高中数学课时作业25两角和与差的正弦余弦正切公式1新人教A版Word格式文档下载.docx
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=2cos.
B
3.在△ABC中,若sin(B+C)=2sinBcosC,则△ABC是( )
A.锐角三角形B.直角三角形
C.钝角三角形D.等腰三角形
因为sin(B+C)=2sinBcosC,
所以sinBcosC+cosBsinC=2sinBcosC,
即sinBcosC-cosBsinC=0,所以sin(B-C)=0,
所以B=C.所以△ABC是等腰三角形.
4.函数f(x)=sinx-cos的值域为( )
A.[-2,2]B.[-,]
C.[-1,1]D.
因为f(x)=sinx-cos
=sinx-cosxcos+sinxsin
=sinx-cosx+sinx
=
=sin(x∈R),
所以f(x)的值域为[-,].
5.已知cos+sinα=,则sin的值为( )
A.-B.
C.-D.
因为cos+sinα=,
所以cosαcos+sinαsin+sinα=,
所以cosα+sinα=,
即cosα+sinα=.
所以sin=.
所以sin=-sin(α+)=-.
C
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.sin165°
的值是________.
sin165°
=sin(120°
+45°
)=sin120°
cos45°
+cos120°
sin45°
=·
-·
7.已知cos=sin,则tanα=________.
cos=cosαcos-sinαsin=cosα-sinα,sin=sinαcos-cosαsin=sinα-cosα,
所以sinα=cosα,
故tanα=1.
1
8.已知sin(α-β)cosα-cos(β-α)sinα=,β是第三象限角,则sin=________.
sin(α-β)cosα-cos(β-α)sinα
=sin(α-β)cosα-cos(α-β)sinα
=sin[(α-β)-α]=-sinβ=,
即sinβ=-,
又β是第三象限角,
所以cosβ=-,
所以sin=sinβcos+cosβsin=×
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.化简下列各式:
(1)sin+2sin-cos;
(2)-2cos(α+β).
(1)原式=sinx·
cos+cosxsin+2sinxcos-2cosx·
sin-cos·
cosx-sinsinx
=sinx+cosx+sinx-cosx+·
cosx-sinx
=sinx+cosx=0.
(2)原式=
10.已知α,β均为锐角,且sinα=,cosβ=,求α-β的值.
因为α,β均为锐角,且sinα=,cosβ=,
所以cosα=,sinβ=.
所以sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ
-×
=-.
又因为α,β均为锐角,
所以-<
α-β<
.故α-β=-.
|能力提升|(20分钟,40分)
11.在△ABC中,3sinA+4cosB=6,3cosA+4sinB=1,则C的大小为( )
A.B.
C.或D.或
由已知可得(3sinA+4cosB)2+(3cosA+4sinB)2=62+12,
即9+16+24sin(A+B)=37.
所以sin(A+B)=.所以在△ABC中sinC=,所以C=或C=.又1-3cosA=4sinB>
0,所以cosA<
.
又<
,所以A>
,所以C<
,
所以C=不符合题意,所以C=.
A
12.已知cos+sinα=,则sin的值是________.
∵cos+sinα=cosαcos+sinαsin+sinα
=cosα+sinα,∴cosα+sinα=,
∴cosα+sinα=,即sin=.
又sin=sin=
-sin=-.
-
13.已知α∈,β∈,且cos(α-β)=,sinβ=-,求sinα.
因为α∈,
β∈,
所以α-β∈(0,π).
因为cos(α-β)=,
所以sin(α-β)=.
因为β∈,sinβ=-,
所以cosβ=.
所以sinα=sin[(α-β)+β]
=sin(α-β)cosβ+cos(α-β)sinβ
14.已知sin=-,sin=,其中<
α<
,<
β<
,求角α+β的值.
因为<
-α<
0.
所以<
+β<
由已知可得cos=,
cos=-,
则cos(α+β)=cos
=coscos+
sinsin
α+β<
π,
所以α+β=.
2019-2020年高中数学课时作业25二倍角的三角函数二北师大版
1.已知2sinα=1+cosα,则tan=( )
A. B.或不存在
C.2D.2或不存在
由2sinα=1+cosα,
即4sincos=2cos2,
当cos=0时,则tan不存在,
当cos≠0时,则tan=.
2.若sin2α=,且α∈,则cosα-sinα的值为( )
C.-D.-
所以cosα<
sinα,(cosα-sinα)2=1-sin2α,
所以cosα-sinα=-.
3.若sin(α+β)cosβ-cos(α+β)sinβ=0,则sin(α+2β)+sin(α-2β)=( )
A.1B.-1
C.0D.±
因为sin(α+β)cosβ-cos(α+β)·
sinβ=sin(α+β-β)=sinα=0,
所以sin(α+2β)+sin(α-2β)=2sinαcos2β=0.
4.若θ∈,sin2θ=,则sinθ=( )
因为θ∈,所以2θ∈,
所以cos2θ≤0,
所以cos2θ=-
=-=-.
又cos2θ=1-2sin2θ,
所以sin2θ===,
所以sinθ=.
5.化简2+2sin2得( )
A.2+sinαB.2+sin
C.2D.2+sin
原式=1+2sincos+1-cos=2+sinα-cos=2+sinα-sinα=2.
6.已知sin-cos=,则cos2θ=________.
因为sin-cos=,
所以1-sinθ=,
即sinθ=,
所以cos2θ=1-2sin2θ=1-=.
7.若=,则tan2α等于________.
由=,
得2(sinα+cosα)=sinα-cosα,
即tanα=-3.
又tan2α====.
8.函数y=sin2x+cos2x的最小正周期为________.
y=sin2x+cos2x=sin2x+=sin2x+cos2x+=sin+,所以该函数的最小正周期为π.
π
9.化简:
(1);
(2)已知π<
,化简:
+.
(1)原式=
==.
(2)原式=+,
∵π<
,∴<
<
∴cos<
0,sin>
∴原式=+
=-+
=-cos.
10.求证:
-2cos(α+β)=.
证明:
∵sin(2α+β)-2cos(α+β)sinα
=sin[(α+β)+α]-2cos(α+β)sinα
=sin(α+β)cosα+cos(α+β)sinα-2cos(α+β)sinα
=sin(α+β)cosα-cos(α+β)sinα
=sin[(α+β)-α]=sinβ,
两边同除以sinα得-2cos(α+β)=.
|能力提升|(20分钟,40分)
11.已知sinα+cosα=,则2cos2-1=( )
∵sinα+cosα=,平方可得1+sin2α=,可得sin2α=-.
2cos2-1=cos=sin2α=-.
12.已知sin2θ=,0<
2θ<
,则=________.
===.
因为sin2θ=,0<
所以cos2θ=,所以tanθ===,
所以==,
即=.
13.已知向量a=(2sinx,cosx),b=(cosx,2cosx),定义函数f(x)=a·
b-1.
(1)求函数f(x)的最小正周期;
(2)求函数f(x)的单凋递减区间.
f(x)=2sinxcosx+2cos2x-1
=sin2x+cos2x
=2sin.
(1)T==π.
(2)令+2kπ≤2x+≤+2kπ,
则+kπ≤x≤+kπ(k∈Z),
即函数f(x)的单调递减区间为
(k∈Z).
14.如图,有一块以点O为圆心的半圆形空地,要在这块空地上划出一个内接矩形ABCD开辟为绿地,使其一边AD落在半圆的直径上,另两点B,C落在半圆的圆周上.已知半圆的半径长为20m,如何选择关于点O对称的点A,D的位置,可以使矩形ABCD的面积最大?
连接OB,设∠AOB=θ,则AB=OBsinθ=20sinθ,OA=OBcosθ=20cosθ,且θ∈.
∵A,D关于原点对称,
∴AD=2OA=40cosθ.
设矩形ABCD的面积为S,
则S=AD·
AB=40cosθ·
20sinθ
=400sin2θ.∵θ∈,
∴当sin2θ=1,即θ=时,Smax=400(m2).
此时AO=DO=10(m).
故当A、D距离圆心O为10m时,矩形ABCD的面积最大,其最大面积是400m2.
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