2019-2020广东学业水平测试数学学考仿真卷+5+Word版含解析.doc
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2019-2020广东学业水平测试数学学考仿真卷+5+Word版含解析.doc
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学考仿真卷(五)
(时间:
90分钟;分值:
100分,本卷共4页)
一、选择题(本大题共15小题,每小题4分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求)
1.向量a=(-1,3),b=(2,-4),则a-b=( )
A.(3,1) B.(-3,7)
C.(3,-7) D.(1,-1)
B [a-b=(-1-2,3+4)=(-3,7).]
2.等差数列{an}中,a2=4,a3=5,则a8=( )
A.7B.8C.9D.10
D [公差为d=a3-a2=1,a8=a2+(8-2)d=4+6=10.]
3.已知集合P={y|y=x2+2x-1,x∈N},Q={y|y=-x2+2x-1,x∈N},则( )
A.P∩Q=∅ B.P∩Q={-1}
C.P∩Q={0} D.P∩Q=N
B [由x2+2x-1=-x2+2x-1得x=0,∵当x=0时,x2+2x-1=-x2+2x-1=-1,∴P∩Q={-1},故选B.]
4.下列函数中,既是偶函数又在(0,+∞)上单调递减的是( )
A.y=-x B.y=cosx
C.y=x D.y=-x2
D [函数y=-x是奇函数,y=cosx在(0,+∞)上不具有单调性,y=x在(0,+∞)上单调递增,y=-x2在(0,+∞)上单调递减,故选D.]
5.若cosx=-,且 A.-B.-C.D. B [由题意,知cosx=-,且 所以sinx==,则tanx==-, 所以tanx+sinx=-+=-.] 6.如图所示,在正方体ABCDA1B1C1D1中,E、F、G、H分别为AA1、AB、BB1、B1C1的中点,则异面直线EF与GH所成的角等于( ) A.45° B.60° C.90° D.120° B [如图,取A1B1的中点M,连接GM,HM.由题意易知EF∥GM,且△GMH为正三角形. ∴异面直线EF与GH所成的角即为GM与GH的夹角∠HGM.而在正三角形GMH中∠HGM=60°,故选B.] 7.过点(3,1)作圆(x-1)2+y2=1的两条切线,切点分别为A,B,则直线AB的方程为( ) A.2x+y-3=0 B.2x-y-3=0 C.4x-y-3=0 D.4x+y-3=0 A [如图所示: 由题意知: AB⊥PC,kPC=,∴kAB=-2, ∴直线AB的方程为y-1=-2(x-1),即2x+y-3=0.] 8.数据5,7,7,8,10,11的标准差是( ) A.8B.4C.2D.1 C [这组数据的平均数=(5+7+7+8+10+11)÷6=8, s2=[(5-8)2+(7-8)2+(7-8)2+(8-8)2+(10-8)2+(11-8)2]=4,s=2.] 9.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的离心率为,左顶点到一条渐近线的距离为,则该双曲线的标准方程为( ) A.-=1 B.-=1 C.-=1 D.-=1 A [e=,即c=a,a=b,渐近线方程为-=0,即y=±x, 因为左顶点到一条渐近线的距离为=, 解得a=2,b=2, 即该双曲线的标准方程为-=1,故选A.] 10.在△ABC中,A∶B=1∶2,sinC=1,则a∶b∶c=( ) A.1∶2∶3 B.3∶2∶1 C.2∶∶1 D.1∶∶2 D [在△ABC中,A∶B=1∶2,sinC=1, 可得A=30°,B=60°,C=90°. ∴a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC=∶∶1=1∶∶2.] 11.已知点A(-2,3)在抛物线C: y2=2px的准线上,记抛物线C的焦点为F,则直线AF的斜率为( ) A.-B.C.D. A [∵点A(-2,3)在抛物线C的准线上, ∴-=-2,∴p=4. ∴抛物线的方程为y2=8x,则焦点F的坐标为(2,0). 又A(-2,3),根据斜率公式得kAF==-.] 12.等差数列{an}中,a3+a4+a5=12,那么数列{an}的前7项和S7=( ) A.22B.24C.26D.28 D [∵等差数列{an}中,a3+a4+a5=12, ∴a3+a4+a5=3a4=12,解得a4=4, ∴S7===7a4=28.] 13.若x,y满足则z=x+2y的最大值为( ) A.9B.8C.7D.6 C [在直角坐标系内,画出可行域为图中阴影部分, 联立解得即A(3,2). 将z=x+2y变为y=-+,作直线y=-. 由图可知,当直线l移动到点A(3,2)时,z有最大值,此时zmax=3+2×2=7,故zmax=7.] 14.若正方形ABCD的边长为1,则·等于( ) A.B.1C.D.2 B [因为正方形ABCD的边长为1,所以·=||||cos〈,〉=×1×=1.] 15.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=3,b=2,cos(A+B)=,则c=( ) A.4B.C.3D. D [cosC=-cos(A+B)=-.又由余弦定理得c2=a2+b2-2abcosC=9+4-2×3×2×=17,所以c=.] 二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填写在题中横线上) 16.设复数z满足=i,则|z|等于________. 1 [1+z=i(1-z),z(1+i)=i-1,z===i,∴|z|=|i|=1.] 17.设f(x)=,则f(f (2))的值为________. 2 [f(f (2))=f(log3(22-1))=f (1)=2e1-1=2.] 18.计算: log21+log24=________. 2 [原式=log21+log222=log21+2log22=0+2×1=2.] 19.若直线2ax-by+2=0(a>0,b>0)被圆x2+y2+2x-4y+1=0截得的弦长为4,则+的最小值为________. 4 [圆方程为(x+1)2+(y-2)2=4,圆心为(-1,2),半径为2,若直线被截得弦长为4,说明圆心在直线上,即-2a-2b+2=0,∴a+b=1, ∴+=(a+b)=2++≥2+2=4, 当且仅当=,即a=b时,等号成立.] 三、解答题(本大题共2小题,共24分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 20.(本小题满分12分)某班有学生50人,其中男同学30人,用分层抽样的方法从该班抽取5人去参加某社区服务活动. (1)求从该班男女同学中各抽取的人数; (2)从抽取的5名同学中任选2名谈对此活动的感受,求选出的2名同学中恰有1名男同学的概率. [解] (1)抽取的5人中男同学的人数为5×=3(人),女同学的人数为5-3=2(人). (2)记3名男同学为A1,A2,A3,2名女同学为B1,B2. 从5人中随机选出2名同学,所有可能的结果有A1A2,A1A3,A1B1,A1B2,A2A3,A2B1,A2B2,A3B1,A3B2,B1B2,共10个. 用C表示“选出的两名同学中恰有一名男同学”这一事件,则C中的结果有6个,它们是A1B1,A1B2,A2B1,A2B2,A3B1,A3B2, 所以选出的两名同学中恰有一名男同学的概率P(C)==. 21.如图,已知四棱锥PABCD的底面是矩形,侧面PAB是正三角形,且平面PAB⊥平面ABCD,E是PA的中点,AC与BD的交点为M. (1)求证: PC∥平面EBD; (2)求证: BE⊥平面AED. [证明] (1)连接EM,∵四边形ABCD是矩形, ∴M为AC的中点. ∵E是PA的中点, ∴EM是三角形PAC的中位线, ∴EM∥PC. ∵EM⊂平面EBD,PC⊄平面EBD, ∴PC∥平面EBD. (2)∵平面PAB⊥平面ABCD,平面PAB∩平面ABCD=AB, 而AD⊥AB,∴AD⊥平面PAB, ∵BE⊂平面PAB, ∴AD⊥BE. 又∵△PAB是等边三角形,且E是PA的中点, ∴BE⊥AE,又AE∩AD=A,∴BE⊥平面AED.
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