北师大版七年级下册数学《三角形》全章复习与巩固提高知识点整理及重点题型梳理文档格式.docx
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①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数;
②已知三角形三个内角的关系,可以求出其内角的度数;
③求一个三角形中各角之间的关系.
要点二、三角形的分类
【与三角形有关的线段三角形的分类】
1.按角分类:
直角三角形
三角形 锐角三角形
斜三角形
钝角三角形
①锐角三角形:
三个内角都是锐角的三角形;
②钝角三角形:
有一个内角为钝角的三角形.
2.按边分类:
不等边三角形
三角形 底边和腰不相等的等腰三角形
等腰三角形
等边三角形
①不等边三角形:
三边都不相等的三角形;
②等腰三角形:
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形,相等的两边都叫做腰,另外一边
叫做底边,两腰的夹角叫顶角,腰与底边夹角叫做底角;
③等边三角形:
三边都相等的三角形.
要点三、三角形的三边关系
1.定理:
三角形任意两边之和大于第三边;
三角形任意两边的之差小于第三边.
(1)理论依据:
两点之间线段最短.
(2)三边关系的应用:
判断三条线段能否组成三角形,若两条较短的线段长之和大于最长
线段的长,则这三条线段可以组成三角形;
反之,则不能组成三角形.当已知三角形两边长,
可求第三边长的取值范围.
(3)证明线段之间的不等关系.
2.三角形的重要线段:
一个三角形有三条中线,它们交于三角形内一点,这点称为三角形的重心.
一个三角形有三条角平分线,它们交于三角形内一点.
三角形的三条高所在的直线相交于一点的位置情况有三种:
锐角三角形交点在三角形
内;
直角三角形交点在直角顶点;
钝角三角形交点在三角形外.
要点四、全等三角形的性质与判定
1.全等三角形的性质
全等三角形对应边相等,对应角相等.
2.全等三角形的判定定理
全等三角形判定1——“边边边”:
三边对应相等的两个三角形全等.(可以简写成“边
边边”或“SSS”).“
全等三角形判定2——“角边角”:
两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(可
以简写成“角边角”或“ASA”).
全等三角形判定3——“角角边”:
两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形
全等(可以简写成“角角边”或“AAS”)
全等三角形判定4——“边角边”:
两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(可
以简写成“边角边”或“SAS”).
(1)如何选择三角形证全等,可以从求证出发,看求证的线段或角(用等量
代换后的线段、角)在哪两个可能全等的三角形中,可以证这两个三角形全等;
(2)可以从已知出发,看已知条件确定证哪两个三角形全等;
(3)由条件和结论一起出发,看它们一同确定哪两个三角形全等,然后证它们全等;
(4)如果以上方法都行不通,就添加辅助线,构造全等三角形.
要点五、用尺规作三角形
1.基本作图
利用尺规作图作一条线段等于已知线段、作一个角等于已知角,并利用全等三角形的知
识作一个三角形与已知三角形全等;
要熟练掌握直尺和圆规在作图中的正确应用,对于作图要用正确语言来进行
表达.
【典型例题】
类型一、三角形的内角和
【与三角形有关的角练习(3)】
1.在△ABC中,∠ABC=∠C,BD是AC边上的高,∠ABD=30°
,则∠C的度数是多少?
【思路点拨】按△ABC为锐角三角形和钝角三角形两种情况,分类讨论.
【答案与解析】
解:
分两种情况讨论:
(1)当△ABC为锐角三角形时,如图所示,在△ABD中,
∵BD是AC边上的高(已知),
∴∠ADB=90°
(垂直定义).
又∵∠ABD=30°
(已知),
∴∠A=180°
-∠ADB-∠ABD=180°
-90°
-30°
=60°
又∵∠A+∠ABC+∠C=180°
(三角形内角和定理),
∴∠ABC+∠C=120°
,
又∵∠ABC=∠C,∴∠C=60°
(2)当△ABC为钝角三角形时,如图所示.在直角△ABD中,
∵∠ABD=30°
(已知),所以∠BAD=60°
∴∠BAC=120°
又∵∠BAC+∠ABC+∠C=180°
∴∠ABC+∠C=60°
∴∠C=30°
综上,∠C的度数为60°
或30°
【总结升华】在解决无图的几何题的过程中,只有正确作出图形才能解决问题.这就要求解
答者必须具备根据条件作出图形的能力;
要注意考虑图形的完整性和其他各种可能性,双解
和多解问题也是我们在学习过程中应该注意的一个重要环节.
举一反三
【变式】已知:
如图,在ΔABC中,∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5,BD、CE分别是边AC、AB上
的高,BD、CE相交于H,则∠BHC的度数为.
【答案】135°
.
类型二、三角形的三边关系及分类
2.(2016春?
故城县期末)已知:
a、b、c为三角形的三边长,化简:
|b+c﹣a|+|b﹣c
﹣a|﹣|c﹣a﹣b|﹣|a﹣b+c|.
【思路点拨】根据三角形的三边关系得出a+b>c,a+c>b,b+c>a,再去绝对值符号,合
并同类项即可.
【答案与解析】解:
∵a、b、c为三角形三边的长,
∴a+b>c,a+c>b,b+c>a,
∴原式=|(b+c)﹣a|+|b﹣(c+a)|﹣|c﹣(a+b)|﹣|(a+c)﹣b|
=b+c﹣a+a+c﹣b﹣a﹣b+c+b﹣a﹣c
=2c﹣2a.
【总结升华】本题考查的是三角形的三边关系,熟知三角形任意两边之和大于第三边,任意
两边之差小于第三边是解答此题的关键.
【变式】
(2015?
朝阳)一个三角形的两边长分别是2和3,若它的第三边长为奇数,则这个
三角形的周长为.
【答案】8.
设第三边长为x,
∵两边长分别是2和3,
∴3﹣2<x<3+2,
即:
1<x<5,
∵第三边长为奇数,
∴x=3,
∴这个三角形的周长为2+3+3=8.
3.如图,O是△ABC内一点,连接OB和OC.
(1)你能说明OB+O<CAB+AC的理由吗?
(2)若AB=5,AC=6,BC=7,你能写出OB+OC的取值范围吗?
(1)如图,延长BO交AC于点E,根据三角形的三边关系可以得到,
在△ABE中,AB+AE>BE;
在△EOC中,OE+EC>OC,
两不等式相加,得AB+AE+OE+E>CBE+OC.
由图可知,AE+EC=AC,BE=OB+O.E
所以AB+AC+O>EOB+OC+O,E即OB+O<CAB+AC.
(2)因为OB+OC>BC,所以OB+OC>7.
又因为OB+OC<AB+AC,所以OB+O<C11,所以7<OB+O<C11.
【总结升华】充分利用三角形三边关系的性质进行解题.
4.有一个等腰三角形,它的两个角的度数比是1:
2,这个三角形按角分类可能是什
么三角形?
【思路点拨】因为该等腰三角形的两个角的度数比是1:
2,则这个三角形三个角度数的比
为1:
2:
2或1:
1:
2,进而根据按比例分配知识,分别求出三角形的最大角的度数,进而
根据三角形的分类进行判断即可.
(1)1+1+2=4,
180×
2
4
=90°
∴该三角形是直角三角形;
(2)又1+2+2=5,
5
=72°
∵最大角为72度,是锐角,
∴该三角形的三个角都是锐角,即该三角形是锐角三角形;
综上所述:
该三角形是直角三角形或锐角三角形.
【总结升华】解答此题用到的在知识点:
(1)三角形的内角和180度;
(2)按比例分配知识;
(3)三角形的分类;
【变式】一个三角形的三个角的度数比是1:
3,这个三角形中最小的一个角是度,
按角分类,这个三角形是三角形.
【答案】30;
直角.
类型三、三角形的重要线段
5.如图13,△ABC中,∠A=40°
,∠B=72°
,CE平分∠ACB,CD⊥AB于D,DF⊥
CE,求∠FCD的度数.
【思路点拨】由图可知∠CDF是Rt△CDF的一个内角,求∠CDF可先求出∠FCD,△CDB为直
角三角形,所以可以求出∠BCD,而∠FCD=∠BCE-∠BCD.
在△ABC中,∠A=40°
,∠B=72°
,由三角形的内角和定理得:
∠BCA=18°
0-72°
-40°
=68°
又CE平分∠ACB,
∴∠BCE=∠BCA=34°
在中,CD⊥AB于D,∠B=72°
∴∠BCD=90°
-72°
=18°
∴∠FCD=∠BCE-∠BCD=3°
4-18°
=16°
即∠FCD=16°
【总结升华】这是三角形内角和定理在直角三角形中的应用,直角三角形两个锐角互余,所
以在直角三角形中,已知一个锐角的大小,就可以求出另一个锐角的度数.
【变式】如图14,△ABC中,∠B=34°
,∠ACB=104°
,AD是BC边上的高,AE是∠BAC
的平分线,求∠DAE的度数.
【答案】∠DAE=35°
类型四、全等三角形的性质和判定
6.(2015?
通辽)如图,四边形ABCD中,E点在AD上,其中∠BAE=∠BCE=
∠ACD=9°
0,且BC=CE,求证:
△ABC与△DEC全等.
【思路点拨】根据同角的余角相等可得到∠3=∠5,结合条件可得到∠1=∠D,再加上BC=CE,
可证得结论.
∵∠BCE=∠ACD=9°
0,
∴∠3+∠4=∠4+∠5,
∴∠3=∠5,
在△ACD中,∠ACD=9°
∴∠2+∠D=90°
∵∠BAE=∠1+∠2=90°
∴∠1=∠D,
在△ABC和△DEC中,
∴△ABC≌△DEC
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