高三数学复习资料汇编学第1章集合Word格式文档下载.docx
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∅是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集.
3.集合的基本运算
并集
交集
补集
图形表示
符号表示
A∪B
A∩B
∁UA
意义
{x|x∈A或x∈B}
{x|x∈A且x∈B}
{x|x∈U且x∉A}
4.集合关系与运算的常用结论
(1)若有限集A中有n个元素,则A的子集有2n个,真子集有2n-1个.
(2)子集的传递性:
A⊆B,B⊆C⇒A⊆C.
(3)A⊆B⇔A∩B=A⇔A∪B=B.
(4)∁U(A∩B)=(∁UA)∪(∁UB),∁U(A∪B)=(∁UA)∩(∁UB).
1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×
”)
(1)任何集合都有两个子集.( )
(2)已知集合A={x|y=x2},B={y|y=x2},C={(x,y)|y=x2},则A=B=C.( )
(3)若{x2,1}={0,1},则x=0,1.( )
(4)若A∩B=A∩C,则B=C.( )
[解析]
(1)错误.空集只有一个子集,就是它本身,故该说法是错误的.
(2)错误.集合A是函数y=x2的定义域,即A=(-∞,+∞);
集合B是函数y=x2的值域,即B=[0,+∞);
集合C是抛物线y=x2上的点集.因此A,B,C不相等.
(3)错误.当x=1时,不满足互异性.
(4)错误.当A=∅时,B,C可为任意集合.
[答案]
(1)×
(2)×
(3)×
(4)×
2.(教材改编)若集合A={x∈N|x≤
},a=2
,则下列结论正确的是( )
A.{a}⊆AB.a⊆A
C.{a}∈AD.a∉A
D [由题意知A={0,1,2,3},由a=2
,知a∉A.]
3.(2016·
全国卷Ⅰ)设集合A={x|x2-4x+3<
0},B={x|2x-3>
0},则A∩B=( )
A.
B.
C.
D.
D [∵x2-4x+3<0,∴1<x<3,∴A={x|1<x<3}.
∵2x-3>0,∴x>
,∴B=
.
∴A∩B={x|1<x<3}∩
=
故选D.]
4.(2016·
全国卷Ⅲ)设集合A={0,2,4,6,8,10},B={4,8},则∁AB=( )
A.{4,8} B.{0,2,6}
C.{0,2,6,10}D.{0,2,4,6,8,10}
C [∵集合A={0,2,4,6,8,10},B={4,8},
∴∁AB={0,2,6,10}.]
5.设全集为R,集合A={x|x2-9<0},B={x|-1<x≤5},则A∩(∁RB)=________.
{x|-3<x≤-1} [由题意知,A={x|x2-9<0}={x|-3<x<3}.
∵B={x|-1<x≤5},∴∁RB={x|x≤-1或x>5},
∴A∩(∁RB)={x|-3<x<3}∩{x|x≤-1或x>5}={x|-3<x≤-1}.]
集合的基本概念
(1)已知集合A={0,1,2},则集合B={x-y|x∈A,y∈A}中元素的个数是( )
A.1 B.3
C.5 D.9
(2)若集合A={x∈R|ax2-3x+2=0}中只有一个元素,则a=( )
C.0D.0或
(1)C
(2)D [
(1)当x=0,y=0,1,2时,x-y=0,-1,-2;
当x=1,y=0,1,2时,x-y=1,0,-1;
当x=2,y=0,1,2时,x-y=2,1,0.
根据集合中元素的互异性可知,B的元素为-2,-1,0,1,2,共5个.
(2)若集合A中只有一个元素,则方程ax2-3x+2=0只有一个实根或有两个相等实根.
当a=0时,x=
,符合题意;
当a≠0时,由Δ=(-3)2-8a=0得a=
,
所以a的取值为0或
.]
[规律方法] 1.研究集合问题,首先要抓住元素,其次看元素应满足的属性;
特别地,对于含有字母的集合,在求出字母的值后,要注意检验集合的元素是否满足互异性,如题
(1).
2.由于方程的不定性导致求解过程用了分类讨论思想,如题
(2).
[变式训练1] 已知集合A={x∈R|ax2+3x-2=0},若A=∅,则实数a的取值范围为________.
[∵A=∅,∴方程ax2+3x-2=0无实根,
不合题意;
当a≠0时,Δ=9+8a<0,∴a<-
集合间的基本关系
(1)已知集合A={x|y=
,x∈R},B={x|x=m2,m∈A},则( )
A.ABB.BA
C.A⊆BD.B=A
(2)已知集合A={x|-2≤x≤7},B={x|m+1<x<2m-1},若B⊆A,则实数m的取值范围是________.
(1)B
(2)(-∞,4] [
(1)易知A={x|-1≤x≤1},
所以B={x|x=m2,m∈A}={x|0≤x≤1},
因此BA.
(2)当B=∅时,有m+1≥2m-1,则m≤2.
当B≠∅时,若B⊆A,如图.
则
解得2<m≤4.
综上,m的取值范围为m≤4.]
[规律方法] 1.B⊆A,应分B=∅和B≠∅两种情况讨论.
2.已知两集合间的关系求参数时,关键是将两集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系,进而转化为参数满足的关系,解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn图化抽象为直观进行求解.
[变式训练2]
(1)(2017·
长沙雅礼中学质检)若集合A={x|x>0},且B⊆A,则集合B可能是( )
A.{1,2}B.{x|x≤1}
C.{-1,0,1}D.R
(2)(2017·
石家庄质检)已知集合A={x|x2-2016x-2017≤0},B={x|x<m+1},若A⊆B,则实数m的取值范围是________.
(1)A
(2)(2016,+∞) [
(1)因为A={x|x>0},且B⊆A,再根据选项A,B,C,D可知选项A正确.
(2)由x2-2016x-2017≤0,得A=[-1,2017],
又B={x|x<m+1},且A⊆B,
所以m+1>2017,则m>2016.]
集合的基本运算
☞角度1 求集合的交集或并集
(1)(2015·
全国卷Ⅰ)已知集合A={x|x=3n+2,n∈N},B={6,8,10,12,14},则集合A∩B中元素的个数为( )
A.5 B.4
C.3 D.2
郑州调研)设集合M={x|x2=x},
N={x|lgx≤0},则M∪N=( )
A.[0,1]B.(0,1]
C.[0,1)D.(-∞,1]
(1)D
(2)A [
(1)集合A中元素满足x=3n+2,n∈N,即被3除余2,而集合B中满足这一要求的元素只有8和14.共2个元素.
(2)M={x|x2=x}={0,1},N={x|lgx≤0}={x|0<
x≤1},M∪N=[0,1].]
☞角度2 集合的交、并、补的混合运算
(1)(2016·
浙江高考)已知集合P={x∈R|1≤x≤3),Q={x∈R|x2≥4},则P∪(∁RQ)=( )
A.[2,3]B.(-2,3]
C.[1,2)D.(-∞,-2]∪[1,+∞)
太原一模)已知全集U=R,集合M={x|(x-1)(x+3)<0},N={x||x|≤1},则阴影部分(如图111)表示的集合是( )
图111
A.[-1,1)B.(-3,1]
C.(-∞,-3)∪[-1,+∞)D.(-3,-1)
(1)B
(2)D [
(1)∵Q={x∈R|x2≥4},
∴∁RQ={x∈R|x2<
4}={x|-2<
x<
2}.
∵P={x∈R|1≤x≤3},
∴P∪(∁RQ)={x|-2<
x≤3}=(-2,3].
(2)由题意可知,M=(-3,1),N=[-1,1],∴阴影部分表示的集合为M∩(∁UN)=(-3,-1).]
[规律方法] 1.求集合的交集和并集时首先应明确集合中元素的属性,然后利用交集和并集的定义求解.
2.在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化.一般地,集合元素离散时用Venn图表示;
集合元素连续时用数轴表示,用数轴表示时要注意端点值的取舍.
易错警示:
在解决有关A∩B=∅,A⊆B等集合问题时,往往忽视空集的情况,一定要先考虑∅是否成立,以防漏解.
[思想与方法]
1.在解题时经常用到集合元素的互异性,一方面利用集合元素的互异性能顺利找到解题的切入点;
另一方面,对求出的字母的值,应检验是否满足集合元素的互异性,以确保答案正确.
2.求集合的子集(真子集)个数问题,需要注意的是:
首先,过好转化关,即把图形语言转化为符号语言;
其次,当集合的元素个数较少时,常利用枚举法解决.
3.对于集合的运算,常借助数轴、Venn图求解.
(1)对连续数集间的运算,借助数轴的直观性,进行合理转化;
对已知连续数集间的关系,求其中参数的取值范围,关键在于转化成关于参数的方程或不等式关系.
(2)对离散的数集间的运算,或抽象集合间的运算,可借助Venn图,这是数形结合思想的又一体现.
[易错与防范]
1.集合问题解题中要认清集合中元素的属性(是数集、点集还是其他类型集合),要对集合进行化简.
2.空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集,时刻关注对空集的讨论,以防漏解.
3.解题时注意区分两大关系:
一是元素与集合的从属关系;
二是集合与集合的包含关系.
4.Venn图图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法,其中运用数轴图示法时要特别注意端点是实心还是空心.
课时分层训练
(一) 集合
A组 基础达标
(建议用时:
30分钟)
一、选择题
1.(2016·
全国卷Ⅱ)已知集合A={1,2,3},B={x|(x+1)(x-2)<0,x∈Z},则A∪B=( )
A.{1} B.{1,2}
C.{0,1,2,3}D.{-1,0,1,2,3}
C [B={x|(x+1)(x-2)<0,x∈Z}={x|-1<x<2,x∈Z}={0,1}.又A={1,2,3},所以A∪B={0,1,2,3}.]
2.已知集合P={x|x2≤1},M={a}.若P∪M=P,则a的取值范围是( )
A.(-∞,-1]B.[1,+∞)
C.[-1,1]D.(-∞,-1]∪[1,+∞)
C [因为P∪M=P,所以M⊆P,即a∈P,
得a2≤1,解得-1≤a≤1,所以a的取值范围是[-1,1].]
3.(2017
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