学年高中数学北师大版选修12同步学案第三章 2 数学证明Word版含答案Word文档下载推荐.docx
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一般模式
常用格式
大前提
已知的一般原理
M是P
小前提
所研究的特殊情况
S是M
结论
根据一般原理,对特殊情况做出的判断
S是P
类型一 演绎推理与三段论
例1 将下列演绎推理写成三段论的形式.
(1)平行四边形的对角线互相平分,菱形是平行四边形,所以菱形的对角线互相平分;
(2)等腰三角形的两底角相等,∠A,∠B是等腰三角形的两底角,则∠A=∠B;
(3)通项公式为an=2n+3的数列{an}为等差数列.
解
(1)平行四边形的对角线互相平分,大前提
菱形是平行四边形,小前提
菱形的对角线互相平分.结论
(2)等腰三角形的两底角相等,大前提
∠A,∠B是等腰三角形的两底角,小前提
∠A=∠B.结论
(3)在数列{an}中,如果当n≥2时,an-an-1为常数,则{an}为等差数列,大前提
当通项公式为an=2n+3时,若n≥2,
则an-an-1=2n+3-[2(n-1)+3]=2(常数),小前提
通项公式为an=2n+3的数列{an}为等差数列.结论
反思与感悟 用三段论写推理过程时,关键是明确大、小前提,三段论中的大前提提供了一个一般性的原理,小前提指出了一种特殊情况,两个命题结合起来,揭示了一般原理与特殊情况的内在联系.有时可省略小前提,有时甚至也可把大前提与小前提都省略,在寻找大前提时,可找一个使结论成立的充分条件作为大前提.
跟踪训练1
(1)推理:
“①矩形是平行四边形;
②正方形是矩形;
③所以正方形是平行四边形”中的小前提是________.(填序号)
(2)函数y=2x+5的图像是一条直线,用三段论表示为
________________________________________________________________________;
________________________________________________________________________.
答案
(1)②
(2)一次函数y=kx+b(k≠0)的图像是一条直线
函数y=2x+5是一次函数
函数y=2x+5的图像是一条直线
类型二 三段论的应用
例2 如图,D,E,F分别是BC,CA,AB上的点,∠BFD=∠A,DE∥BA,求证:
ED=AF,写出三段论形式的演绎推理.
证明 因为同位角相等,两直线平行,大前提
∠BFD与∠A是同位角,且∠BFD=∠A,小前提
所以FD∥AE.结论
因为两组对边分别平行的四边形是平行四边形,大前提
DE∥BA,且FD∥AE,小前提
所以四边形AFDE为平行四边形.结论
因为平行四边形的对边相等,大前提
ED和AF为平行四边形AFDE的对边,小前提
所以ED=AF.结论
反思与感悟
(1)用“三段论”证明命题的格式
(2)用“三段论”证明命题的步骤
①理清证明命题的一般思路;
②找出每一个结论得出的原因;
③把每个结论的推出过程用“三段论”表示出来.
跟踪训练2 已知:
在空间四边形ABCD中,点E,F分别是AB,AD的中点,如图所示,求证:
EF∥平面BCD.
证明 因为三角形的中位线平行于底边,大前提
点E,F分别是AB,AD的中点,小前提
所以EF∥BD.结论
若平面外一条直线平行于平面内一条直线,则直线与此平面平行,大前提
EF
平面BCD,BD平面BCD,EF∥BD,小前提
所以EF∥平面BCD.结论
例3 设函数f(x)=
,其中a为实数,若f(x)的定义域为R,求实数a的取值范围.
解 若函数对任意实数恒有意义,则函数定义域为R,大前提
因为f(x)的定义域为R,小前提
所以x2+ax+a≠0恒成立.结论
所以Δ=a2-4a<
0,
所以0<
a<
4.
即当0<
4时,f(x)的定义域为R.
引申探究
若例3的条件不变,求f(x)的单调增区间.
解 ∵f′(x)=
,
令f′(x)=0,得x=0或x=2-a.
∵0<
4,∴当0<
2时,2-a>
∴在(-∞,0)和(2-a,+∞)上,f′(x)>
∴f(x)的单调增区间为(-∞,0),(2-a,+∞).
当a=2时,f′(x)≥0恒成立,
∴f(x)的单调增区间为(-∞,+∞).
当2<
4时,2-a<
∴在(-∞,2-a)和(0,+∞)上,f′(x)>
∴f(x)的单调增区间为(-∞,2-a),(0,+∞).
综上所述,当0<
2时,f(x)的单调增区间为(-∞,0),(2-a,+∞);
当a=2时,f(x)的单调增区间为(-∞,+∞);
4时,f(x)的单调增区间为(-∞,2-a),(0,+∞).
跟踪训练3 已知函数f(x)=ax+
(a>
1),证明:
函数f(x)在(-1,+∞)上是增加的.
证明 方法一 (定义法)
任取x1,x2∈(-1,+∞),且x1<
x2,
f(x2)-f(x1)=
+
-
=
.
因为x2-x1>
0,且a>
1,所以
而-1<
x1<
x2,所以x1+1>
0,x2+1>
所以f(x2)-f(x1)>
所以f(x)在(-1,+∞)上是增加的.
方法二 (导数法)
f(x)=ax+
=ax+1-
所以f′(x)=axlna+
因为x>
-1,所以(x+1)2>
0,所以
>
0.
又因为a>
1,所以lna>
0,ax>
所以axlna>
0,所以f′(x)>
故f(x)=ax+
在(-1,+∞)上是增加的.
1.下面几种推理过程是演绎推理的是( )
A.两条直线平行,同旁内角互补,如果∠A与∠B是两条平行直线的同旁内角,则∠A+∠B=180°
B.某校高三1班有55人,2班有54人,3班有52人,由此得高三所有班人数超过50人
C.由平面三角形的性质,推测空间四边形的性质
D.在数列{an}中,a1=1,an=
(n≥2),由此归纳出{an}的通项公式
答案 A
解析 A是演绎推理,B,D是归纳推理,C是类比推理.
2.“因为对数函数y=logax是增函数(大前提),又
是对数函数(小前提),所以
是增函数(结论).”下列说法正确的是( )
A.大前提错误导致结论错误
B.小前提错误导致结论错误
C.推理形式错误导致结论错误
D.大前提和小前提都错误导致结论错误
解析 y=logax是增函数错误,故大前提错误.
3.三段论:
“①只有船准时起航,才能准时到达目的港,②这艘船是准时到达目的港的,③这艘船是准时起航的”,其中的“小前提”是( )
A.①B.②C.①②D.③
答案 D
4.把“函数y=x2+x+1的图像是一条抛物线”恢复成三段论,则大前提:
____________;
____________.
答案 二次函数的图像是一条抛物线 函数y=x2+x+1是二次函数 函数y=x2+x+1的图像是一条抛物线
5.设m为实数,利用三段论证明方程x2-2mx+m-1=0有两个相异实根.
证明 因为如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的判别式Δ=b2-4ac>
那么方程有两个相异实根,大前提
方程x2-2mx+m-1=0的判别式
Δ=(-2m)2-4(m-1)=4m2-4m+4
=(2m-1)2+3>
0,小前提
所以方程x2-2mx+m-1=0有两个相异实根.结论
1.应用三段论解决问题时,应当首先明确什么是大前提和小前提,但为了叙述的简洁,如果前提是显然的,则可以省略.
2.合情推理是由部分到整体,由个别到一般的推理或是由特殊到特殊的推理;
演绎推理是由一般到特殊的推理.
3.合情推理与演绎推理是相辅相成的,数学结论、证明思路等的发现主要靠合情推理;
数学结论、猜想的正确性必须通过演绎推理来证明.
一、选择题
1.《论语·
学路》篇中说:
“名不正,则言不顺;
言不顺,则事不成;
事不成,则礼乐不兴;
礼乐不兴,则刑罚不中;
刑罚不中,则民无所措手足;
所以,名不正,则民无所措手足.”上述推理用的是( )
A.类比推理B.归纳推理
C.演绎推理D.一次三段论
答案 C
2.正弦函数是奇函数,f(x)=sin(x2+1)是正弦函数,因此f(x)=sin(x2+1)是奇函数.以上推理( )
A.结论正确B.大前提不正确
C.小前提不正确D.全不正确
解析 由于函数f(x)=sin(x2+1)不是正弦函数.故小前提不正确.
3.命题“有些有理数是无限循环小数,整数是有理数,所以整数是无限循环小数”是假命题,推理错误的原因是( )
A.使用了归纳推理
B.使用了类比推理
C.使用了“三段论”,但推理形式错误
D.使用了“三段论”,但小前提错误
解析 由“三段论”的推理方式可知,该推理的错误原因是推理形式错误.
4.函数y=xcosx-sinx在下列哪个区间内是增加的( )
A.
B.(π,2π)
C.
D.(2π,3π)
答案 B
解析 y′=-xsinx.当x∈(π,2π)时,y′>
∴y=xcosx-sinx在(π,2π)上是增加的.
5.下面几种推理中是演绎推理的是( )
A.因为y=2x是指数函数,所以函数y=2x经过定点(0,1)
B.猜想数列
,……的通项公式为an=
(n∈N+)
C.由圆x2+y2=r2的面积为πr2,猜想出椭圆
=1的面积为πab
D.由平面直角坐标系中圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,推测空间直角坐标系中,球的方程为(x-a)2+(y-b)2+(z-c)2=r2
6.在R上定义运算⊗:
x⊗y=x(1-y).若不等式(x-a)⊗(x+a)<
1对任意实数x都成立,则( )
A.-1<
1B.0<
2
C.-
<
D.-
解析 由题意知,(x-a)⊗(x+a)=(x-a)[1-(x+a)]=-x2+x+a2-a,
∴-x2+x+a2-a<
1.
即x2-x-a2+a+1>
0对任意实数x都成立,
则Δ=1-4(-a2+a+1)<
∴4a2-4a-3<
0,解得-
<
二、填空题
7.在求函数y=
的定义域时,第一步推理中大前提是“当
有意义时,a≥0”;
小前提“
有意义”;
结论是“
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