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问题:
什么样本?
用样本估计总体的方法是什么?
二、复习预习
频率分布直方图的纵坐标为频率/组距,每一个小长方形的面积表示样本个体落在该区间内的频率;
条形图的纵坐标为频数或频率,把直方图视为条形图是常见的错误.
三、知识讲解
考点1作频率分布直方图的步骤
(1)计算极差(即一组数据中最大值与最小值的差).
(2)决定组数与组距.
(3)决定分点.
(4)列频率分布表.
(5)绘制频率分布直方图.
考点2频率分布折线图和总体密度曲线
(1)频率分布折线图:
把频率分布直方图中各个长方形上边的中点用线段连接起来,就得到频率分布折线图.
(2)设想如果样本容量不断增大,分组的组距不断缩小,则频率分布直方图实际上越来越接近于总体的分布,它可以用一条光滑曲线y=f(x)来描绘,这条光滑曲线就叫做总体密度曲线.
考点3茎叶图的优点
用茎叶图表示数据有两个突出的优点:
一是从统计图上没有原始信息的损失,所有的数据信息都可以从茎叶图中得到;
二是茎叶图可以在比赛时随时记录,方便记录与表示.
考点4样本的数字特征
(1)众数、中位数、平均数
众数:
在一组数据中,出现次数最多的数据叫做这组数据的众数.
中位数:
将一组数据按大小依次排列,把处在最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数.
平均数:
样本数据的算术平均数,即
=
(x1+x2+…+xn).
在频率分布直方图中,中位数左边和右边的直方图的面积应该相等.
(2)样本方差、标准差
设样本的元素为x1,x2,…,xn,样本的平均数为
,
①样本方差:
s2=
②样本标准差:
s=
.
四、例题精析
考点一频率分布直方图的绘制与应用
例1某校从参加高一年级期中考试的学生中随机抽出60名学生,将其物理
成绩(均为整数)分成六段[40,50),[50,60),…,[90,100]后得到如图所示
的频率分布直方图,观察图形的信息,回答下列问题:
(1)求分数在[70,80)内的频率,并补全这个频率分布直方图;
(2)统计方法中,同一组数据常用该组区间的中点值作为代表,据此估计本次考试中的平均分.
【规范解答】解
(1)设分数在[70,80)内的频率为x,根据频率分布直方图,有(0.010+0.015×
2+0.025+0.005)×
10+x=1,可得x=0.3,所以频率分布直方图如图所示.
(2)平均分:
45×
0.1+55×
0.15+65×
0.15+75×
0.3+85×
0.25+95×
0.05=71(分).
【总结与反思】频率分布直方图直观形象地表示了样本的频率分布,从这个直方图上可以求出样本数据在各个组的频率分布.根据频率分布直方图估计样本(或者总体)的平均值时,一般是采取组中值乘以各组的频率的方法.
考点二茎叶图的应用
例2
如图是某青年歌手大奖赛上七位评委为甲、乙两名选手打出的分数的茎叶图
(其中m为数字0~9中的一个),去掉一个最高分和一个最低分后,甲、乙两
名选手得分的平均数分别为a1、a2,则一定有( )
A.a1>
a2
B.a2>
a1
C.a1=a2
D.a1,a2的大小与m的值有关
【规范解答】答案 B
解析 去掉一个最高分和一个最低分后,甲选手叶上的数字之和是20,乙选手叶上的数字之和是25,
故a2>
a1.故选B.
【总结与反思】由于茎叶图完全反映了所有的原始数据,解决由茎叶图给出的统计图表试题时,就要充分使用这个图表提供的数据进行相关的计算或者是对某些问题作出判断,这类试题往往伴随着对数据组的平均值或者是方差的计算等.
考点三用样本的数字特征估计总体的数字特征
例3甲、乙二人参加某体育项目训练,近期的五次测试成绩得分情况如图.
(1)分别求出两人得分的平均数与方差;
(2)根据图和上面算得的结果,对两人的训练成绩作出评价.
【规范解答】解
(1)由题图象可得甲、乙两人五次测试的成绩分别为
甲:
10分,13分,12分,14分,16分;
乙:
13分,14分,12分,12分,14分.
甲=
=13,
乙=
=13,
s
[(10-13)2+(13-13)2+(12-13)2+(14-13)2+(16-13)2]=4,
[(13-13)2+(14-13)2+(12-13)2+(12-13)2+(14-13)2]=0.8.
(2)由s
>
可知乙的成绩较稳定.
从折线图看,甲的成绩基本呈上升状态,而乙的成绩上下波动,可知甲的成绩在不断提高,而乙的成绩则无明显提高.
【总结与反思】 平均数与方差都是重要的数字特征,是对总体的一种简明的描述,它们所反映的情况有着重要的实际意义,平均数、中位数、众数描述其集中趋势,方差和标准差描述其波动大小.
五、课堂运用
【基础】
1、某班的全体学生参加英语测试,成绩的频率分布直方图如图,数据的分组依次为[20,40),[40,60),[60,80),[80,100].若低于60分的人数是15,则该班的学生人数是( )
A.45B.50C.55D.60
解析 由频率分布直方图,知低于60分的频率为
(0.01+0.005)×
20=0.3.
∴该班学生人数n=
=50.
2、对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计,得到样本的茎叶图(如图所示),则该样本的中位数、众数、极差分别是( )
A.46,45,56B.46,45,53
C.47,45,56D.45,47,53
【规范解答】答案 A
解析 由题意知各数为12,15,20,22,23,23,31,32,34,34,38,39,45,45,45,47,47,48,48,49,
50,50,51,51,54,57,59,61,67,68,中位数是46,众数是45,最大数为68,最小数为12,极差为68-12=56.
【巩固】
1、某班有48名学生,在一次考试中统计出平均分为70分,方差为75,后来发现有2名同学的分数登错了,甲实得80分,却记了50分,乙实得70分,却记了100分,更正后平均分和方差分别是( )
A.70,75B.70,50
C.75,1.04D.62,2.35
解析 因甲少记了30分,乙多记了30分,故平均分不变,设更正后的方差为s2,
则由题意可得:
[(x1-70)2+(x2-70)2+…+(80-70)2+(70-70)2+…+(x48-70)2],
而更正前有75=
[(x1-70)2+(x2-70)2+…+(50-70)2+(100-70)2+…+(x48-70)2],
化简整理得s2=50.
2、从某小学随机抽取100名学生,将他们的身高(单位:
厘米)数据绘制成频率分布直方图(如图).由图中数据可知
a=____________.若要从身高在[120,130),[130,140),[140,150]三组内的学生中,用分层抽样的方法选取18人参加一项活动,则从身高在[140,150]内的学生中选取的人数应为________.
【规范解答】答案 0.030 3
解析 ∵小矩形的面积等于频率,∴除[120,130)外的频率和为0.700,∴a=
=0.030.
由题意知,身高在[120,130),[130,140),[140,150]内的学生分别为30人,20人,10人,
∴由分层抽样可知抽样比为
∴在[140,150]中选取的学生应为3人.
【拔高】
1、某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示,其中成绩分组区间是[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100].
(1)求图中a的值;
(2)根据频率分布直方图,估计这100名学生语文成绩的平均分;
(3)若这100名学生语文成绩某些分数段的人数(x)与数学成绩相应分数段的人数(y)之比如下表所示,求数学成绩在[50,90)之外的人数.
分数段
[50,60)
[60,70)
[70,80)
[80,90)
x∶y
1∶1
2∶1
3∶4
4∶5
【规范解答】解
(1)由频率分布直方图知(2a+0.02+0.03+0.04)×
10=1,解得a=0.005.
(2)由频率分布直方图知这100名学生语文成绩的平均分为
55×
0.005×
10+65×
0.04×
10+75×
0.03×
10+85×
0.02×
10+95×
10=73(分).
(3)由频率分布直方图知语文成绩在[50,60),[60,70),[70,80),[80,90)各分数段的人数依次为0.005×
10×
100=5,0.04×
100=40,0.03×
100=30,0.02×
100=20.
由题中给出的比例关系知数学成绩在上述各分数段的人数依次为5,40×
=20,30×
=40,20×
=25.
故数学成绩在[50,90)之外的人数为100-(5+20+40+25)=10.
2、某高校在2013年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩,按成绩分组,得到的频率分布表如下表所示.
组号
分组
频数
频率
第1组
[160,165)
5
0.050
第2组
[165,170)
①
0.350
第3组
[170,175)
30
②
第4组
[175,180)
20
0.200
第5组
[180,185]
10
0.100
合计
100
1.00
(1)请先求出频率分布表中①、②位置相应数据,再完成下列频率分布直方图;
(2)为了能选拔出最优秀的学生,高校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样的方法抽取6名学生进入第二轮面试,则第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试?
(3)在
(2)的前提下,学校决定在6名学生中随机抽取2名学生接受A考官进行面试,求:
第4组至少有一名学生被考官A面试的概率.
【规范解答】
(1)由题意可知,第2组的频数为0.35×
100=35,第3组的频率为
=0.300,
频率分布直方图如图所示:
(2)因为第3、4、5组共有60名学生,所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生,每组分别为
第3组:
×
6=3人,第4组:
6=2人,第5组:
6=1人.
所以第3、4、5组分别抽取3人、2人、1人.
(3)设第3组的3位同学为A1,A2,A3,第4组的2位同学为B1,B2,第5组的1位同学为C1,
则
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- 样本 估计 总体