高考数学100个必考知识点详解29 图像变换在三角函数中的应用文档格式.docx
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的图像纵坐标变为原来的倍(图像表现为纵向的伸缩)
3、函数图象的翻折变换:
在轴正半轴的图像不变,负半轴的图像替换为与正半轴图像关于轴对称的图像
在轴上方的图像不变,轴下方的部分沿轴向上翻折即可(与原轴下方图像关于轴对称)
(二)图像变换中要注意的几点:
1、如何判定是纵坐标变换还是横坐标变换?
在寻找到联系后可根据函数的形式了解变换所需要的步骤,其规律如下:
①若变换发生在“括号”内部,则属于横坐标的变换
②若变换发生在“括号”外部,则属于纵坐标的变换
例如:
:
可判断出属于横坐标的变换:
有放缩与平移两个步骤
:
可判断出横纵坐标均需变换,其中横坐标的为对称变换,纵坐标的为平移变换
2、解析式变化与图像变换之间存在怎样的对应?
由前面总结的规律不难发现:
(1)加“常数”平移变换
(2)添“系数”放缩变换
(3)加“绝对值”翻折变换
3、多个步骤的顺序问题:
在判断了需要几步变换以及属于横坐标还是纵坐标的变换后,在安排顺序时注意以下原则:
①横坐标的变换与纵坐标的变换互不影响,无先后要求
②横坐标的多次变换中,每次变换只有发生相应变化
可有两种方案
方案一:
先平移(向左平移1个单位),此时。
再放缩(横坐标变为原来的),此时系数只是添给,即
方案二:
先放缩(横坐标变为原来的),此时,再平移时,若平移个单位,则(只对加),可解得,故向左平移个单位
③纵坐标的多次变换中,每次变换将解析式看做一个整体进行
有两种方案
先放缩:
,再平移时,将解析式看做一个整体,整体加1,即
先平移:
,则再放缩时,若纵坐标变为原来的倍,那么,无论取何值,也无法达到,所以需要对前一步进行调整:
平移个单位,再进行放缩即可()
二、典型例题:
例1:
要得到函数的图像,只需要将函数的图像()
A.向左平移个单位B.向右平移个单位
C.向右平移个单位D.向左平移个单位
思路:
观察发现原始函数与变换后的函数仅仅多一个常数,说明只有平移变换,在变换的过程中要注意只有含的地方进行了变化,所以只有,所以是向右平移个单位
答案:
C
小有话说:
(1)图像变换要注意区分哪个是原始函数,哪个是变化后的函数。
(2)对于前面含有系数时,平移变换要注意系数产生的影响。
例2:
把函数的图像上所有的点横坐标都缩小到原来的一半,纵坐标保持不变,再把图像向右平移个单位,这是对应于这个图像的解析式是()
A.B.C.D.
,经过化简可得:
A
例3:
为了得到函数的图像,可以将函数的图像()
观察可发现两个函数的三角函数名不同,而图像变换是无法直接改变三角函数名的,只有一个可能,就是在变换后对解析式进行化简,从而使得三角函数名发生改变。
所以在考虑变换之前,首先要把两个函数的三角函数名统一,,第二步观察可得只是经过平移变换,但是受到系数影响。
所以考虑对两个函数进行变形以便于观察平移了多少,目标函数:
;
原函数:
可得平移了个单位
B
常见的图像变换是不能直接改变三角函数名,所以当原函数与目标函数三角函数名不同时,首先要先统一为正弦或者余弦
例4:
要得到的图像只需将的图像()
A.先向左平移个单位,再将图像上各点的横坐标缩短至原来的
B.先向右平移个单位,再将图像上各点的横坐标缩短至原来的
C.先将图像上各点的横坐标缩短至原来的,再将图像向左平移个单位
D.先将图像上各点的横坐标扩大为至原来的倍,再将图像向右平移个单位
本题中共用两个步骤:
平移与放缩。
步骤顺序的不同将会导致平移的程度不同,所以可以考虑按照选项的提示进行变换,看结果是否与已知相同
A.
B.
C.
D.
例5:
A.向右平移个单位B.向左平移个单位
C.向右平移个单位D.向左平移个单位
先将两个函数化为相同的结构,再考虑图像变换,从入手化为的形式:
,从而得到需要向左平移个单位。
D
例6:
将函数的图像沿轴向左平移个单位后,得到一个偶函数的图像,则的一个可能取值为()
A.B.C.D.
首先先求出平移后的解析式,
即,在由已知可得其中一条对称轴为,所以,解得:
,当时,
本题为图像变换与三角函数性质相结合的题目
例7:
若将函数的图像向右平移个单位可得到一个奇函数的图像,向左平移个单位可得到一个偶函数的图像,则可取的一组值是()
A.B.
C.D.
本题也可按照例6的处理方式,通过两次平移得出解析式然后列出的方程组求解,但从另一方面,由两次平移后得到的对称轴(对称中心)的位置可以推出平移之前的对称位置,从而确定出原函数的对称轴与对称中心:
向右平移个单位后关于对称,则原函数关于中心对称;
向左平移个单位关于轴对称,则原函数关于轴对称,从而确定周期,进而,而向右平移个单位得到奇函数,可得
例8:
若把函数图像向左平移个单位,则与函数的图像重合,则的值可能是()
A.B.C.D.
首先将两个函数的三角函数名统一:
,将函数向左平移得到的解析式为,由于两个函数图像重合,可得,所以,解得:
,故选择D
例9.将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象,若的图象都经过点,则的值可以是()
可以考虑先求出的解析式,从而减少中的变量个数。
,而,即,所以,依题意,可得:
或,解得:
或,只有B符合题意
例10:
函数(其中)的图象如图所示,为了得到的图象,则只要将的图象()
A.向右平移个单位长度B.向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度D.向左平移个单位长度
本题分为两步,先根据图像求解析式,再确定图像变换。
由图像可得:
最小值为,所以,再由对称中心与对称轴距离可得周期,从而。
此时,由过可得:
,所以,,则需向右平移个单位:
A
三、近年好题精选
1、函数的图像向左平移个单位得函数的图像,则函数的解析式是()
A.B.
C.D.
2、(2016,陕西八校联考)下图是,在区间上的图象,为了得到这个函数的图象,只需将的图象上所有的点()
A.向左平移个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变
B.向左平移个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变
C.向左平移个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变
D.向左平移个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变
3、(2015,山东)要得到函数的图像,只需将函数的图像()
A.向左平移个单位B.向右平移个单位
C.向左平移个单位D.向右平移个单位
4、(2014,辽宁)将函数的图像向右平移个单位长度,所得图像对应的函数()
A.在区间上单调递减B.在区间上单调递增
C.在区间上单调递减D.在区间上单调递增
5、(2014,四川)为了得到函数的图像,只需把函数的图像上所有的点()
A.向左平行移动个单位长度B.向右平行移动个单位长度
C.向左平行移动个单位长度D.向右平行移动个单位长度
6、为了得到函数的图像,只需把函数图像上所有点()
A.向左平行移动个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的
B.向左平行移动个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的倍
C.向左平行移动个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的
D.向右平行移动个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的
7、把函数的图像上所有的点向左平行移动个单位长度,再把所得图像上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变),得到的图像所表示的函数是()
习题答案:
1、答案:
解析:
2、答案:
由图像可得的周期,所以,另一方面由最值可得,即,由可知,可解得,即。
那么。
可知按选项D的方式变换即可得到
3、答案:
,故将向右平移单位即可
4、答案:
变换后的图像解析式为:
,考虑其单增区间:
,解得:
,B正确
5、答案:
,故只需将的图像向左平行移动个单位长度
6、答案:
可知要经过放缩与平移,若先平移,则要先向左移动,再将坐标变为原来的,A符合
7、答案:
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