新高三暑期作业高考复习方法策略17讲第7讲 四招搞定 三角函数的复习含答案解析文档格式.docx
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②通过升角、降角将角变异为同;
③沟通角与角的联系,通过角的变换将角变异为同,如2α=(α+β)+(α-β),2β=(α+β)-(α-β)等.
(2)从三角函数名称看,一般化异为同,化切为弦.
(3)从三角式结构上看,注意“1”的代换,逆用公式,高次降幂,将asinx+bcosx化为sin(x+φ)的形式等.
4.深化函数性质,建立知识联系.
通过三角函数,进一步认识“数”与“形”的统一.对称性与周期性有密切的关系,如正弦函数y=sinx的图象关于直线x=对称,从公式sin(π-x)=sinx就能反映出来.对称轴与极值的关系,单调性与导数的关系,让导数与三角函数联系起来.
例1 函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>
0,-<
φ<
)的部分图象如图所示,则ω,φ的值分别是( )
A.2,-B.2,-
C.4,-D.4,
解后反思
1.正、余弦函数的周期可以根据其图象的对称轴、对称中心等来确定.相邻对称轴、对称中心相差半个周期,相邻对称轴与对称中心相差个周期.
2.初相可由对称轴(最高点或最低点)确定;
也可以根据由y=Asin(ωx)平移的距离确定.如例1中,-+=,可知f(x)的图象是由f(x)=2sin2x的图象向右平移个单位而得到,故f(x)=2sin2(x-)=2sin(2x-),故φ=-.还可以根据五点法作图的相关关键点来确定,由于f(x)=2sin(2x+φ)(ω>
0)与y=2sinX(其中,X=2x+φ)建立一一对应的关系,选择形如“~”的一个周期,取B点,对应五点法作图的第二点,令=,解得φ=-.
例2 4cos50°
-tan40°
等于( )
A.B.
C.D.2-1
在三角变换中,角的变换是核心,一般要考察角与角之间的关系,变异角为同角,变非特殊角为特殊角.同时要兼顾函数名称,三角式结构,一般要化切为弦,逆用公式.
例3 已知ω>
0,函数f(x)=sin在上单调递减,则ω的取值范围是( )
C.D.(0,2]
已知函数在给定区间上的单调性求参数范围,一般先利用复合函数的单调性,求出用参数k表示的每一个单调区间,给定区间应该是其中某一个单调区间的子集.通过子集建立不等式,先确定k,参数随后确定.
总结感悟
1.三角函数的对称性与周期性关系密切.正、余弦函数的周期可以根据其图象的对称轴、对称中心等来确定.对周期函数来说,已知一条对称轴,可以推知其他对称轴,对称中心亦如此.
2.在三角变换时,要从角、三角函数名称、三角式结构特点三个方面综合考虑,统筹兼顾,选择合理的切入点.
3.整体换元思想是解决三角问题的法宝.无论是五点法作图,还是研究函数性质,整体换元思想形影不离.
【误区警示】
在由y=Asin(ωx)(ω>
0)平移得到y=Asin(ωx+φ)的图象变换中,平移距离是,非|φ|.因为平移距离由单个自变量的改变量确定,在由ωx到ωx+φ中,单个自变量增加了.如f(x)=sin2x向右平移个单位,得到y=sin2(x-),非y=sin(2x-).
A级
1.若A,B是锐角△ABC的两个内角,则点P(cosB-sinA,sinB-cosA)在( )
A.第一象限B.第二象限
C.第三象限D.第四象限
2.(2016·
全国Ⅱ)若cos=,则sin2α=( )
A.B.C.-D.-
3.下列关系式中正确的是( )
A.sin11°
<cos10°
<sin168°
B.sin168°
<sin11°
C.sin11°
D.sin168°
4.将函数f(x)=sinωx(其中ω>
0)的图象向右平移个单位长度,所得图象经过点,则ω的最小值是( )
A.B.1
C.D.2
5.函数f(x)=sin2(2x-)的最小正周期是________.
6.(2016·
四川)sin750°
=________.
B级
7.设ω>0,函数y=sin(ωx+)+2的图象向右平移个单位后与原图象重合,则ω的最小值是( )
C.D.3
8.下图是函数y=Asin(ωx+φ)(x∈R)在区间[-,]上的图象.为了得到这个函数的图象,只要将y=sinx(x∈R)的图象上所有的点( )
A.向左平移个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变
B.向左平移个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不
题型分析
例1 A [T=-,T=π,∴ω=2,
∴2×
+φ=2kπ+,k∈Z,
∴φ=2kπ-,
又φ∈,∴φ=-,选A.]
例2 C [4cos50°
=
==
===.]
例3 A [结合特殊值,求解三角函数的减区间,并验证结果.
取ω=,f(x)=sin,其减区间为
,k∈Z,
显然⊆,k∈Z,排除B,C.
取ω=2,f(x)=sin,
其减区间为,k∈Z,
显然eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2),π))⃘,k∈Z,排除D.]
线下作业
1.B [∵△ABC是锐角三角形,则A+B>,
∴A>-B>0,B>-A>0,
∴sinA>sin=cosB,
sinB>sin=cosA,
∴cosB-sinA<0,sinB-cosA>0,
∴点P在第二象限,选B.]
2.D [因为sin2α=cos=2cos2-1,又因为cos=,所以sin2α=2×
-1=-,故选D.]
3.C [∵sin168°
=sin(180°
-168°
)=sin12°
,
y=sinx在(0,)上是单调递增函数,
∴sin11°
.
又当0<x<时,sinx<cosx,
.]
4.D [根据题意平移后函数的解析式为
y=sinω,将代入得sin=0,则ω=2k,k∈Z,且ω>
0,
故ω的最小值为2.]
5.
解析 因为f(x)=sin2(2x-)=
=-sin4x,所以周期为=.
6.
解析 ∵sinθ=sin(k·
360°
+θ),(k∈Z),∴sin750°
=sin(2×
+30°
)=sin30°
=.
7.C [由题意得=kT=k(k∈N*)
∴ω=k(k∈N*)
∴ω的最小值为.]
8.A [由图象可知A=1,
T=-(-)=π,
∴ω==2.
∵图象过点(,0),
∴sin(+φ)=0,
∴+φ=π+2kπ,k∈Z,
∴φ=+2kπ,k∈Z.
∴y=sin(2x++2kπ)=sin(2x+).
故将函数y=sinx先向左平移个单位长度后,再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,可得原函数的图象.]
9.C [根据条件可得α+∈(,),-∈(,),所以sin(α+)=,sin(-)=,所以cos(α+)=cos[(+α)-(-)]
=cos(+α)cos(-)+sin(+α)sin(-)
=×
+×
=.]
10.[kπ+,kπ+](k∈Z)
解析 由y=cos(-2x)=cos(2x-)得,
2kπ≤2x-≤2kπ+π(k∈Z),
故kπ+≤x≤kπ+(k∈Z).
所以函数的单调减区间为[kπ+,kπ+](k∈Z).
11.解 f(x)=(sin2x-cos2x)-(1-cos2x)
=(sin2x+cos2x)-=sin(2x+)-,
最小正周期T=π.
12.解 f(x)=sin+cos
=sinx-cosx+cosx+sinx
=sinx,g(x)=2sin2=1-cosx.
(1)由f(α)=,得sinα=,
又α是第一象限角,所以cosα>
0.
从而g(α)=1-cosα=1-=1-=.
(2)f(x)≥g(x)等价于sinx≥1-cosx,
即sinx+cosx≥1,于是sin≥.
从而2kπ+≤x+≤2kπ+,k∈Z,
即2kπ≤x≤2kπ+,k∈Z.
故使f(x)≥g(x)成立的x的取值集合为{x|2kπ≤x≤2kπ+,k∈Z}.
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