人教A版数学必修22 章末综合测评2 推理与证明Word下载.docx
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|AB|,得P的轨迹为椭圆
B.由a1=1,an=3n-1,求出S1,S2,S3,猜想出数列的前n项和Sn的表达式
C.由圆x2+y2=r2的面积πr2,猜出椭圆+=1的面积S=πab
D.科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇
【解析】 由归纳推理的特点知,选B.
【答案】 B
4.“凡是自然数都是整数,4是自然数,所以4是整数.”以上三段论推理( )
A.完全正确
B.推理形式不正确
C.不正确,两个“自然数”概念不一致
D.不正确,两个“整数”概念不一致
【解析】 大前提“凡是自然数都是整数”正确.小前提“4是自然数”也正确,推理形式符合演绎推理规则,所以结论正确.
【答案】 A
5.用数学归纳法证明“5n-2n能被3整除”的第二步中,当n=k+1时,为了使用假设,应将5k+1-2k+1变形为( )
A.(5k-2k)+4×
5k-2k
B.5(5k-2k)+3×
2k
C.(5-2)(5k-2k)
D.2(5k-2k)-3×
5k
【解析】 5k+1-2k+1=5k·
5-2k·
2=5k·
5+2k·
2=5(5k-2k)+3·
2k.
6.已知n为正偶数,用数学归纳法证明1-+-+…-=2时,若已假设n=k(k≥2且k为偶数)时等式成立,则还需要用归纳假设再证n=________时等式成立.( )
A.k+1
B.k+2
C.2k+2
D.2(k+2)
【解析】 根据数学归纳法的步骤可知,n=k(k≥2且k为偶数)的下一个偶数为n=k+2,故选B.
7.观察下列各式:
a+b=1,a2+b2=3,a3+b3=4,a4+b4=7,a5+b5=11,…,则a10+b10=( )
A.28B.76
C.123D.199
【解析】 利用归纳法,a+b=1,a2+b2=3,a3+b3=4=3+1,a4+b4=4+3=7,a5+b5=7+4=11,a6+b6=11+7=18,a7+b7=18+11=29,a8+b8=29+18=47,a9+b9=47+29=76,a10+b10=76+47=123,规律为从第三组开始,其结果为前两组结果的和.
8.分析法又叫执果索因法,若使用分析法证明:
“设a>
b>
c,且a+b+c=0,求证:
<
a”最终的索因应是( )
A.a-b>
0B.a-c>
C.(a-b)(a-c)>
0D.(a-b)(a-c)<
【解析】 因为a>
c,且a+b+c=0,
所以3c<
a+b+c<
3a,即a>
0,c<
0.
要证明<
a,只需证明b2-ac<
3a2,只需证明(-a-c)2-ac<
3a2,只需证明2a2-ac-c2>
0,只需证明2a+c>
0(a>
0,则a-c>
0),只需证明a+c+(-b-c)>
0,即证明a-b>
0,这显然成立,故选A.
9.在等差数列{an}中,若a10=0,则有等式a1+a2+…+an=a1+a2+…+a19-n(n<
19且n∈N*)成立,类比上述性质,在等比数列{bn}中,若b11=1,则有( )
A.b1·
b2·
…·
bn=b1·
b19-n
B.b1·
b21-n
C.b1+b2+…+bn=b1+b2+…+b19-n
D.b1+b2+…+bn=b1+b2+…+b21-n
【解析】 令n=10时,验证即知选B.
10.将石子摆成如图1的梯形形状.称数列5,9,14,20,…为“梯形数”.根据图形的构成,此数列的第2016项与5的差,即a2016-5=( )
【导学号:
62952093】
图1
A.2018×
2014B.2018×
2013
C.1010×
2012D.1011×
【解析】 an-5表示第n个梯形有n-1层点,最上面一层为4个,最下面一层为n+2个.
∴an-5=,∴a2016-5
==2013×
1011.
11.在直角坐标系xOy中,一个质点从A(a1,a2)出发沿图2中路线依次经过B(a3,a4),C(a5,a6),D(a7,a8),…,按此规律一直运动下去,则a2015+a2016+a2017=( )
图2
A.1006B.1007
C.1008D.1009
【解析】 依题意a1=1,a2=1;
a3=-1,a4=2;
a5=2,a6=3;
…,归纳可得a1+a3=1-1=0,a5+a7=2-2=0,…,进而可归纳得a2015+a2017=0,a2=1,a4=2,a6=3,…,进而可归纳得a2016=×
2016=1008,a2015+a2016+a2017=1008.故选C.
12.记集合T={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9},M=,将M中的元素按从大到小排列,则第2016个数是( )
A.+++
B.+++
C.+++
D.+++
【解析】 因为+++
=(a1×
103+a2×
102+a3×
101+a4),括号内表示的10进制数,其最大值为9999,从大到小排列,第2016个数为9999-2016+1=7984,
所以a1=7,a2=9,a3=8,a4=4.
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,将答案填在题中的横线上)
13.已知圆的方程是x2+y2=r2,则经过圆上一点M(x0,y0)的切线方程为x0x+y0y=r2.类比上述性质,可以得到椭圆+=1类似的性质为__________.
【解析】 圆的性质中,经过圆上一点M(x0,y0)的切线方程就是将圆的方程中的一个x与y分别用M(x0,y0)的横坐标与纵坐标替换.故可得椭圆+=1类似的性质为:
过椭圆+=1上一点P(x0,y0)的切线方程为+=1.
【答案】 经过椭圆+=1上一点P(x0,y0)的切线方程为+=1
14.已知“整数对”按如下规律排成一列:
(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1),(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),…,则第60个“整数对”是________.
【解析】 依题意,把“整数对”的和相同的分为一组,不难得知第n组中每个“整数对”的和均为n+1,且第n组共有n个“整数对”,这样的前n组一共有个“整数对”,注意到<60<,因此第60个“整数对”处于第11组(每个“整数对”的和为12的组)的第5个位置,结合题意可知每个“整数对”的和为12的组中的各对数依次为:
(1,11),(2,10),(3,9),(4,8),(5,7),…,因此第60个“整数对”是(5,7).
【答案】 (5,7)
15.当n=1时,有(a-b)(a+b)=a2-b2,当n=2时,有(a-b)(a2+ab+b2)=a3-b3,当n=3时,有(a-b)(a3+a2b+ab2+b3)=a4-b4,当n∈N*时,你能得到的结论是__________.
62952094】
【解析】 根据题意,由于当n=1时,有(a-b)(a+b)=a2-b2,当n=2时,有(a-b)(a2+ab+b2)=a3-b3,
当n=3时,有(a-b)(a3+a2b+ab2+b3)=a4-b4,
当n∈N*时,左边第二个因式可知为an+an-1b+…+abn-1+bn,那么对应的表达式为(a-b)·
(an+an-1b+…+abn-1+bn)=an+1-bn+1.
【答案】 (a-b)(an+an-1b+…+abn-1+bn)=an+1-bn+1
16.如图3,如果一个凸多面体是n(n∈N*)棱锥,那么这个凸多面体的所有顶点所确定的直线共有________条,这些直线共有f(n)对异面直线,则f(4)=________,f(n)=__________.(答案用数字或n的解析式表示)
图3
【解析】 所有顶点所确定的直线共有棱数+底边数+对角线数=n+n+=.从题图中能看出四棱锥中异面直线的对数为f(4)=4×
2+×
2=12,所以f(n)=n(n-2)+·
(n-2)=.
【答案】 12
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)用综合法或分析法证明:
(1)如果a,b>
0,则lg≥;
(2)+>
2+2.
62952095】
【证明】
(1)当a,b>
0时,有≥,
∴lg≥lg,
∴lg≥lgab=.
(2)要证+>
2+2,
只要证(+)2>
(2+2)2,
即2>
2,这是显然成立的,
所以,原不等式成立.
18.(本小题满分12分)观察以下各等式:
sin230°
+cos260°
+sin30°
cos60°
=,
sin220°
+cos250°
+sin20°
cos50°
sin215°
+cos245°
+sin15°
cos45°
=.
分析上述各式的共同特点,猜想出反映一般规律的等式,并对等式的正确性作出证明.
【解】 猜想:
sin2α+cos2(α+30°
)+sinαcos(α+30°
)=.
证明如下:
)
=sin2α++sinα
=sin2α+cos2α-sinαcosα+sin2α+sinα·
cosα-sin2α
=sin2α+cos2α
19.(本小题满分12分)等差数列{an}的前n项和为Sn,a1=1+,S3=9+3.
(1)求数列{an}的通项an与前n项和Sn;
(2)设bn=(n∈N*),求证:
数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列.
【解】
(1)由已知得∴d=2.
故an=2n-1+,Sn=n(n+).
(2)由
(1)得bn==n+.
假设数列{bn}中存在三项bp,bq,br(p,q,r互不相等)成等比数列,则b=bpbr,
即(q+)2=(p+)(r+),
∴(q2-pr)+(2q-p-r)=0,
∵p,q,r∈N*,
∴∴=pr,(p-r)2=0.
∴p=r,与p≠r矛盾.
∴数列{bn}中任意不同的三项都不可能成等比数列.
20.(本小题满分12分)点P为斜三棱柱ABCA1B1C1的侧棱BB1上一点,PM⊥BB1交A
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