正切 余切图像的性质 反三角函数Word下载.docx
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,来作正切函数在区间
上的简图,不妨称之为“三点两线法”.
若想迅速作出余切函数y=cotx的图象,如何选择“三点”及“两线”呢?
请大家看余切函数的图象,不难得到答案.
二、正、余切函数的性质
由图象可得:
y=tanx
y=cotx
定义域
值域
R
单调性
在
上单增(k∈Z)
上单减(k∈Z)
周期性
T=π
对称性
10对称中心
,奇函数(k∈Z)
20对称轴;
无
注:
1、由定义域知,y=tanx与y=cotx图象都存在无数多个间断点(不连续点).
2、每个单调区间一定是连续的.
3、由单调性可解决比较大小问题,但要务必使两个自变量在同一单调区间内.
三、反三角函数的概念和图象
四种三角函数都是由x到y的多值对应,要使其有反函数,必须缩小自变量x的范围,使之成为由x到y的对应.从方便的角度而言,这个x的范围应该
(1)离原点较近;
(2)包含所有的锐角;
(3)能取到所有的函数值;
(4)最好是连续区间.从这个原则出发,我们给出如下定义:
1.y=sinx,x∈
的反函数记作y=arcsinx,x∈[-1,1],称为反正弦函数.
y=cosx,x∈[0,π]的反函数记作y=arccosx,x∈[-1,1],称为反余弦函数.
y=tanx,x∈
的反函数记作y=arctanx,x∈R,称为反正切函数.
y=cotx,x∈(0,π)的反函数记作y=arccotx,x∈R,称为反余切函数.
2.反三角函数的图象
由互为反函数的两个函数图象间的关系,可作出其图象.
(1)y=arcsinx,x∈[-1,1]图象的两个端点是
(2)y=arccosx,x∈[-1,1]图象的两个端点是(1,0)和(-1,π).
(3)y=arctanx,x∈R图象的两条渐近线是
和
.
(4)y=arccotx,x∈R图象的两条渐近线是y=0和y=π.
四、反三角函数的性质由图象,有
y=arcsinx
y=arccosx
y=arctanx
y=arccotx
[-1,1]
[0,π]
(0,π)
在[-1,1]上单增
在[-1,1]上单减
在R上单增
在R上单减
10对称中心
(0,0)奇函数
20对称轴;
非奇非偶
另外:
1.三角的反三角运算
arcsin(sinx)=x(x∈
) arccos(cosx)=x(x∈[0,π])
arctan(tanx)=x(x∈
) arccot(cotx)=x(x∈(0,π))
2.反三角的三角运算
sin(arcsinx)=x(x∈[-1,1]) cos(arccosx)=x(x∈[-1,1])
tan(arctanx)=x(x∈R) cot(arccotx)=x(x∈R)
3.x与-x的反三角函数值关系
arcsin(-x)=-arcsinx(x∈[-1,1])
arccos(-x)=π-arccosx(x∈[-1,1])
arctan(-x)=-arctanx(x∈R)
arccot(-x)=π-arccotx(x∈R)
4.
五、已知三角函数值求角
1.若sinx=a(|a|≤1),则x=kπ+(-1)karcsina(k∈Z)
2.若cosx=a(|a|≤1),则x=2kπ±
arccosa(k∈Z)
3.若tanx=a(a∈R),则x=kπ+arctana(k∈Z)
4.若cotx=a(a∈R),则x=kπ+arccota(k∈Z)
具体计算和表示时,应根据x的范围来确定x的个数.
[典型例题分析]
例1.比较大小:
(1)
(2)
分析:
不在余切函数的同一单调区间内,应利用诱导公式设法将其化到同一单调区间内,再利用单调性来比较大小.
解:
(1)∵
而
,由余切函数在(0,π)上的单减性,有
,∴
(2)∵
∴
例2.写出下列函数的单调区间
(1)
(2)
(3)y=|tanx|
(1)若设
,则原函数可看作是由y=tanu,
复合而成的复合函数,由于
在R上单增,由复合函数的单调性确定法则,可解决之.类似地,可解决
(2).
上单增,(k∈Z)
此时,
(k∈Z)
解之得
∴
在区间
(2)∵原函数由y=cotu,
复合而成,而
在R上单减,
又y=cotu在
(k∈Z)上单减,
即
(k∈Z)上单增.
(3)分析:
由y=tanx图象作翻折可得y=|tanx|的图象,由图象即可得其单调区间.
∴y=|tanx|的单增区间是
(k∈Z),单减区间是
(k∈Z).
例3.求函数
的值域.
考虑到最简原则,将sec2x化为tan2x+1,这样去分母,作变形,就可以得到关于tanx的二次型方程,而tanx∈R,可考虑用判别式法求值域.有
法一:
∵
,∴(y-1)tan2x+(1+y)tanx+(y-1)=0
当y≠1时,
,
当y=1时,tanx=0∈R 综上,所求值域为
法二:
另分析,先对解析式变形“切割化弦”
有
........
(1)
∵
∴
∴
法三:
也可由
(1)式
得
解不等式
,亦可得
例4.设
,它们有相同最小正周期T,且a,b∈(0,1),若f
(1)=g
(1),求f(x),g(x)和T.
先从f(x)与g(x)有共同最小正周期入手,找参数a,b关系.
, ∴a=2b,
∵f
(1)=g
(1),∴
∴
或
又b∈(0,1), ∴
T=12.
例5.若
cosx+tsinx=t,求t取值范围.
先将t表示出来,
,观察到此式右端与半角正切的有理公式
很相像,能否转化?
又
,即
例6.求值:
(2)
(3)
(4)arctan2+arctan3
(1)设
,则
∴原式
(2)设
, ∴
(3)设
,∴
,∴原式值不存在.
(4)设arctan2=a,arctan3=b,则
.又
,∴0<
a+b<
π,
∴原式=
例7.求适合下列条件的x集合:
先对原式变形,讨论.
当
时,角x不存在;
时,原式为sin2x=1,所求集合为
;
时,所求集合为
反思:
对于含字母的三角函数值,必须就字母的不同取值分类讨论
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