学年度北师大版数学选修23教学案第二章5第一课时离散型随机变量的均值.docx
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学年度北师大版数学选修23教学案第二章5第一课时离散型随机变量的均值
第一课时 离散型随机变量的均值
求离散型随机变量的均值
[例1] (重庆高考)某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定:
在一次摸奖中,摸奖者先从装有3个红球与4个白球的袋中任意摸出3个球,再从装有1个蓝球与2个白球的袋中任意摸出1个球,根据摸出4个球中红球与蓝球的个数,设一、二、三等奖如下:
奖级
摸出红、蓝球个数
获奖金额
一等奖
3红1蓝
200元
二等奖
3红0蓝
50元
三等奖
2红1蓝
10元
其余情况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级.
(1)求一次摸奖恰好摸到1个红球的概率;
(2)求摸奖者在一次摸奖中获奖金额X的分布列与数学期望EX.
[思路点拨]
(1)利用古典概型结合计数原理直接求解.
(2)先确定离散型随机变量的取值,求出相应的概率分布,进一步求出随机变量的期望值.
[精解详析] 设Ai表示摸到i个红球,Bj表示摸到j个蓝球,则Ai(i=0,1,2,3)与Bj(j=0,1)独立.
(1)恰好摸到1个红球的概率为P(A1)==.
(2)X的所有可能值为0,10,50,200,且
P(X=200)=P(A3B1)=P(A3)P(B1)=·=,
P(X=50)=P(A3B0)=P(A3)P(B0)=·=,
P(X=10)=P(A2B1)=P(A2)P(B1)=·==,
P(X=0)=1---=.
综上知,X的分布列为
X
0
10
50
200
P
从而有EX=0×+10×+50×+200×=4(元).
[一点通] 求离散型随机变量X的均值的步骤
(1)理解X的意义,写出X可能取的全部值;
(2)求X取每个值的概率;
(3)写出X的分布列(有时可以省略);
(4)利用定义公式EX=x1p1+x2p2+…+xnpn,求出均值.
1.(广东高考)已知离散型随机变量X的分布列为
X
1
2
3
P
则X的数学期望EX=( )
A. B.2
C.D.3
解析:
EX=1×+2×+3×==.
答案:
A
2.某高等学院自愿献血的20位同学的血型分布情形如下表:
血型
A
B
AB
O
人数
8
7
3
2
(1)现从这20人中随机选出两人,求两人血型相同的概率;
(2)现有A血型的病人需要输血,从血型为A、O的同学中随机选出2人准备献血,记选出A血型的人数为X,求随机变量X的数学期望EX.
解:
(1)从20人中选出两人的方法数为C=190,
选出两人同血型的方法数为C+C+C+C=53,
故两人血型相同的概率是.
(2)X的取值为0,1,2,
P(X=0)==,
P(X=1)==,
P(X=2)==.
X的分布列为
X
0
1
2
P
∴EX=×0+×1+×2==.
二项分布及超几何分布的均值
[例2] 甲、乙两人各进行3次射击,甲每次击中目标的概率为,乙每次击中目标的概率为,记甲击中目标的次数为X,乙击中目标的次数为Y,求
(1)X的概率分布;
(2)X和Y的数学期望.
[思路点拨] 甲、乙击中目标的次数均服从二项分布.
[精解详析]
(1)P(X=0)=C3=,
P(X=1)=C3=,
P(X=2)=C3=,
P(X=3)=C3=.
所以X的概率分布如下表:
X
0
1
2
3
P
(2)由题意X~B,Y~B,
∴EX=3×=1.5,EY=3×=2.
[一点通] 如果随机变量X服从二项分布即X~B(n,p),则EX=np;如果随机变量X服从参数为N,M,n的超几何分布时,则EX=n,以上两特例可以作为常用结论,直接代入求解,从而避免了繁杂的计算过程.
3.若随机变量X~B,EX=2,则P(X=1)等于________.
解析:
由X~B∴EX=n·=2,
∴n=4,∴P(X=1)=C13=.
答案:
4.袋中有7个球,其中有4个红球,3个黑球,从袋中任取3个球,以X表示取出的红球数,则EX为________.
解析:
由题意知随机变量X服从N=7,M=4,n=3的超几何分布,则EX=3×=.
答案:
5.(浙江高考)已知箱中装有4个白球和5个黑球,且规定:
取出一个白球得2分,取出一个黑球得1分.现从该箱中任取(无放回,且每球取到的机会均等)3个球,记随机变量X为取出此3球所得分数之和.
(1)求X的分布列;
(2)求X的数学期望EX.
解:
(1)由题意得X取3,4,5,6,且
P(X=3)==,P(X=4)==,
P(X=5)==,P(X=6)==.
所以X的分布列为
X
3
4
5
6
P
(2)由
(1)知EX=3·P(X=3)+4·P(X=4)+5·P(X=5)+6·P(X=6)=.
数学期望的实际应用
[例3] 某商场准备在“五一”期间举行促销活动.根据市场行情,该商场决定从3种服装商品、2种家电商品、4种日用商品中,选出3种商品进行促销活动.
(1)试求选出的3种商品中至少有一种是日用商品的概率;
(2)商场对选出的家电商品采用的促销方案是有奖销售,即在该商品成本价的基础上提高180元作为售价销售给顾客,同时允许顾客有3次抽奖的机会,若中奖一次,就可以获得一次奖金.假设顾客每次抽奖时获奖的概率都是,且每次获奖时的奖金数额相同,请问:
该商场应将每次中奖的奖金数额至多定为多少元,此促销方案才能使商场自己不亏本?
[思路点拨]
(1)利用间接法求概率;
(2)先求中奖的期望,再列不等式求解.
[精解详析]
(1)设选出的3种商品中至少有一种是日用商品为事件A,则P(A)=1-=.
即选出的3种商品中至少有一种是日用商品的概率为.(4分)
(2)设顾客抽奖的中奖次数为X,则X=0,1,2,3,于是
P(X=0)=××=,
P(X=1)=C×2×=,
P(X=2)=C××2=,
P(X=3)=××=,
∴顾客中奖的数学期望
EX=0×+1×+2×+3×=1.5.(10分)
设商场将每次中奖的奖金数额定为x元,则1.5x≤180,解得x≤120,
即该商场应将每次中奖的奖金数额至多定为120元,才能使自己不亏本.(12分)
[一点通] 处理与实际问题有关的均值问题,应首先把实际问题概率模型化,然后利用有关概率的知识去分析相应各事件可能性的大小,并写出分布列,最后利用有关的公式求出相应的概率及均值.
6.(湖南高考)某企业有甲、乙两个研发小组,他们研发新产品成功的概率分别为和,现安排甲组研发新产品A,乙组研发新产品B,设甲、乙两组的研发相互独立.
(1)求至少有一种新产品研发成功的概率;
(2)若新产品A研发成功,预计企业可获利润120万元;若新产品B研发成功,预计企业可获利润100万元,求该企业可获利润的分布列和数学期望.
解:
记E={甲组研发新产品成功},F={乙组研发新产品成功}.
由题设知P(E)=,P()=,P(F)=,P()=.
且事件E与F,E与,与F,与都相互独立.
(1)记H={至少有一种新产品研发成功},则=,于是
P()=P()P()=×=,
故所求的概率为P(H)=1-P()=1-=.
(2)设企业可获利润为X(万元),则X的可能取值为0,100,120,220.
因P(X=0)=P()=×=,
P(X=100)=P(F)=×=,
P(X=120)=P(E)=×=,
P(X=220)=P(EF)=×=.
故所求的X分布列为
X
0
100
120
220
P
数学期望为E(X)=0×+100×+120×+220×===140.
7.某突发事件,在不采取任何预防措施的情况下发生的概率为0.3,一旦发生,将造成400万元的损失.现有甲、乙两种相互独立的预防措施可供采用.单独采用甲、乙预防措施所需的费用分别为45万元和30万元,采用相应的预防措施后此突发事件不发生的概率为0.9和0.85.若预防方案允许甲、乙两种预防措施单独采取、联合采取或不采取,请确定预防方案使总费用最少.(总费用=采取预防措施的费用+发生突发事件损失的期望值.)
解:
①不采取预防措施时,总费用即损失期望值为
E1=400×0.3=120(万元);
②若单独采取预防措施甲,则预防措施费用为45万元,发生突发事件的概率为1-0.9=0.1,
损失期望值为E2=400×0.1=40(万元),
所以总费用为45+40=85(万元);
③若单独采取预防措施乙,则预防措施费用为30万元,
发生突发事件的概率为1-0.85=0.15,
损失期望值为E3=400×0.15=60(万元),
所以总费用为30+60=90(万元);
④若联合采取甲、乙两种预防措施,
则预防措施费用为45+30=75(万元),
发生突发事件的概率为(1-0.9)(1-0.85)=0.015,
损失期望值为E4=400×0.015=6(万元),
所以总费用为75+6=81(万元).
综合①②③④,比较其总费用可知,选择联合采取甲、乙两种预防措施,可使总费用最少.
1.求随机变量的数学期望的方法步骤:
(1)写出随机变量所有可能的取值.
(2)计算随机变量取每一个值对应的概率.
(3)写出分布列,求出数学期望.
2.离散型随机变量均值的性质
①Ec=c(c为常数);
②E(aX+b)=aEX+b(a,b为常数);
③E(aX1+bX2)=aEX1+bEX2(a,b为常数).
1.一名射手每次射击中靶的概率均为0.8,则他独立射击3次中靶次数X的均值为( )
A.0.8 B.0.83
C.3D.2.4
解析:
射手独立射击3次中靶次数X服从二项分布,即X~B(3,0.8),∴EX=3×0.8=2.4.
答案:
D
2.已知离散型随机变量X的概率分布如下:
X
0
1
2
P
0.3
3k
4k
随机变量Y=2X+1,则Y的数学期望为( )
A.1.1B.3.2
C.11kD.33k+1
解析:
由题意知,0.3+3k+4k=1,
∴k=0.1.EX=0×0.3+1×0.3+2×0.4=1.1,
∴EY=E(2X+1)=2EX+1=2.2+1=3.2.
答案:
B
3.口袋中有5个球,编号为1,2,3,4,5,从中任取3个球,以X表示取出的球的最大号码,则EX=( )
A.4B.5
C.4.5D.4.75
解析:
X的取值为5,4,3.
P(X=5)==,
P(X=4)==,
P(X=3)==.
∴EX=5×+4×+3×=4.5.
答案:
C
4.(湖北高考)如图,将一个各面都涂了油漆的正方体,切割为125个同样大小的小正方体.经过搅拌后,从中随机取一个小正方体,记它的涂漆面数为X,则X的均值EX=( )
A.B.
C.D.
解析:
由题意知X可能为0,1,2,3,P(X=0)==,P(X=1)==,P(X=2)==,
P(X=3)=,EX=0×P(X=0)+1×P(X=1)+2×P(X=2)+3×P(X=3)=0×+1×+2×+3×==,故选B.
答案:
B
5.设10件产品有3件次品,从中抽取2件进行检查,则查得次品数的均值为________.
解析:
设查得次品数为X,由题意知X服从超几何分布且N=10,M=3,n=2.
∴EX=n·=2×=.
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- 学年度 北师大 数学 选修 23 教学 第二 第一 课时 离散 随机变量 均值