第27讲导数的综合应用1 王连笑新课标高考数学专题讲座Word下载.docx
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令,得或(舍),
∴函数在上是减函数,在上是增函数;
(2)对于,对分类.
当时,,函数在上是减函数;
当时,由解得,函数在上是减函数,在上是增函数.
【例2】
(2008全国Ⅰ文21理19)已知函数,.
(Ⅰ)讨论函数的单调区间;
(Ⅱ)设函数在区间内是减函数,求的取值范围.
【解】
(Ⅰ),,
其判别式.
当,即时,,恒成立,∴在上递增,
当,即时,令,求得两根为
即在上递增,在上递减,
在上递增.
(Ⅱ)解法1:
函数的图象开口向上,由题意,
在恒成立,所以函数.
当时图象在轴的下方,观察图象,有解得.
解法2:
因为在区间内是减函数,所以在恒成立,即在恒成立.
令,,
由..
,单增.
,,单减.
∴在上的最小值必是与中的一个.
因为,所以在上恒成立,只需,解得.
本题第一问考查分类讨论,这里要铭记:
见了二次三项式,要先对“判别式”进行讨论.第二问考查不等式恒成立和不等式的解法,其中解法1着重数形结合及集合观点,从图象出发利用函数值符号得到一个不等式组,形象直观且说理性强.但对界点的处理一定要提高警惕,避免因丢失(或“冒添”)“等号”而造成失误.解法2采用分离参数的方法更具一般性,弥补了二次函数的局限性.
【例3】
(2008北京文17)已知函数,且是奇函数.
(Ⅰ)求,的值;
(Ⅱ)求函数的单调区间.
(Ⅰ)因为函数为奇函数,所以,对任意的,,
即.又,
所以.所以解得.
(Ⅱ)由(Ⅰ)得.所以.
(1)当时,由得.变化时,的变化情况如下表:
所以,当时,函数在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增.
(2)当时,,所以函数在上单调递增.
【例4】
(2008辽宁文22)设函数在,处取得极值,且.
(Ⅰ)若,求的值,并求的单调区间;
(Ⅱ)若,求的取值范围.
【解】.①
(Ⅰ)当时,;
由题意知为方程的两根,
所以,,
则.由,得.
从而,.
当时,;
当时,.
故在单调递减,在,单调递增.
(Ⅱ)由①式及题意知为方程的两根,
所以.从而,
由上式及题设知.考虑,
.
故在单调递增,在单调递减,从而在的极大值为.
又在上只有一个极值,所以为在上的最大值,且最小值为.
所以,即的取值范围为.
【例5】
(2007年福建卷,文)设函数.
(Ⅰ)求的最小值;
(Ⅱ)若对恒成立,求实数的取值范围.
(Ⅰ),
当时,取最小值,
即.
(Ⅱ)令,
由得,(不合题意,舍去).
当变化时,的变化情况如下表:
递增
极大值
递减
在内有最大值.
在内恒成立等价于在内恒成立,即等价于,
所以的取值范围为.
【例6】(2007年浙江卷,理)设,对任意实数,记.
()求函数的单调区间;
()求证:
(ⅰ)当时,对任意正实数成立;
(ⅱ)有且仅有一个正实数,使得对任意正实数成立.
(I),
由,得.
因为当时,,当时,,当时,,
故所求函数的单调递增区间是,,单调递减区间是.
(II)(i)解法1.令,则
,当时,由,得,
当时,,
所以在内的最小值是.
故当时,对任意正实数成立.
解法2.对任意固定的,令,则
,由,得.
所以当时,取得最大值.
因此当时,对任意正实数成立.
(ii)解法1..
由(i)得,对任意正实数成立.
即存在正实数,使得对任意正实数成立.
下面证明的唯一性,用反证法.
当,,时,,,
由(i)得,,
再取,得,
所以,
即时,不满足对任意都成立.
故有且仅有一个正实数,
使得对任意正实数成立.
解法2.对任意,,
因为关于的最大值是,
所以要使对任意正实数成立的充分必要条件是:
,即,①
又因为,不等式①成立的充分必要条件是,
所以有且仅有一个正实数,使得对任意正实数成立.
【例7】已知函数.
(Ⅰ)若的值域是,且在内是单调递减函数;
求实数的值;
并确定的单调递增区间;
(Ⅱ)如果函数与在区间内恒有,则称与在区间内的图象相互逼近.若,要使函数与在区间的图象相互逼近,求实数的范围.
(Ⅰ)令∴
当时,≥0∴≤0
∵由韦达定理得:
,,
∴
又在[1,+∞)内是单调递减函数,
∴,.
;
∴
又当时,的两根为
∴
且当时,;
当时,.
∴的单调增区间为.
(Ⅱ)若使函数与在区间的图象接近,则
在区间恒成立
由得
故使在区间恒成立的条件是在区间恒成立
又当时
∴ ,
∴当时,函数与在区间内的图象接近.
【例8】设函数
(Ⅰ)求函数的单调区间;
(Ⅱ)当时,不等式恒成立,求实数的取值范围;
(Ⅲ)关于的方程上恰有两个相异实根,求的取值范围.
(Ⅰ)函数定义域为,
由得
由得
则递增区间是递减区间是
(Ⅱ)由得.
由
(1)知,在上递减,在上递增.
又.
时,
故时,不等式恒成立.
(Ⅲ)方程即.
记,
由得
在上递减,在上递增.
为使在上恰好有两个相异的实根,
只须在和上各有一个实根,于是有
解得.
【练习题】
1.(2008四川文20)设和是函数的两个极值点.
(Ⅰ)求和的值;
(Ⅱ)求的单调区间.
2.(2008重庆文19)设函数,若曲线的斜率最小的切线与直线平行,求:
(Ⅰ)的值;
(Ⅱ)函数的单调区间.
3.(2008安徽理20)设函数且.
(Ⅰ)求函数的单调区间;
(Ⅱ)已知对任意成立,求实数的取值范围.
【练习题参考答案】
1.(Ⅰ)因为,
由题设知:
,,解得,.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知
,
∴的单调增区间是,,;
单调减区间是,.
2.(Ⅰ)因,所以.
即当时,取得最小值,因斜率最小的切线与平行,
即,,解得,由题设,所以.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,因此,,
令,解得,.
当时,,故在上为增函数;
当时,,故在上为减函数;
当时,,故在上为增函数.
由此可见函数的单调递增区间为和,单调递增区间为.
3.(Ⅰ),若,则.,随的变化情况如下表:
单调增
单调减
显然函数的单调增区间为;
单调减区间为和.
(Ⅱ)在两边取自然对数,得,
由于,∴,故不等式化为,……①
由(Ⅰ)的结果可知,当时,,
所以当且仅当时,①式对所有成立,解得.
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