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函数y=ax(a>
0,且a≠1)的反函数是f(x)=logax,
又f
(2)=1,即loga2=1,
所以a=2,故f(x)=log2x.
A
3.(2012年北京市丰台区高三第一学期期末)预测人口的变化趋势有多种方法,“直接推算法”使用的公式是Pn=P0(1+k)n(k>
-1),其中Pn为预测人口数,P0为初期人口数,k为预测年内增长率,n为预测期间隔年数.如果在某一时期有-1<
k<
0,那么这期间人口数( )
A.呈上升趋势B.呈下降趋势
C.摆动变化D.不变
由于-1<
0,所以0<
1+k<
1,因此Pn为关于n的递减函数,故选B.
B
4.若函数f(x)满足f(x)=x3-f′
(1)·
x2-x,则f′
(1)的值为( )
A.0B.2
C.1D.-1
∵f(x)=x3-f′
(1)x2-x,
∴f′(x)=x2-2f′
(1)x-1.
令x=1得f′
(1)=1-2f′
(1)-1,
所以f′
(1)=0,故选A.
5.若函数f(x)=ax2+(a2-1)x-3a为偶函数,其定义域为[4a+2,a2+1],则f(x)的最小值为( )
A.3B.0
C.2D.-1
由f(x)为偶函数知a2-1=0,即a=±
1,
又其定义域需关于原点对称,
即4a+2+a2+1=0必有a=-1.
这时f(x)=-x2+3,
其最小值为f(-2)=f
(2)=-1.
故选D.
D
6.(2012年河北石家庄质检)牛奶保鲜时间因储藏温度的不同而不同,假定保鲜时间y与储藏温度x的关系为指数型函数y=kax,若牛奶在0℃的冰箱中,保鲜时间约为100h,在5℃的冰箱中,保鲜时间约是80h,那么在10℃下的保鲜时间是( )
A.49hB.56h
C.64hD.76h
由题意知,指数型函数为y=kax,于是,
所以k=100,a5=,
则当x=10时,y=100×
a10=100×
()2=64.故选C.
7.(2012年山西四校联考)已知a是函数f(x)=2x-logx的零点,若0<
x0<
a,则f(x0)的值满足( )
A.f(x0)=0B.f(x0)>
C.f(x0)<
0D.f(x0)的符号不能确定
∵0<
a,∴2x0<
2a且logx0>
loga.
即-logx0<
-loga,∴2x0-logx0<
2a-loga
又a是f(x)=2x-logx的零点,
∴2a-loga=0,∴f(x0)=2x0-logx0<
0,选C.
8.(2012年重庆)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且以2为周期,则“f(x)为[0,1]上的增函数”是“f(x)为[3,4]上的减函数”的( )
A.既不充分也不必要的条件B.充分而不必要的条件
C.必要而不充分的条件D.充要条件
∵x∈[0,1]时,f(x)是增函数,又∵y=f(x)是偶函数,
∴x∈[-1,0]时,f(x)是减函数.
当x∈[3,4]时,x-4∈[-1,0],∵T=2,
∴f(x)=f(x-4).∴x∈[3,4]时,f(x)是减函数,充分性成立.
反之:
x∈[3,4]时,f(x)是减函数,x-4∈[-1,0],∵T=2,
∴f(x)=f(x-4),∴x∈[-1,0]时,f(x)是减函数.
∵y=f(x)是偶函数,∴x∈[0,1]时,f(x)是增函数,必要性成立,故选D.
9.(2012年福州市高三期末质量检查)已知g(x)为三次函数f(x)=x3+x2-2ax(a≠0)的导函数,则它们的图象可能是( )
由已知得g(x)=ax2+ax-2a=a(x+2)(x-1),
∴g(x)的图象与x轴的交点坐标为(-2,0),(1,0),且-2和1是函数f(x)的极值点,故选D.
10.(2012年正定中学第一次月考)已知函数 f(x)=在[1,+∞)上为减函数,则实数a的取值范围是( )
A.0<
a<
B.0<
a≤e
C.a≤e D.a≥e
f′(x)==,因为 f(x)在[1,+∞)上为减函数,故 f′(x)≤0在[1,+∞)上恒成立,即lna≥1-lnx在[1,+∞)上恒成立.设φ(x)=1-lnx,φ(x)max=1,故lna≥1,a≥e.
11.(2013届河北省重点中学联合考试)定义在(1,+∞)上的函数f(x)满足:
①f(2x)=cf(x)(c为正常数);
②当2≤x≤4时,f(x)=1-(x-3)2,若函数f(x)的图象上所有极大值对应的点均落在同一条直线上,则c等于( )
A.1B.2
C.2或4D.1或2
由已知可得,当1≤x≤2时,f(x)=f(2x)=[1-(2x-3)2];
当2≤x≤4时,f(x)=1-(x-3)2,
当4≤x≤8时,f(x)=cf()=c[1-(-3)2]
由题意可知三点(,),(3,1),(6,c)共线,则=,解得c=1或c=2.
12.(2012年孝感统考)已知f(x)=alnx+x2(a>
0),若对任意两个不等的正实数x1、x2都有>
2恒成立,则a的取值范围是( )
A.[1,+∞) B.(1,+∞)
C.(0,1)D.(0,1]
由于=k>
2恒成立,所以f′(x)≥2恒成立.又f′(x)=+x,故+x≥2,即a≥-x2+2x,而g(x)=-x2+2x在(0,+∞)上的最大值为1,所以a≥1.故选A.
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13. f(x)=(n∈Z)是偶函数,且y= f(x)在(0,+∞)上是减函数,则n=________.
因为 f(x)在(0,+∞)上是减函数,所以n2-3n<
0,即0<
n<
3,又因为 f(x)是偶函数,所以n2-3n是偶数,只有n=1或2满足条件.
1或2
14.(2012年河北唐山模拟)形如y=(a>
0,b>
0)的函数,因其图象类似于汉字中的“冏”字,故我们把它称为“冏函数”.若当a=1,b=1时的“冏函数”与函数y=lg|x|图象的交点个数为n,则n=__________.
由题易知,当a=1,b=1时,y==在同一坐标系中画出“冏函数”与函数y=lg|x|的图象如图所示,易知它们有4个交点.
4
15.(2013届河北普通高中质检)已知函数f(x+)为奇函数,设g(x)=f(x)+1,则g()+g()+g()+g()+…+g()=________.
由题意f(-x+)=-f(x+),即f(-x+)+f(x+)=0,故可得结论:
若m+n=1,则f(m)+f(n)=0,g(m)+g(n)=2.∴原式=1006×
2=2012.
2012
16.(2012年大同市高三学情调研)给出定义:
若m-<
x≤m+(其中m为整数),则m叫做离x最近的整数,记作{x}=m.在此基础上给出下列关系函数f(x)=|x-{x}|的四个命题:
①函数y=f(x)的定义域为R,值域为[0,];
②函数y=f(x)的图象关于直线x=(k∈Z)对称;
③函数y=f(x)是周期函数,且最小正周期为1;
④函数y=f(x)在[-,]上是增函数.其中正确的命题是________.
由条件知-<
x-{x}≤,所以①正确;
作出图象可知②③正确.
①②③
三、解答题(本大题共6小题,共70分,17题10分,18~22题,每题12分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.)
17.已知f(x-3)=loga(a>
0,且a≠1),试判断f(x)的奇偶性.
解:
∵f(x-3)=loga,∴f(x)=loga.
>
0⇒-3<
x<
3,
∴定义域关于原点对称.
又f(-x)+f(x)=loga=loga1=0,∴f(x)为奇函数.
18.已知函数f(x)=x3+ax2-x在点A(1,f
(1))处的切线为l,若此切线在点A处穿过y=f(x)的图象(即动点在点A附近沿曲线y=f(x)运动,经过点A时,从l的一侧进入另一侧),求函数f(x)的表达式.
由已知得f′(x)=x2+ax-1,
由f′
(1)=a知f(x)在点A(1,f
(1))处的切线l的方程是
y-f
(1)=f′
(1)(x-1),
即y=ax--a.
因为切线l在点A处穿过y=f(x)的图象,
所以g(x)=f(x)-(ax--a)在x=1两边附近的函数值异号,
则x=1不是g(x)的极值点.
而g(x)=x3+ax2-(1+a)x++a,
则g′(x)=x2+ax-a-1=(x-1)(x+1+a).
令g′(x)=0得x=1或x=-1-a,
若1≠-1-a,则x=1和x=-1-a都是g(x)的极值点,
所以1=-1-a,即a=-2,
故f(x)=x3-x2-x.
19.已知关于x的二次函数f(x)=x2+(2t-1)x+1-2t.
(1)求证:
对于任意t∈R,方程f(x)=1必有实数根;
(2)若<
t<
,求证:
方程f(x)=0在区间(-1,0)及(0,)上各有一个实数根.
证明:
(1)对于任意t∈R,方程f(x)=1必有实数根,
即f(x)-1=0必有实数根.
x2+(2t-1)x+1-2t-1=0,
x2+(2t-1)x-2t=0,
Δ=(2t-1)2-4×
(-2t)=(2t+1)2≥0,
所以对于任意t∈R,方程f(x)=1必有实数根.
(2)当<
时,因为f(-1)=3-4t=4(-t)>
0,f(0)=1-2t=2(-t)<
0,
f()=+(2t-1)+1-2t=-t>
所以方程f(x)=0在区间(-1,0)及(0,)上各有一个实数根.
20.2012年5月12日韩国丽水世博会开幕,某小商品公司以此为契机,开发了一种纪念品,每件产品的成本是15元,销售价是20元,月平均销售a件,通过改进工艺,产品的成本不变,质量得到提高,市场分析的结果表明:
如果产品的销售价提高的百分率为x(0<
1),那么月平均销售量减少的百分率为x2,记改进工艺后,该公司销售纪念品的月平均利润是y元.
(1)写出y与x的函数关系式;
(2)改进工艺后,试确定该纪念品的销售价,使该公司销售该纪念品的月平均利润最大.
(1)改进工艺后,每件产品的销售价为20(1+x)元,月平均销售量为a(1-x2)件,
则月平均利润为y=a(1-x2)·
[20(1+x)-15]元,
所以y与x的函数关系式为y=5a(1+4x-x2-4x3)(0<
1).
(2)由y′=5a(4-2x-12x2)=0,得x1=,x2=-(舍去),
所以当0<
时,y′>
0;
当<
1时,y′<
0.
所以函数y=5a(1+4x-x2-4x3)(0<
1)在x=处取得最大值.
故改进工艺后,纪念品的销售价为20×
(1+)=30元时,该公司销售该纪念品的月平均利润最大.
21.(2013年宁夏银川月考)已知函数:
f(x)=x3+ax2+bx+c,过曲线y=f(x)上的点P(1,f
(1))的切线方程为
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