线性代数郝志峰习题详解.docx
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线性代数郝志峰习题详解.docx
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线性代数郝志峰习题详解
1、
(1)Di
0021.
D2
2、
(2)
b3abc
a3b3
(1)排列的逆序数为
35.
n1
~2~
(2)排列的逆序数为
3、含有因子耳“23的项4^3832844
(纵标为
1324,逆序数为0
1),a11a23a34a42
(纵
标为1342,逆序数为0002
经转置行列式不变,
经用2乘所有元素为25,
4、经第一行与第四行交换行列式为负号,
经用1乘第2列加到第5列为行列式不变,经这些处置后行列式为32D.
6.
5、a31的代数余子式为0,a.的代数余子式为1110332
6、
D
31
1
2
5
1
32
1
3
33
1
07
34
114103043
43
7、
(1)
D1
1
—11
2
4
8
.
xx
0
0
0
x
0
0
「1
「2
11x
1
1
&
C2
x
1x
1
0
(2)
D2-
「3
「4
00
y
y
C4
C3
0
0
y
0
11
1
1y
0
1
1
y
按第一行展开
x
1
0
y0
1y
21
1
0
y
0
按第
列展开
2x
0
1
y
1
0
L
0
n1
0
2
L
0
n
1
1
M
M
M
1
n!
.
0
0
L
n1
n1n1
x
22
xy.
(3)
31
d3ll
rnriM
1
2
0
M
1L
2L
2L
M
22
222n1
MM
02
9、
(1)左边=
2b
2c
2a1a24a4a2
22
2b1b4b4b
2c1c24c4c2
6a9
:
9对第i列分开三项
i=2,3,4),再利用
d2
d2
2d1d24d4d2
6d9
其中两列元素相同、成比例,则行列式为
0,其结果为0,等于右边.
1111
(2)左边
第一行、第二行对调
abed
2.22.2
abcd
3.33.3
abcd
右边•
(3)用递推法去证•
从第二行起r1xr1,2丄,n1得:
10、
(1)用数学归纳法去证.
当n2时,D2
abab
1ab
22
abaabb
a3
ab
1
ab
ab
0ab
L
L
当nk1时,Dk1
0
1
ab
L
M
M
M
0
0
0
L
00
00
00
MM
1ab
当nk时,Dk
abDk2
Dk2
bk
abDk1
bk
k1
ab—a
bk1
b
bk1
n1n1
由数学归纳法可知,对任何正整数n,有Dnab_ab
(2)用数学归纳法去证
当n2时,D2
11
X1X2
当nk1时,Dk1xXj
k时,
0
rixri1
DkJ=20
M
0
1
L
1
X3x
L
XkX
X3x3X1
L
XkXkx
M
M
k2
k2
X3X3X1
L
XkXkX1
x2x1
x2x2x
M
k2
x2x2x1
由数学归纳法可知,对任何正整数n,有等式成立.
5
6
0
0
0
1
5
6
0
0
11、D5
0
1
5
6
0
0
0
0
5
6
0
0
0
1
5
5
6
0
1212
5
6
1
1
5
0
5
6
0
1
5
6
5
0
0
0
60
50
1
6
0
0
5
6
16
0
1
5
21
3
19
19
301
19
1805
5701235.
12、
(1)
按第
1行至第
行、第1列至第n列展开得证.
(2)
解一,按第
行、
第n+1行展开,
22
a
O
a
b
N
b
2
22
a
O
a
b
N
b
ab
ab
b
a
b
a
N
O
N
O
b
a
2n22n2
b
a
2n
4
2n
解二,
按最简一行、最后一行展开得
a2
b2
a2
b2n
a*
b,X3
c.
14、设fX
2ax
bx
a
则a
4a
b
b
2b
(1)
⑵,
⑶
(1)
⑵得2b
10,b
这时,
ac4
4ac7
(4)
⑸,
1
2
0
15、D
2
4
0
1
1
1
按第三行展开1-1-4-
⑸⑷得3a3,a1,故c3,即f
-4=1-
xx25x3.
2-5
1-
当1=0,2=1,
3=5时,Ax0有非零解.
习题二
1、
(1)
A+B
-3
3-2
+
2-1
1-5
(2)
1-2-2
BA=;
-420
(3)
3
2Y3A3B,Y=1AB
12
1-15
261212
152
3
2、A3B2C=0,
即:
亠、丄x
0
u
v3
2
x3u
6
03v
4
x
3ui
左边=
3
2
0
y
8
3x
y
024
2x
y9
2y
24
2x
x12,y
9,u
6,v
4
30
12
347
32
50
96
150
3、
(1)
AB
31
258
29
47;
(2)
3AB
87
141
23
169
29
47
87
141
63v4
9y
0'这时,
4、AB
10
512
ABC
0
10
6
1
12
2
206
3
0
424
1
2
3
3
20
6、从变量冷冷X3到变量召、zZ3的线性变换为1
0
10
1
1
0
3
1
1
1
1
611
231
144
7、各工厂的总收入和总利润为
8、设Z
a11
a21
a12
a22
5
1020
160
55
4
1
6
1510
144
51
5
2
4
208
152
56.
4.5
1.5
8
126
119
41
1
2a11a12
4
3
,即
a112a21
a12
2a22
4
3
2
1a21a22
8
3
,PF
2a11a21
2a12
a22
8
3
由AZB得
a112a214
2a11a218
a21
0,a114,利用
a122a22
2a12a22
a121,a223,这时Z
41
03
9、设B
a11
a21
a12
a22
由AB
BA得
a11
a21
a12
a22
a11
a12
0
1
,即a21
a22
0a11
a21
a22
0
0
0
0
0a21
故a210,a11a22,这时B
,其中a,b为常数.
10、
(1)ABAB
A2BAABB2,故ABBA;
2)
222
ABA2ABBAB2
A22ABB2,故ABBA.
a11
a12
a13
x1
a11x1
a12x2
a13x3
x1
5、ABC
x1x2x
3a12
a22
a23
x2
a12x1
a22x2
a23x3
x2
a13
a23
a33
x3
a13x1
a23x2
a33x3
x3
T
ATATA,根据反对称矩阵的性质:
12、
(1)根据对称矩阵的性质:
1
2
3
7
8
9
5
4
3
11、2A
B
2
0
4
5
0
10
11
0
2
1
0
0
6
0
0
11
0
0
1
1
2
3
7
8
9
7
28
64
AB
0
4
5
0
10
11
0
40
99
0
0
6
0
0
11
0
0
66
AT
AT
AATATATAAT;
T1
2)根据可逆对称矩阵的性质:
A1TAT1A
13、
(1)根据对称矩阵、反对称矩阵的性质:
TTTTTTT
ABBAABBABTATATBTBA
ABABBA;
2)先证必要性,若AB是反对称矩阵,则ABBA;
AB为反对称矩阵,
A为反对称
矩阵,B为对称矩阵,则ABTBTATBA
BAAB,即A,B可交换.
再证充分性,若AB
BA,则AB为反对称矩阵。
设A为反对称矩阵,
B为对称矩阵,
则ABTBTATBA
BAAB,即AB为反对称矩阵.
14、
MTNM
MTNT
MT
T
3
1
0
T
0
1
4
7
6
30
1
0
2
5
8
9
0
0
2
3
6
9
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