩阵分解为初等阵的乘积.
即
3.设,求.
可以写成
4.用初等行变换求下列矩阵的逆矩阵:
(4).
(3)
∴
5.用初等变换法求矩阵,使,其中,.
∵
6.求解矩阵方程,其中。
,即
而
习 题 2-6
1.在矩阵中,若存在一个阶子式不等于0,那么的秩如何?
若的所有阶子式都为0,那么的秩又如何?
若中存在阶子式不等于0,则的秩≥
若的所有阶子式均为0,则的秩<。
2.在秩为的矩阵中,有没有等于0的阶子式?
有没有等于0的阶子式?
在秩为的矩阵中,可能有等于0的阶子式,也可能有等于0的阶子式。
如,,而二阶子式,
三阶子式,。
3.从矩阵中划去一行得到矩阵,问与的秩的关系怎样?
或
如第二题中的例子,划去第三行得,则。
4.求下列矩阵的秩,并求一个最高阶非零子式:
(6);
(7).
由知,,且为一个最高阶非零子式。
(3)
(6)
5.求的值,使矩阵有最小的秩.
因,所以,要使的秩最小,须,即
因此,当时,,的秩最小。
6.设阶矩阵满足,证明
∵,∴,∴
7.设是阶方阵(),是的伴随矩阵,证明
当时,∴,∴
当时,的所有阶子式均为,即,∴
当时,至少有一个阶子式不为,即至少有一个非零元素,∴
又∵,∴,∴,∴,而
∴,从而
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