13集合间的基本关系教学设计教案.docx
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13集合间的基本关系教学设计教案
教学准备
1. 教学目标
了解集合间的关系
能够区分元素与子集、属于与包含的符号关系
2. 教学重点/难点
重点是通过类比识记集合间关系符论,及Venn图法.
难点是弄清元素与子集、属于与包含之间的区别.
3. 教学用具
课件
4. 标签
集合之间的关系、符号应用
教学过程
1.2 集合之间的关系与运算
1.2.1集合之间的关系
教材思路解读
思路导读
教材先通过给出的几组集合,归纳出两个集合元素之间的关系,从而引出子集的概念,详细介绍了集合的包含关系、不包含关系,及相应的关系符号和Venn图表示法,通过对元素与集合,集合与集合关系符号的比较,使我们对这两种关系有了更清晰的认识,最后介绍了包含关系的相关结论,利用包含关系推出集合相等的定义。
本节重点是通过类比识记集合间关系符论,及Venn图法.难点是弄清元素与子集、属于与包含之间的区别.
思维导图
知识与技能解读
集合间的基本关系
一、集合关系的引入
神舟系列飞船是我们中国人的骄傲,飞向太空,飞抵月球,飞出太阳系,飞出银河系,飞向我们未知的宇宙世界是我们人类梦寐以求的梦想.地球是围绕太阳公转的星球,太阳系是由围绕它公转的一些列星球组成的,如果将它看成一个集合,将银河系也看作一个集合,这两个集合有什么关系呢?
不难发现太阳系的元素都属于银河系,所以可以称太阳系包含于银河系,集合与集合的关系其实就是包含关系.在生活和学习中,通过研究集合和集合的关系,我们可以发现它们之间的共性和区别,便于我们探寻它们所具有的规律和特征,发现和创新新的事物.
二、集合间的基本关系与实数间的关系比较
研究对象
关系及符号比较
集合
关系
含于(被包含)
真含于
包含
真包含
等于
不包含
符号
=
实数
关系
大于等于
大于
小于等于
小于
等于
不等于
符号
≥
>
≤
<
=
≠
通过比较,我们能较好的理解集合间的关系,并能够找到很好的学习和记忆本节知识的方法——类比法!
与集合关系相关概念和推论
一、与集合间关系有关的概念
1.子集 如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素,那么集合A就叫做集合B的子集,记作:
读作:
A包含于B或B包含A.比如:
集合A={正方形}是集合B={矩形}的子集,记作AB;对于整数集Z和实数集R,显然Z是R的子集,记作ZR.
如果集合A包含于集合B,或集合B包含于集合A,则称集合A与集合B具有包含关系。
如整数集与实数集之间具有包含关系。
包含关系具有传递性:
对于集合A,B,C,如果AB,BC,则AC.如集合{正方形}{长方形},{长方形}{平行四边形},则{正方形}{平行四边形}。
如果集合A中存在着不是集合B中的元素,那么集合A不包含于集合B或称为集合B不包含集合A,分别记作AB 或BA. 如集合{菱形}{正方形}
2.Venn图 用平面内一条封闭曲线的内部表示一个集合,这个区域叫Venn图.Venn图所用的封闭曲线组成的图形没有形状和大小的限制,形状可以是矩形、椭圆、圆等,由于圆和椭圆比较美观,所以数学中常用圆或椭圆表示集合.其大小只以表示的关系能看清楚为限!
比如数集N、Z、Q、R的包含关系,用文氏图表示:
3.集合相等 一般地,对于两个集合A与B,如果集合A的每一个元素都是集合B的元素,反过来,集合B的每一个元素都是集合A的元素,那么我们说集合A等于集合B,记作A=B.符号表示:
且,则A=B;若A=B则且。
警视区:
我们在上一节也学习了集合相等,是通过以元素为对象来研究的,而现在则是从集合间的相互包含关系来研究的,它们的适用性是有区别的,以元素为对象判断集合相等,通常适用于有具体元素的集合,以集合间的相互关系为对象适用于判断抽象的集合.
4.真子集 一般地,如果集合A是集合B的子集,并且集合B中至少有一个元素不属于集合A,那么我们称集合A是集合B的真子集.记作:
(或),读作A真含于B或B真包含A.比如:
A ={2,4,6},B ={小于10的正偶数},实际上B ={2,4,6,8},2、4、6B,8B且8A,所以A是B的真子集,记作AB.
5.空集 不包含任何元素的集合叫空集,记作。
二、相关推论
1.关系符号和概念辨析
(1)与集合有关的关系符号的比较
关系符号
研究对象
反映的关系
例子
、
元素与集合
元素与集合间的关系
如:
1N.不能写成1N
、、、、
集合与集合
集合与集合间的关系
如:
{1}{1,2,3}、QZ、{N}等.不能写成QZ
警示区:
在第一节集合概念学习中,刚刚接触了元素与集合之间的属于关系,现在又出现了子集、集合和集合之间的包含关系概念,由于对概念的本质认识不深刻,容易弄混这些概念,在使用符号,表示时经常混用.因此在学习中对于这些符号,应理解其意义,注意本质区别在个体与整体、整体与整体的关系,从而达到正确应用概念和使用术语、符号的目的.
(2)概念辨析
①{0}与:
不要把数集{0}或数0与空集混淆,数0不是集合,{0}是含有一个元素0的集合,Φ是不含任何元素的集合,更不要把空集错误的写成{空集}或{}.如{0},不能写成={0},∈{0}.
②∈{}、{}表述方法中∈{},此时作为元素,而{}则为元素的集合;{}中和{}均作为集合来理解.
2.相关推论
①空集是任何集合A的子集,A;
②空集是任何非空集合A的真子集。
若A≠,则A;
③如果,,则;
④任何一个集合是它本身的子集.AÍA.
技能应用解读
1.集合相等
例题1 以下有四种说法:
(1)M={(1,2)}与N={(2,1)}表示同一个集合;
(2)M={1,2}与N={2,1}表示同一个集合;(3)已知集合M={1,2,3,4,5}与N={1,2},所以集合N<M;(4)M={y|y=x2+1,x∈R}与N={t|t=(x+1)2+1,x∈R}表示同一个集合.其中正确的个数有( )
A.3个 B.2个 C.1个 D.0个
分析:
此题考查集合相等和集合间关系描述的题目.由题意知
(1)、
(2)、(4)考查两个集合相等的问题,而判断两个集合相等的方法是元素个数相同并且元素也相同,(3)是考查集合间关系描述的问题,要注意集合间关系与实数间关系的区别.
详解:
(1)M与N分别表示由点(1,2)和点(2,1)组成的集合,两个点不同,即元素不相同.则集合M与集合N不表示同一个集合.因此,
(1)错误;
(2)由集合中元素的无序性可知集合M和集合N中都有两个元素,且都分别是1和2,所以集合M与集合N表示同一个集合.因此,
(2)正确;
(3)由集合M={1,2,3,4,5}、N={1,2}知,集合N中的元素与分别属于集合M中的元素,且M中有不属于N的元素,在集合关系描述中只能用相等,包含或包含于来描述,而大于、小于或等于则是实数间的关系,因此表述错误,实际上集合M包含集合N,或描述成集合N包含于集合M.
(4)集合M的元素y满足条件y=x2+1,x∈R,即为特征表达式y=x2+1,x∈R中y的取值范围,由集合M的几何意义知,M表示大于或等于1的实数组成的集合.同理,集合N亦表示大于或等于1的实数组成的集合.所以集合M与集合N表示的是同一个集合.因此(4)正确.
综上,正确的说法有2个.因此,选择B.
评注:
判断两个集合是否表示同一个集合有两种方法:
一是从元素的角度进行判断,“元素个数相同并且元素也相同”的两个集合表示同一个集合;二是从集合的关系来理解,“如果两个集合互为子集”,即“AB,同时BA”,此时这两个集合表示同一个集合.注意描述集合间的关系与实数间的关系的术语是不相同的,平时注意训练!
变式练习1 已知,且P=Q,则a= ;
答案:
-1
例题2 设A={x|x=2k-1,k∈Z},B={x|x=4k±1k∈Z},求证:
A=B.
分析:
此题考查集合相等的概念及其证明.证明两个集合相等,一般情况是根据集合相等的定义,从两个集合之间的包含关系入手,也就是,“如果两个集合A和B,满足AB,且BA,那么A=B”.而证明“AB”的方法是设a为集合A中的任意一个元素,即a∈A,根据集合A中元素的性质,证明元素a也具有集合B中的元素性质,即a∈B,从而证明出集合A中的任何一个元素都属于集合B,即“AB”.同理再证明“BA”,问题得证.
解析:
从集合相等的定义出发,AB且BA两方面进行证明
(1)设a为集合A中的任意一个元素,即a∈A,∴存在k∈Z,使得a=2k-1,
①若k为偶数,设k=2m(m∈Z),则a=2(2m)-1=4m-1∈B;
②若k为奇数,设k=2m-1(m∈Z),则a=2(2m-1)-1=4(m-1)+1∈B.
所以,当k∈Z时,a∈B,
即,AB;
(2)设b为集合B中的任意一个元素,即b∈B,∴存在k∈Z,使得b=4k±1,
①若b=4k+1,则b=2(2k+1)-1∈A;
②若b=4k-1,则b=2(2k-1)+1∈A.
所以,当k∈Z时,b∈A,
即,BA.
综上
(1)、
(2)所述,A=B.
评注:
要证AB,则需要证对任意一个a∈Aa∈B成立,对于含有字母的题目,应在准确领会集合相等概念的基础上进行分析与转化.
变式练习2 设集合S={x|x=12m+8n,m、n∈Z},P={x|x=20p+16q,p、q∈Z},求证:
S=P.
2.子集与包含关系
例题1 已知集合A={x|x2-3x+2=0},B={x|x2-ax+2=0},若BA,求a的取值集合.
分析:
此题结合一元二次方程根的判别式考查子集的概念和求法,由于集合A可用列举法表示为{1,2},且BA,所以集合B与集合A可能相等,即,B=A={1,2};集合B也可能是集合A的真子集,即B=Φ,或B={1},或B={2}.综合以上四种情况,可以求出a的取值集合.
详解:
∵A={x|x2-3x+2=0}={1,2},
又∵BA,
∴B可能是{1,2}、{1}、{2}、Φ四种情况.
当B={1,2}时,关于x的方程x2-ax+2=0应该有两个不相等的实数根,根据韦达定理1+2=—(—a),解得,a=3;
当B={1}或{2}时,关于x的方程x2-ax+2=0应该有两个相等的实数根,根据韦达定理可得这样的a不存在;
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- 关 键 词:
- 13 集合 基本 关系 教学 设计 教案