【答案】(0,8)
11
4.一元二次不等式aχ2+bχ+2>0的解集是(一2,^),则a+b的值是.
211
【解析】由已知得方程ax2+bx+2=0的两根为一-,
b=—1+1
a23
(-2)
解得a=—12
b=—2,
.∙∙a+b=—14.
【答案】-14错误!
It•属
解下列不等式
(1)3+2x—X≥0;⑵X2+3>2x;
元二次不等式的解法
2x
x—1
1.
【思路点拨】
(1)先把二次项系数化为正数,再用因式分解法;
式法求解;(3)移项通分,转化为一元二次不等式求解.
【尝试解答】
(1)原不等式化为X2—2x—3≤0,
即(x—3)(x+1)≤0,
故所求不等式的解集为{x|—1≤x≤3}.
(2)原不等式化为x2—2x+3>0,
•.•△=4—12=—8V0,又因二次项系数为正数,
•••不等式X2+3>2x的解集为R.
(2)用配方法或用判别
⑶Tx—≤1?
x—T1≤0?
肖≤0?
(x—1)(x+1)≤0且x≠1.
•原不等式的解集为[—1,I).,现律方法&
(见学生用书第2页)
aa
得:
χι=—;,χ2=;・
43
1a>0时,—4V3,解集为{XXV—4或x>3};
2a=0时,X2>0,解集为{x∣x∈R且x≠0};
3av0时,一a>a,解集为{xXV舟或x>—a}.
4334“
综上所述:
当a>0时,不等式的解集为{xixv—a或x>a》;
当a=0时,不等式的解集为{xx∈R且x≠0};
当av0时,不等式的解集为{xxv3或x>—
a
4}.,
解含参数的一元二次不等式的步骤
(1)二次项若含有参数应讨论参数是等于0,小于0,还是大于0,然后将不等式转化为
二次项系数为正的形式.
(2)判断方程实根的个数,讨论判别式△与0的关系.
(3)确定方程无实根时可直接写出解集,确定方程有两个相异实根时,要讨论两实根的大小关系,从而确定解集形式.
''解关于X的不等式x2—(a+1)x+av0.
【解】原不等式可化为(x—a)(x—1)v0.
当a>1时,原不等式的解集为(1,a);
当a=1时,原不等式的解集为空集;
当aV1时,原不等式的解集为(a,1).
•••不等式ax2+x+bvO的解集为
厂!
规律方法③
(1)给出一元二次不等式的解集,则可知二次项系数的符号和相应一元二次方程的两根.
(2)三个二次的关系体现了数形结合,以及函数与方程的思想方法.
若关于X的不等式-a^V1的解集是{x∣xv1或x>2},求实数
x—1
围.
【解】V1?
(a—1)X+1VO?
[(a—1)x+1](x—1)VO,由原不等式的解集是{xX
x—1x—1
V1或x>2},
a-1VO,I
知L1=2?
a=*
La—1
•实数a的取值范围是{1}.
若不等式mx2—mx—1VO对一切实数X恒成立,求实数m的取值范围.【思路点拨】分m=O与m≠O两种情况讨论,当m≠O时,用判别式法求解.【尝试解答】要使mx2—mx—1VO对一切实数X恒成立,
若m=O,显然—1VO;
…mVO,
右m≠O,则*2解得—4VmVO,
方法④卜
Δ=m+4mVO,
1.不等式ax2+bx+c>O的解是全体实数(或恒成立)的条件是当a=O时,b=O,c>O;
Jra>O,2
当a≠O时,*不等式ax2+bx+CVO的解是全体实数(或恒成立)的条件是当a=O时,
ΔvO;”
aVO,
b=O,CVO;当a≠O时,1
AVO.
2.解决恒成立问题一定要搞清谁是主元,谁是参数,一般地,知道谁的范围,谁就是主元,求谁的范围,谁就是参数.
对任意a∈[—1,1]不等式X2+(a—4)x+4—2a>0恒成立,则实数X的取值范围是.
【解析】设f(a)=(x—2)a+x2—4x+4,则原问题可转化为一次函数(或常数函数)f(a)
在区间[—1,1]上恒正时X应满足的条件,
故应有
f(—1)>0,
f
(1)>0.
x2—5x+6>0,
即2
x2—3x+2>0,
化为*
(X—2)(X—3)>0,
(x—1)(x—2)>0.
解之,得XV1或X>3.
【答案】XV1或x>3
:
名师微博
也—个过程
解一元二次不等式的一般过程是:
一看(看二次项系数的符号),二算(计算判别式,判
断方程根的情况),三写(写出不等式的解集).
囤两点联想
不等式ax2+bx+c>0(或ax2+bx+CV0)(a≠0)的求解,善于联想:
(1)二次函数y=ax2+bx+C的图象与X轴的交点,
(2)方程ax2+bx+C=0(a≠0)的根,运用好“三个二次”间的关系.
囤三个防范
1•二次项系数中含有参数时,参数的符号影响不等式的解集;不要忘了二次项系数是否为零的情况.
2.解含参数的一元二次不等式,可先考虑因式分解,再对根的大小进行分类讨论;若不能因式分解,则可对判别式进行分类讨论,分类要不重不漏.
3•不同参数范围的解集切莫取并集,应分类表述.
育考葆脸・蹈考侑
(见学生用书第3页)
a-盂兔吐*⅛**⅛*
命题透视
从近两年的高考试题来看,一元二次不等式的解法、含参数不等式的解法以及二次函数、
一元二次方程、一元二次不等式的综合应用等问题是高考的热点.常与集合、函数、导数等
知识交汇命题,主要考查分析问题、解决问题的能力、推理论证能力及转化与化归的思想.
思想方法之一巧用一元二次不等式求代数式的最值
E!
例題(2011浙江高考)设x,y为实数,若4χ2+y2+Xy=1,则2x+y的最大值是.
【解析】法一设2x+y=t,•••y=t-2x,代入4χ2+y2+Xy=1,整理得6χ2-3tx+t2
—1=0.关于X的方程有实根,因此Δ=(—3t)2-4×6×(t2-1)≥0,解得一2^10≤t≤2^10
55
则2x+y的最大值是響.
5
法二■/1=4x2+y2+Xy=(2x+y)2—3xy
=(2x+y)2-
≥(2x+y)2-3∙(2x2⅛=5(2x+y)2,
?
210
∙∙∙(2x+y)2≤8,
•-暑2x+y≤
即-2510≤2x+y≤5
55
[答案】2510
5
阅卷心语
易错提示:
(1)换元后,不会从关于X的一元二次方程有实数解入手解决问题,致使思
维受阻.
(2)不会利用化归与转化思想化未知为已知,致使解题时无从下手,盲目作答.
防范措施:
(1)应熟练掌握一元二次方程与其判别式△之间的关系,关于X的一元二次
不等式有实根的充要条件是其对应的判别式非负.
⑵遇到一个问题,要注意寻找结论和已知间的关系,化已知为未知或化未知为已知.
自生体验
1.(2012天津高考)设x∈R,则“x>1”是“2x2+X-1>0”的()
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
1
【解析】2x2+X-1>0的解集为{x∣x>2或x<-1},
故由x>2?
2x2+X-1>0,但2x2+X-1>0D?
∕xg.
则“x>1"是“2x2+X-1>0”的充分不必要条件.
2
【答案】A
2.(2013清远模拟)不等式ax2+4x+a>1-2x2对一切x∈R恒成立,则实数a的取值范围是.
【解析】由题意知,不等式(a+2)x2+4x+a—1>0对一切x∈R恒成立,则有
a+2>0,
解得a>2.
△=16—4(a+2)(a—1)v0,
【答案】(2,+∞)