2数列通项公式和前n项和教案文档格式.docx
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4.数列的分类
分类标准
类型
满足条件
项数
有穷数列
项数有限
无穷数列
项数无限
项与项间的大小关系
递增数列
an+1>
an
其中n∈N*
递减数列
an+1<
常数列
an+1=an
题型一、由an与Sn的关系求通项公式
例1
(1)已知数列{an}的前n项和Sn=2n2-3n,则an=________.
答案 4n-5
解析 a1=S1=2-3=-1,
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(2n2-3n)-[2(n-1)2-3(n-1)]=4n-5,
由于a1也适合此等式,∴an=4n-5.
(2)(2020·
河南省天一大联考)设Sn为数列{an}的前n项和,若2Sn=3an-3,则a4等于( )
A.27B.81C.93D.243
答案 B
解析 根据2Sn=3an-3,可得2Sn+1=3an+1-3,
两式相减得2an+1=3an+1-3an,即an+1=3an,
当n=1时,2S1=3a1-3,解得a1=3,
所以数列{an}是以3为首项,3为公比的等比数列,
所以a4=a1q3=34=81.
故选B.
(3)已知数列{an}满足a1+2a2+3a3+…+nan=2n,则an=________.
答案
解析 当n=1时,由已知,可得a1=21=2,
∵a1+2a2+3a3+…+nan=2n,①
故a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1=2n-1(n≥2),②
由①-②,得nan=2n-2n-1=2n-1,
∴an=.
显然当n=1时不满足上式,∴an=
跟踪训练1
(1)已知数列{an}的前n项和Sn=3n+1,则an=________.
解析 当n=1时,a1=S1=3+1=4;
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(3n+1)-(3n-1+1)=
2×
3n-1.
当n=1时,2×
31-1=2≠a1,
所以an=
(2)(2019·
咸阳模拟)已知正项数列{an}中,++…+=(n∈N*),则数列{an}的通项公式为( )
A.an=nB.an=n2C.an=D.an=
解析 由题意得=-=n(n≥2),
又=1,所以=n(n≥1),an=n2,故选B.
(3)(2018·
全国Ⅰ)记Sn为数列{an}的前n项和.若Sn=2an+1,则S6=________.
答案 -63
解析 ∵Sn=2an+1,当n≥2时,Sn-1=2an-1+1,
∴an=Sn-Sn-1=2an-2an-1(n≥2),
即an=2an-1(n≥2).
当n=1时,a1=S1=2a1+1,得a1=-1.
∴数列{an}是首项a1=-1,公比q=2的等比数列,
∴Sn===1-2n,
∴S6=1-26=-63.
题型二、由数列的递推关系求通项公式
命题点1 累加法
例2 设数列{an}中,a1=2,an+1=an+n+1,则an=________.
解析 由条件知an+1-an=n+1,
则当n≥2时,an=(a2-a1)+(a3-a2)+(a4-a3)+…+(an-an-1)+a1=(2+3+4+…+n)+2=.(经检验,n=1时也符合).
命题点2 累乘法
例3 设数列{an}中,a1=2,an+1=an,则an=________.
解析 ∵an+1=an,a1=2,∴an≠0,∴=.
∴当n≥2时,an=·
·
…·
a1=·
2=.
(经检验,n=1时也符合).
思维升华已知数列的递推关系求通项公式的典型方法
(1)当出现an=an-1+f(n)时,用累加法求解.
(2)当出现=f(n)时,用累乘法求解.
跟踪训练2
(1)(2019·
榆林模拟)在数列{an}中,=+2n-1,a1=0,则a8=________.
答案 2492
解析 令bn=,
则bn+1-bn=2n-1,b1=1,
∴b8=b8-b7+b7-b6+…+b2-b1+b1=13+11+…+1+1=50,
∴=50,∴a8=2492.
(2)已知数列{an}满足a1=,an+1=an,求通项公式an.
解 由已知得=,分别令n=1,2,3,…,(n-1),代入上式得n-1个等式累乘,即·
=×
×
…×
,
所以=,即n≥2时,an=,
又因为a1=也满足该式,所以an=.
题型三、数列的性质
命题点1 数列的单调性
例4
(1)已知数列{cn},cn=,则当n=________时,cn最大.
答案 5
解析 cn+1-cn=-=,
当n≤4时,cn+1>
cn,当n≥5时,cn+1<
cn,
因此c1<
c2<
c3<
c4<
c5>
c6>
c7>
…,
∴n=5时,cn取得最大值.
(2)已知an=n2+λn,且对于任意的n∈N*,数列{an}是递增数列,则实数λ的取值范围是________.
答案 (-3,+∞)
解析 因为{an}是递增数列,所以对任意的n∈N*,都有an+1>
an,即(n+1)2+λ(n+1)>
n2+λn,
整理,得2n+1+λ>
0,即λ>
-(2n+1).(*)
因为n≥1,所以-(2n+1)≤-3,要使不等式(*)恒成立,只需λ>
-3.
命题点2 数列的周期性
例5(2019·
兰州模拟)已知数列{an}中,a1=1,a2=2,且an·
an+2=an+1(n∈N*),则a2020的值为( )
A.2B.1C.D.
解析 因为an·
an+2=an+1(n∈N*),
由a1=1,a2=2,得a3=2,
由a2=2,a3=2,得a4=1,
由a3=2,a4=1,得a5=,
由a4=1,a5=,得a6=,
由a5=,a6=,得a7=1,
由a6=,a7=1,得a8=2,
由此推理可得数列{an}是周期为6的数列,
所以a2020=a4=1,故选B.
题型四、构造新数列
对于数列通项公式的求解,除了我们已经学习的方法以外,根据所给递推公式的特点,还有以下几种构造方式.
构造法1 形如an+1=can+d(c≠0,其中a1=a)型
(1)若c=1,数列{an}为等差数列.
(2)若d=0,数列{an}为等比数列.
(3)若c≠1且d≠0,数列{an}为线性递推数列,其通项可通过待定系数法构造等比数列来求.
方法如下:
设an+1+λ=c(an+λ),得an+1=can+(c-1)λ,
与题设an+1=can+d比较系数得λ=(c≠1),
所以an+=c(n≥2),
即构成以a1+为首项,以c为公比的等比数列.
例1 在数列{an}中,若a1=1,an+1=3an+2,则通项an=________.
答案 2×
3n-1-1
解析 an+1=3an+2,即an+1+1=3(an+1),
又因为a1+1=2≠0,
所以{an+1}构成以2为首项,以3为公比的等比数列,
所以an+1=2·
3n-1,an=2·
3n-1-1.
构造法2 形如an+1=pan+q·
pn+1(p≠0,1,q≠0)型
an+1=pan+q·
pn+1(p≠0,1,q≠0)的求解方法是两端同时除以pn+1,即得-=q,则数列为等差数列.
2.倒数为特殊数列(形如an=型)
例4 已知数列{an}中,a1=1,an+1=,求数列{an}的通项公式.
解 ∵an+1=,a1=1,∴an≠0,∴=+,即-=,
又a1=1,则=1,∴是以1为首项,为公差的等差数列.
∴=+(n-1)×
=+,∴an=(n∈N*).
题型五、数列的求和
命题点1 分组求和与并项求和
例3 (2019·
湖南省张家界慈利县期中)已知{an}是等差数列,{bn}是等比数列,且b2=3,b3=9,a1=b1,a14=b4.
(1)求{an}的通项公式;
(2)设cn=an+bn,求数列{cn}的前n项和.
解
(1)设等差数列{an}的公差为d,等比数列{bn}的公比为q,
因为b2=3,b3=9,可得q==3,
所以bn=b2qn-2=3·
3n-2=3n-1,
又由a1=b1=1,a14=b4=27,
所以d==2,
所以数列{an}的通项公式为
an=a1+(n-1)×
d=1+2(n-1)=2n-1.
(2)由题意知cn=an+bn=(2n-1)+3n-1,
则数列{cn}的前n项和为
[1+3+…+(2n-1)]+(1+3+9+…+3n-1)=+=n2+.
命题点2 错位相减法求和
例4 (2019·
安徽省合肥一中、安庆一中等六校联考)设等比数列{an}满足a1+a3=20,a2+a4=10.
(1)令Tn=a1a2a3…an,求Tn的最大值;
(2)令bn=log2an,求数列{anbn}的前n项和Sn.
解
(1)设等比数列{an}首项为a1,公比为q,
所以a1+a1q2=20,a1q+a1q3=10,
解得所以an=,
当an=≥1时,解得n≤5,
所以a1>
a2>
a3>
a4>
a5=1>
a6>
a7>
所以Tn的最大值为T4=T5=16×
8×
4×
2=1024.
(2)由
(1)知bn=log2an=log2
=5-n,
则an·
bn=(5-n)·
n-5,
Sn=4·
-4+3·
-3+…+(5-n)·
两边同时乘得,Sn=4·
-3+3·
-2+…+(5-n)·
n-4,
两式相减得,
-4--(5-n)·
n-4
=4×
16--(5-n)·
=64-16-(5-n)·
=48+(n-3)·
所以Sn=96+(n-3)·
25-n.
命题点3 裂项相消法求和
例5(2020·
三明质检)已知正项数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,且(t+1)Sn=a+3an+2(t∈R).
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若数列{bn}满足b1=1,bn+1-bn=an+1,求数列的前n项和Tn.
解
(1)因为a1=1,且(t+1)Sn=a+3an+2,
所以(t+1)S1=a+3a1+2,所以t=5.
所以6Sn=a+3an+2.①
当n≥2时,有6Sn-1=a+3an-1+2,②
①-②得6an=a+3an-a-3an-1,
所以(an+an-1)(an-an-1-3)=0,
因为an>
0,所以an-an-1=3,
又因为a1=1,
所以{an}是首项为1,公差为3的等差数列,
所以an=3n-2(n∈N*).
(2)因为bn+1-bn=an+1,b1=1,
所以bn-bn-1=an(n≥2,n∈N*),
所以当n≥2时,
bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+…+(b2-b1)+b1=an+an-1+…+a2+b1=.
又b1=1也适合上式,所以bn=(n∈N*)
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- 数列 公式 教案