高考数学一轮复习 第7章 立体几何初步 第3节 平行关系教师用书 文 北师大版Word格式文档下载.docx
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(2)×
(3)×
(4)√
2.(教材改编)下列命题中,正确的是( )
A.若a,b是两条直线,且a∥b,那么a平行于经过b的任何平面
B.若直线a和平面α满足a∥α,那么a与α内的任何直线平行
C.若直线a,b和平面α满足a∥α,b∥α,那么a∥b
D.若直线a,b和平面α满足a∥b,a∥α,bα,则b∥α
D [根据线面平行的判定与性质定理知,选D.]
3.(2015·
北京高考)设α,β是两个不同的平面,m是直线且mα,“m∥β”是“α∥β”的( )
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
B [当m∥β时,过m的平面α与β可能平行也可能相交,因而m∥β⇒/α∥β;
当α∥β时,α内任一直线与β平行,因为mα,所以m∥β.综上知,“m∥β”是“α∥β”的必要而不充分条件.]
4.在正方体ABCDA1B1C1D1中,E是DD1的中点,则BD1与平面ACE的位置关系是________.
平行 [如图所示,连接BD交AC于F,连接EF,则EF是△BDD1的中位线,
∴EF∥BD1,
又EF平面ACE,
BD1平面ACE,
∴BD1∥平面ACE.]
5.(2017·
河北石家庄质检)设m,n是两条不同的直线,α,β,γ是三个不同的平面,给出下列四个命题:
①若mα,n∥α,则m∥n;
②若α∥β,β∥γ,m⊥α,则m⊥γ;
③若α∩β=n,m∥n,m∥α,则m∥β;
④若α⊥γ,β⊥γ,则α∥β.
其中是真命题的是________(填上序号).
② [①,m∥n或m,n异面,故①错误;
易知②正确;
③,m∥β或mβ,故③错误;
④,α∥β或α与β相交,故④错误.]
与线、面平行相关命题真假的判断
(2015·
安徽高考)已知m,n是两条不同直线,α,β是两个不同平面,则下列命题正确的是( )
A.若α,β垂直于同一平面,则α与β平行
B.若m,n平行于同一平面,则m与n平行
C.若α,β不平行,则在α内不存在与β平行的直线
D.若m,n不平行,则m与n不可能垂直于同一平面
D [A项,α,β可能相交,故错误;
B项,直线m,n的位置关系不确定,可能相交、平行或异面,故错误;
C项,若mα,α∩β=n,m∥n,则m∥β,故错误;
D项,假设m,n垂直于同一平面,则必有m∥n,所以原命题正确,故D项正确.]
[规律方法] 1.判断与平行关系相关命题的真假,必须熟悉线、面平行关系的各个定义、定理,无论是单项选择还是含选择项的填空题,都可以从中先选出最熟悉最容易判断的选项先确定或排除,再逐步判断其余选项.
2.
(1)结合题意构造或绘制图形,结合图形作出判断.
(2)特别注意定理所要求的条件是否完备,图形是否有特殊情形,通过举反例否定结论或用反证法推断命题是否正确.
[变式训练1] (2017·
唐山模拟)若m,n表示不同的直线,α,β表示不同的平面,则下列结论中正确的是( )
A.若m∥α,m∥n,则n∥α
B.若mα,nβ,m∥β,n∥α,则α∥β
C.若α⊥β,m∥α,n∥β,则m∥n
D.若α∥β,m∥α,n∥m,nβ,则n∥β
D [在A中,若m∥α,m∥n,则n∥α或nα,故A错误.在B中,若mα,nβ,m∥β,n∥α,则α与β相交或平行,故B错误.在C中,若α⊥β,m∥α,n∥β,则m与n相交、平行或异面,故C错误.在D中,若α∥β,m∥α,n∥m,n⃘β,则由线面平行的判定定理得n∥β,故D正确.]
直线与平面平行的判定与性质
(2016·
南通模拟)如图731所示,斜三棱柱ABCA1B1C1中,点D,D1分别为AC,A1C1上的点.
(1)当等于何值时,BC1∥平面AB1D1?
(2)若平面BC1D∥平面AB1D1,求的值.
图731
[解]
(1)如图所示,取D1为线段A1C1的中点,此时=1.2分
连接A1B,交AB1于点O,连接OD1.
由棱柱的性质知,四边形A1ABB1为平行四边形,
∴点O为A1B的中点.
在△A1BC1中,点O,D1分别为A1B,A1C1的中点,
∴OD1∥BC1.4分
又∵OD1平面AB1D1,BC1平面AB1D1,
∴BC1∥平面AB1D1.
∴当=1时,BC1∥平面AB1D1.6分
(2)由平面BC1D∥平面AB1D1,且平面A1BC1∩平面BC1D=BC1,平面A1BC1∩平面AB1D1=D1O得
BC1∥D1O,8分
∴=,
又由题
(1)可知=,=1,
∴=1,即=1.12分
[规律方法] 1.判断或证明线面平行的常用方法有:
(1)利用反证法(线面平行的定义);
(2)利用线面平行的判定定理(a⃘α,bα,a∥b⇒a∥α);
(3)利用面面平行的性质定理(α∥β,aα⇒a∥β);
(4)利用面面平行的性质(α∥β,a⃘β,a∥α⇒a∥β).
2.利用判定定理判定线面平行,关键是找平面内与已知直线平行的直线.常利用三角形的中位线、平行四边形的对边或过已知直线作一平面找其交线.
[变式训练2] (2014·
全国卷Ⅱ)如图732,四棱锥PABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,E为PD的中点.
图732
(1)证明:
PB∥平面AEC;
(2)设AP=1,AD=,三棱锥PABD的体积V=,求A到平面PBC的距离.
[解]
(1)证明:
设BD与AC的交点为O,连接EO.
因为四边形ABCD为矩形,
所以O为BD的中点,
又E为PD的中点,
所以EO∥PB.3分
因为EO平面AEC,PB平面AEC,
所以PB∥平面AEC.5分
(2)由V=PA·
AB·
AD=AB,
又V=,可得AB=.
作AH⊥PB交PB于点H.7分
由题设知BC⊥平面PAB,所以BC⊥AH,
故AH⊥平面PBC.
在Rt△PAB中,由勾股定理可得PB=,所以AH==.
所以A到平面PBC的距离为.12分
平面与平面平行的判定与性质
如图733所示,在三棱柱ABCA1B1C1中,E,F,G,H分别是AB,AC,A1B1,A1C1的中点,求证:
(1)B,C,H,G四点共面;
(2)平面EFA1∥平面BCHG.
图733
[证明]
(1)∵G,H分别是A1B1,A1C1的中点,
∴GH是△A1B1C1的中位线,GH∥B1C1.2分
又∵B1C1∥BC,
∴GH∥BC,
∴B,C,H,G四点共面.5分
(2)在△ABC中,E,F分别为AB,AC的中点,
∴EF∥BC.
∵EF平面BCHG,BC平面BCHG,
∴EF∥平面BCHG.7分
∵A1G綊EB,
∴四边形A1EBG是平行四边形,则A1E∥GB.
∵A1E平面BCHG,GB平面BCHG,
∴A1E∥平面BCHG.10分
∵A1E∩EF=E,
∴平面EFA1∥平面BCHG.12分
[迁移探究] 在本例条件下,若点D为BC1的中点,求证:
HD∥平面A1B1BA.
[证明] 如图所示,连接HD,A1B,
∵D为BC1的中点,H为A1C1的中点,
∴HD∥A1B.5分
又HD平面A1B1BA,
A1B平面A1B1BA,
∴HD∥平面A1B1BA.12分
[规律方法] 1.判定面面平行的主要方法:
(1)面面平行的判定定理.
(2)线面垂直的性质(垂直于同一直线的两平面平行).
2.面面平行的性质定理的作用:
(1)判定线面平行;
(2)判断线线平行,线线、线面、面面平行的相互转化是解决与平行有关的问题的指导思想.解题时要看清题目的具体条件,选择正确的转化方向.
易错警示:
利用面面平行的判定定理证明两平面平行时,需要说明是一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行.
[变式训练3] (2016·
山东高考)在如图734所示的几何体中,D是AC的中点,EF∥DB.
图734
(1)已知AB=BC,AE=EC,求证:
AC⊥FB;
(2)已知G,H分别是EC和FB的中点,求证:
GH∥平面ABC.
[证明]
(1)因为EF∥DB,
①
所以EF与DB确定平面BDEF.2分
如图①,连接DE.
因为AE=EC,D为AC的中点,
所以DE⊥AC.同理可得BD⊥AC.
又BD∩DE=D,所以AC⊥平面BDEF.4分
因为FB平面BDEF,所以AC⊥FB.5分
②
(2)如图②,设FC的中点为I,连接GI,HI.
在△CEF中,因为G是CE的中点,
所以GI∥EF.8分
又EF∥DB,所以GI∥DB.
在△CFB中,因为H是FB的中点,
所以HI∥BC.又HI∩GI=I,
所以平面GHI∥平面ABC.
因为GH平面GHI,所以GH∥平面ABC.12分
[思想与方法]
1.线线、线面、面面平行的相互转化
其中线面平行是核心,线线平行是基础,要注意它们之间的灵活转化.
2.直线与平面平行的主要判定方法
(1)定义法;
(2)判定定理;
(3)面与面平行的性质.
3.平面与平面平行的主要判定方法
(3)推论;
(4)a⊥α,a⊥β⇒α∥β.
[易错与防范]
1.在推证线面平行时,一定要强调直线不在平面内,否则会出现错误.
2.
(1)在面面平行的判定中易忽视“面内两条相交直线”这一条件.
(2)如要一个平面内有无数条直线与另一个平面平行,易误认为这两个平面平行,实质上也可以相交.
3.在应用性质定理时,要遵从由“高维”到“低维”,但也要注意,转化的方向总是由题目的具体条件而定,决不可过于“模式化”,另外要注意符号语言的规范应用.
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