初一数学竞赛系列讲座Word格式文档下载.docx
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连续奇(偶)数,一般设中间数为x,则相邻两数分别为x-2、x+2。
例题精讲
例1从甲地到乙地的公路,只有上坡路和下坡路,没有平路。
一辆汽车上坡时每小时行驶20千米,下坡时每小时行驶35千米,。
车从甲地开往乙地需9小时,乙地开往甲地需小时,问:
甲、乙两地间的公路有多少千米?
从甲地到乙地须行驶多少千米的上坡路?
(第五届华杯赛复赛题)
分析本题用方程来解简单自然。
解设从甲地到乙地的上坡路为x千米,下坡路为y千米,根据题意得方程组
解这个方程组有很多种方法。
例如代入消元法、加减消元法等。
由于方程组系数比较特殊(第一个方程中x的系数恰好是第二个方程中y的系数,而y的系数也恰好是第二个方程中x的系数),也可以采用如下的解法:
(1)+
(2)得
(x+y)(+)=9+
所以x+y=(3)
(1)-
(2)得(x-y)(-)=9-
所以x-y=(4)
由(3)、(4)得x=
所以甲、乙两地间的公路长210千米,从甲地到乙地须行驶140千米的上坡路。
例2公共汽车每隔x分钟发车一次,小宏在大街上行走,发现从背后每隔6分钟开过来一辆公共汽车,而每隔分钟迎面开来一辆公共汽车。
如果公共汽车与小宏行进的速度都是均匀的,则x等于分钟。
(第六届迎春杯初赛试题)
分析:
此题包括了行程问题中的相遇与追及两种情况。
若设汽车速度为a米/每秒,小宏速度为b米/每秒,则当一辆汽车追上小宏时,另一辆汽车在小宏后面ax米处,它用6分钟追上小宏。
另一方面,当一辆汽车与小宏相遇时,另一辆汽车在小宏前面ax米处,它经过分钟与小宏相遇。
由此可列出两个方程。
解:
设汽车速度为a米/每秒,小宏速度为b米/每秒,根据题意得
两式相减得12a=72b即a=6b代入可得x=5
评注:
行程问题常分为同向运动和相向运动两种,相遇问题就是相向运动,而追及问题就是同向运动。
解这类问题分析时往往要结合题意画出示意图,以便帮助我们直观、形象地理解题意。
例3摄制组从A市到B市有一天的路程,计划上午比下午多走100千米到C市吃午饭。
由于堵车,中午才赶到一个小镇,只行驶了原计划的三分之一,过了小镇,汽车赶了400千米,傍晚才停下来休息。
司机说,再走从C市到这里路程的二分之一就到达目的地了。
问A、B两市相距多少千米?
(第五届华杯赛决赛试题)
本题条件中只有路程,没有时间和速度,因而应当仔细分析各段路程之间的关系。
如图,设小镇为D,傍晚
汽车在E休息ADCEB
由已知,AD是AC的三分之一,也就是AD=DC又由已知,EB=CE
两式相加得:
AD+EB=DE
因为DE=400千米,所以AD+EB=⨯400=200千米,
从而A、B两市相距400+200=600千米
行程问题常通过画行程示意图来帮助我们思考。
例4有编号为、、的3条赛艇,其在静水中的速度依次为每小时v1、v2、v3千米,且满足v1>
v2>
v3>
v>
0,其中v为河流的水流速度。
它们在河流上进行追逐赛,规则如下:
(1)3条赛艇在同一起跑线上同时出发,逆流而上,在出发的同时,有一浮标顺流而下;
(2)经过1小时,、、号赛艇同时掉头,追赶浮标,谁先追上谁为冠军。
在整个比赛期间各艇的速度保持不变,则比赛的冠军为
经过1小时,、、号赛艇同时掉头,掉头时,各艇与浮标的距离为:
Si=(vi-v)⨯1+v⨯1=vi⨯1(i=1、2、3)
第i号赛艇追上浮标的时间为:
(小时)
由此可见,掉头后各走1小时,同时追上浮标,所以3条赛艇并列冠军。
顺流速度=静水速度+水流速度;
逆流速度=静水速度-水流速度。
例5在一环行轨道上有三枚弹子同时沿逆时针方向运动。
已知甲于第10秒钟时追上乙,在第30秒时追上丙,第60秒时甲再次追上乙,并且在第70秒时再次追上丙,问乙追上丙用了多少时间?
(第11届希望杯竞赛培训题)
设甲的运动速度是乙的运动速度是,丙的运动速度是.设环形轨道长为L。
甲比乙多运动一圈用时50秒,故有-=①
甲比丙多运动一圈用时40秒,故有-=②
②-①可得到-=-=③
④
⑤
甲、乙、丙初始位置时,乙、丙之间的距离=甲、丙之间距离-甲、乙之间距离
=(-)×
30-(-)×
10;
乙追上丙所用时间=
=秒.所以第110秒时,乙追上丙.
相遇问题的关系式是:
路程和=速度和⨯时间;
追及问题的关系式是:
追及路程=速度差⨯时间。
例6一个三位数,三个数位上的数字和为17,百位上的数比十位上的数大7,个位上的数是十位上数的3倍,求这个三位数。
设十位上的数为x,则个位上的数为3x,百位上的数是x+7
由题意得:
3x+x+x+7=17,∴x=2
∴这个三位数是:
100(x+7)+10x+3x=926
答:
这个三位数是926
数字问题常设出数位上的数字,再用十进制把数表示出来。
例7两个三位整数,它们的和加1得1000,如果把大数放在小数的左边,并在这两数之间点上一个小数点,则所成的数正好等于把小数放在大数的左边,中间点一个小数点所成的数的6倍,求这两个数。
设大数为x,则小数为999-x,由题意得
解这个方程得:
x=857,∴999-x=142
大数为857,小数为142。
例8一辆卡车在公路上匀速行驶,起初看到里程碑上的数字为,过了1小时里程碑上的数字为,又行驶了1小时里程碑上的数字为,求每次看到的数字和卡车的速度。
相等关系是前一小时走的路程=后一小时走的路程。
依题意得:
-=-,即+=2,
所以(10A+B)+(100A+B)=2(10B+A),整理得6A=B
因为A、B取1到9的自然数,所以只有A=1,B=6
故3次看到的数字分别是16,61,106,卡车的速度为45千米/时。
本题得到的是一个不定方程,通过A、B是1到9的自然数来求出A、B。
例9在黑板上从1开始,写出一组连续的自然数,然后擦去了一个数,其余的平均值为,试问擦去的数是什么数?
设出擦去的数,用平均值为来估计出写出的自然数,从而求出擦去的数。
设写出了n个自然数1,2,…,n中擦去的是k,则由题意得:
即
因为n是自然数,且n-1必须是17的倍数,所以n=69
于是由,可解得k=7,即擦去的数为7。
本题运用了放缩原理来得出n的范围,从而确定自然数n的值,放缩法是数学竞赛中常用的方法。
巩固练习
选择题
1、甲、乙二人从M地同时出发去N地,甲用一半的时间以每小时a千米的速度行走,另一半的时间以每小时b千米的速度行走;
乙以每小时a千米的速度行走一半的路程,另一半路程以每小时b千米的速度行走。
若a≠b,则()先到达N地。
A、甲B、乙C、二人同时到达D、不确定
2、已知游艇在静水中的航速为每小时10千米,某一旅游团乘该游艇在黄河顺水航行2小时,又用3小时返回出发地,求该团所走的航程是()
A、24千米B、12千米C、48千米D、40千米
3、某人从A地步行到B地,当走到预定时间时,离B地还有0.5千米;
若把步行速度提高25%,则可比预定时间早半小时到达B地。
已知AB两地相距12.5千米,则某人原来步行的速度是()
A、2千米/时B、4千米/时C、5千米/时D、6千米/时
4、一个两位数,十位上的数与个位上的数的和是7,若十位上的数与个位上的数对换,现在的两位数与原来的两位数的差是9,则现在的两位数是()
A、43B、34C、25D、52
5、在由两个不同数字组成的所有两位数中,每个两位数被其两个数字之和除时,所得的商的最小值是()
A、1.5B、1.9C、3.25D、4.375
6、一个插入一个一位数(包括0),就变成一个三位数,如:
72中间插入6后变成了762。
有些两位数中间插入某个一位数后变成的三位数,是原来两位数的9倍,这样的两位数有()(第六届《祖冲之杯》数学邀请赛试题)
A、1个B、4个C、10个D、超过10个
填空题
7、早晨8点多钟,有两辆汽车先后离开化肥厂,向幸福村开去。
两辆汽车的速度都是每小时60千米,8点32分时,第一辆车离开化肥厂的距离是第二辆车的3倍。
到了8点39分时,第一辆车离开化肥厂的距离是第二辆车的2倍。
则第一辆车是8点分离开化肥厂的.
8、甲、乙两个同学从A地到B地,甲步行的速度为每小时3千米,乙步行的速度为每小时5千米,两人骑自行车的速度都是每小时15千米。
现在甲先步行,乙先骑自行车,两人同时出发。
走了一段路程后,乙放下车步行,甲走到乙放车处改骑自行车,以后不断交替行进,两人恰好同时到达B地。
甲走全程的平均速度是千米/小时。
9、一船从重庆到上海要5昼夜,而从上海到重庆要7昼夜,那么有一木排从重庆顺流漂到上海要昼夜
10、一个六位数的4倍是,则这个六位数是
11、有四个正整数,其中任三个数的算术平均数与第四个数的和,分别等于29、23、21、19,则这四个数中最大的一个是
12、一个两位自然数等于它的十位数字与个位数字之和的3倍,则这样的两位自然数的个数是
解答题
13、一列客车的速度是60千米/时,一列货车的速度是45千米/时,货车比客车长135米,如果两车在平行的轨道上同向行驶,客车从后面赶上货车,它们交叉的时间是1分30秒,求各车的长度;
如果这两车在平行的轨道上相向行驶,它们交叉时需要多少时间?
14、甲、乙两人在一条长400米的环形跑道上跑步,若同向跑步每隔分钟相遇一次,若反向跑步则每隔40秒相遇一次,求甲、乙两人的速度(甲比乙跑得快)。
15、某人由甲地去乙地,如果他从甲地先骑摩托车行12小时,再换骑自行车行9小时,恰好到达乙地。
如果他从甲地先骑自行车行21小时,再换骑摩托车行8小时,恰好也到达乙地。
问:
全程骑摩托车需要几小时到达乙地?
(第四届华杯赛初赛试题)
16、快、中、慢三辆车同时从同一地点出发,沿同一公路追赶前面的一个骑车人。
这三辆车分别用6分钟、10分钟、12分钟追上骑车人。
现在知道快车每小时走24千米,中车每小时走20千米,问慢车每小时走多少千米?
(第一届华杯赛决赛试题)
17、有一个两位数,它的十位数字与个位数字的和是8,并且这个两位数除以十位上的数字与个位上的数字的差,所得的商为11,余数为5,求这个两位数。
18、一个十位数字为0的三位数,它恰好等于它的数字和的67倍;
交换它的个位与百位数字后得到一个新的三位数,它恰好又是它的数字和的m倍,求m的值。
19、一个两位数的十位数字小于个位数字,当数字交换位置后所得的新的两位数与原数之和大于70而小于90,求这样的两位数。
20、今有一个三位数,其各位数字均不相同,如将此三位数的各位数字重新排列,必得一个最大数和一个最小数,且此两数之差恰为
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