高考数学一轮复习配套讲义第5篇 第1讲 数列的概念与简单表示法文档格式.docx
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通项公式
把数列的通项使用通项公式表达的方法
递推
公式
使用初始值a1和an+1=f(an)或a1,a2和an+1=f(an,an-1)等表达数列的方法
(2)数列的函数特征:
上面数列的三种表示方法也是函数的表示方法,数列可以看作是定义域为正整数集(或它的有限子集{1,2,…,n}的函数an=f(n))当自变量由小到大依次取值时所对应的一列函数值.
*
3.数列的分类
分类原则
类型
满足条件
按项数分类
有穷数列
项数有限
无穷数列
项数无限
单
调
性
递增数列
an+1>an
其中
n∈N*
递减数列
an+1<an
常数列
an+1=an
摆动数列
从第二项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列
周期性
∀n∈N*,存在正整数常数k,an+k=an
4.an与Sn的关系
若数列{an}的前n项和为Sn,则an=
辨析感悟
1.对数列概念的认识
(1)数列1,2,3,4,5,6与数列6,5,4,3,2,1表示同一数列.(×
)
(2)1,1,1,1,…不能构成一个数列.(×
2.对数列的性质及表示法的理解
(3)(教材练习改编)数列1,0,1,0,1,0,…的通项公式,只能是an=.(×
(4)任何一个数列不是递增数列,就是递减数列.(×
(5)(·
开封模拟改编)已知Sn=3n+1,则an=2·
3n-1.(×
[感悟·
提升]
1.一个区别 “数列”与“数集”
数列与数集都是具有某种属性的数的全体,数列中的数是有序的,而数集中的元素是无序的,同一个数在数列中可以重复出现,而数集中的元素是互异的,如
(1)、
(2).
2.三个防范 一是注意数列不仅有递增、递减数列,还有常数列、摆动数列,如(4).
二是数列的通项公式不唯一,如(3)中还可以表示为an=
三是已知Sn求an时,一定要验证n=1的特殊情形,如(5).
学生用书第79页
考点一 由数列的前几项求数列的通项
【例1】根据下面各数列前几项的值,写出数列的一个通项公式:
(1)-1,7,-13,19,…;
(2),,,,,…;
(3),2,,8,,…;
(4)5,55,555,5555,….
解
(1)偶数项为正,奇数项为负,故通项公式必含有因式(-1)n,观察各项的绝对值,后一项的绝对值总比它前一项的绝对值大6,故数列的一个通项公式为an=(-1)n(6n-5).
(2)这是一个分数数列,其分子构成偶数数列,而分母可分解为1×
3,3×
5,5×
7,7×
9,9×
11,…,每一项都是两个相邻奇数的乘积.知所求数列的一个通项公式为an=.
(3)数列的各项,有的是分数,有的是整数,可将数列的各项都统一成分数再观察.即,,,,,…,从而可得数列的一个通项公式为an=.
(4)将原数列改写为×
9,×
99,×
999,…,易知数列9,99,999,…的通项为10n-1,
故所求的数列的一个通项公式为an=(10n-1).
规律方法根据所给数列的前几项求其通项时,需仔细观察分析,抓住其几方面的特征:
分式中分子、分母的各自特征;
相邻项的变化特征;
拆项后的各部分特征;
符号特征.应多进行对比、分析,从整体到局部多角度观察、归纳、联想.
【训练1】根据下面数列的前几项的值,写出数列的一个通项公式:
(1),,-,,-,,…;
(2),1,,,….
解
(1)各项的分母分别为21,22,23,24,…,易看出第2,3,4项的分子分别比分母少3.因此把第1项变为-,原数列可化为-,,-,,…,因此可得数列的一个通项公式为an=(-1)n·
.
(2)将数列统一为,,,,…,对于分子3,5,7,9,…,是序号的2倍加1,可得分子的通项公式为bn=2n+1,对于分母2,5,10,17,…,联想到数列1,4,9,16,…,即数列{n2},可得分母的通项公式为cn=n2+1,因此可得数列的一个通项公式为an=.
考点二 由an与Sn的关系求通项an
【例2】(·
广东卷节选)设数列{an}的前n项和为Sn.已知a1=1,=an+1-n2-n-,n∈N*.
(1)求a2的值;
(2)求数列{an}的通项公式.
解
(1)依题意,2S1=a2--1-,
又S1=a1=1,所以a2=4;
(2)由题意2Sn=nan+1-n3-n2-n,
所以当n≥2时,
2Sn-1=(n-1)an-(n-1)3-(n-1)2-(n-1)
两式相减得2an=nan+1-(n-1)an-(3n2-3n+1)-(2n-1)-,
整理得(n+1)an-nan+1=-n(n+1),
即-=1,又-=1,
故数列是首项为=1,公差为1的等差数列,
所以=1+(n-1)×
1=n,所以an=n2.
规律方法给出Sn与an的递推关系,求an,常用思路是:
一是利用Sn-Sn-1=an(n≥2)转化为an的递推关系,再求其通项公式;
二是转化为Sn的递推关系,先求出Sn与n之间的关系,再求an.
【训练2】设数列{an}的前n项和为Sn,数列{Sn}的前n项和为Tn,满足Tn=2Sn-n2,n∈N*.
(1)求a1的值;
解
(1)令n=1时,T1=2S1-1,
∵T1=S1=a1,∴a1=2a1-1,∴a1=1.
(2)n≥2时,Tn-1=2Sn-1-(n-1)2,
则Sn=Tn-Tn-1=2Sn-n2-[2Sn-1-(n-1)2]
=2(Sn-Sn-1)-2n+1=2an-2n+1.
因为当n=1时,a1=S1=1也满足上式,
所以Sn=2an-2n+1(n≥1),
当n≥2时,Sn-1=2an-1-2(n-1)+1,
两式相减得an=2an-2an-1-2,
所以an=2an-1+2(n≥2),所以an+2=2(an-1+2),
因为a1+2=3≠0,
所以数列{an+2}是以3为首项,公比为2的等比数列.
所以an+2=3×
2n-1,∴an=3×
2n-1-2,
当n=1时也成立,
所以an=3×
2n-1-2.
学生用书第80页
考点三 由递推公式求数列的通项公式
【例3】在数列{an}中,
(1)若a1=2,an+1=an+n+1,则通项an=________;
(2)若a1=1,an+1=3an+2,则通项an=________.
审题路线
(1)变形为an+1-an=n+1⇒用累加法,即an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)⇒得出an.
(2)变形为an+1+1=3(an+1)⇒再变形为=⇒用累乘法或迭代法可求an.
解析
(1)由题意得,当n≥2时,an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)=2+(2+3+…+n)=2+=+1.
又a1=2=+1,符合上式,
因此an=+1.
(2)an+1=3an+2,即an+1+1=3(an+1),即=3,
法一 =3,=3,=3,…,=3.将这些等式两边分别相乘得=3n.
因为a1=1,所以=3n,即an+1=2×
3n-1(n≥1),所以an=2×
3n-1-1(n≥2),又a1=1也满足上式,故an=2×
3n-1-1.
法二 由=3,即an+1+1=3(an+1),
当n≥2时,an+1=3(an-1+1),
∴an+1=3(an-1+1)=32(an-2+1)=33(an-3+1)=…=3n-1(a1+1)=2×
3n-1,
∴an=2×
3n-1-1;
当n=1时,a1=1=2×
31-1-1也满足.
答案
(1)+1
(2)2×
3n-1-1
规律方法数列的递推关系是给出数列的一种方法,根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项,由递推关系求数列的通项公式,常用的方法有:
①求出数列的前几项,再归纳猜想出数列的一个通项公式;
②将已知递推关系式整理、变形,变成等差、等比数列,或用累加法、累乘法、迭代法求通项.
【训练3】设{an}是首项为1的正项数列,且(n+1)a-na+an+1·
an=0(n=1,2,3,…),则它的通项公式an=________.
解析 ∵(n+1)a+an+1·
an-na=0,
∴(an+1+an)[(n+1)an+1-nan]=0,
又an+1+an>0,∴(n+1)an+1-nan=0,
即=,∴·
·
…·
=×
×
…×
,∴an=.
答案
1.求数列通项或指定项,通常用观察法(对于交错数列一般用(-1)n或(-1)n+1来区分奇偶项的符号);
已知数列中的递推关系,一般只要求写出数列的前几项,若求通项可用归纳、猜想和转化的方法.
2.由Sn求an时,an=注意验证a1是否包含在后面an的公式中,若不符合要单独列出,一般已知条件含an与Sn的关系的数列题均可考虑上述公式.
3.已知递推关系求通项:
对这类问题的要求不高,但试题难度较难把握.一般有三种常见思路:
(1)算出前几项,再归纳、猜想;
(2)“an+1=pan+q”这种形式通常转化为an+1+λ=p(an+λ),由待定系数法求出λ,再化为等比数列;
(3)利用累加、累乘法或迭代法可求数列的通项公式.
思想方法4——用函数的思想解决数列问题
【典例】(·
新课标全国Ⅱ卷)等差数列{an}的前n项和为Sn,已知S10=0,S15=25,则nSn的最小值为________.
解析 由题意及等差数列的性质,
知a1+a10=0,a1+a15=.
两式相减,得a15-a10==5d,所以d=,a1=-3.
所以nSn=n·
[na1+d]=.
令f(x)=,x>0,
则f′(x)=x(3x-20),由函数的单调性,可知函数f(x)在x=时取得最小值,检验n=6时,6S6=-48,而n=7时,7S7=-49,故nSn的最小值为-49.
答案 -49
[反思感悟]
(1)本题求出的nSn的表达式可以看做是一个定义在正整数集N*上的三次函数,因此可以采用导数法求解.
(2)易错分析:
由于n为正整数,因而不能将代入求最值,这是考生容易忽略而产生错误的地方.
【自主体验】
1.设an=-3n2+15n-18,则数列{an}中的最大项的值是
( ).
A.B.
C.4D.0
解析 ∵an=-32+,由二次函数性质,得当n=2或3时,an最大,最大为0.
答案 D
2.已知{an}是递增数列,且对于任意的n∈N*,an=n2+λn恒成立,则实数λ的取值范围是________.
解析 设f(n)=an=n2+λn,其图象的对称轴为直线n=-,要使数列{an}为递增数列,只需使定义在正整数上的函数f(n)为增函数,故只需满足-<,即λ>-3.
答案 (-3,+∞)
对应学生用
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