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Hausdorff在《集合论纲要》中用“序偶”来定义函数[集合论角度].
Dirichlet:
认为怎样去建立
之间的关系无关紧要,他拓广了函数概念,指出:
“对于在某区间上的每一个确定的
值,
都有一个确定的值,那么
叫做
的函数.”这种函数的定义,避免了以往函数定义中所有的关于依赖关系的描述,简明精确(经典函数定义).
Veblen,1880-1960用“集合”和“对应”的概念给出了近代函数定义,通过集合概念,把函数的对应关系、定义域及值域进一步具体化了,且打破了“变量是数”的限制,变量可以是数,也可以是其它对象.
(二)初高中函数概念的区别与联系
1.初中函数概念:
设在某个变化过程中有两个变量
,如果对于
在某个范围内的每一个值,
都有唯一的值与它对应,我们就说
的函数,
叫自变量,
叫
的函数.
2.高中函数概念:
(1)设A,B是两个非空集合,如果按照某种对应法则f,对A中的任意一个元素x,在B中有一个且仅有一个元素y与x对应,则称f是集合A到集合B的映射.记作
,其中
叫原象,
叫象.
(2)设集合A是一个非空的数集,对A中的任意数x,按照确定的法则f,都有唯一确定的数y与它对应,则这种映射叫做集合A上的一个函数.记作
.
其中x叫做自变量,自变量取值的范围(数集A)叫做这个函数的定义域.所有函数值构成的集合
叫做这个函数的值域.函数的值域由定义域与对应法则完全确定.
(3)函数是一种特殊的映射.其定义域和值域都是非空的数集,值域中的每一个元素都有原象.
构成函数的三要素:
定义城,值域和对应法则,其中定义域和对应法则是核心.
(三)函数在整个数学知识体系中的地位及作用
函数是中学数学最重要的基本概念之一,其核心内涵为从非空数集到非空数集的映射;
函数思想也是整个高中数学最重要的数学思想之一,而函数概念是函数思想的基础;
它不仅对前面学习的集合知识做了巩固和发展,而且它是学好后继知识的基础和工具;
函数与方程、不等式、数列、三角函数、解析几何、导数等内容的联系也非常密切;
函数的基础知识在现实生活、社会、经济及其它学科中有广泛的应用;
函数概念及其反应的数学思想方法已广泛渗透到数学的各个领域,是进一步学习数学的重要基础.
(四)函数的概念与性质结构框图
(五)函数的概念与性质教学重点和难点
教学重点:
1.函数的概念
2.函数的基本性质
3.基本初等函数的图象和性质
教学难点:
1.函数概念的理解
2.对函数的单调性、奇偶性、周期性实质的把握
3.运用基本初等函数的图象和性质解决简单问题
二、函数概念与性质的教学建议:
(一)如何深入把握函数的概念?
1.映射与函数的教学建议:
教学中,由于映射与函数的概念比较抽象,不易把握,故本部分内容宜采用教师引导,师生共同研讨的方式来学习.
在教学中,教师可以类似举如下的例子进行剖析:
例1:
设集合
和
都是自然数集合
.映射
把集合
中的元素
映射到集合
则在映射
作用下,2的象是_______;
20的原象是________.
分析:
由已知,在映射
作用下
的象为
所以,2的象是
;
设象20的原象为
,则
的象为20,即
由于
,
随着
的增大而增大,又
,所以20的原象是4.
这个例子要求学生理解映射的意义,对于给出对应关系的映射会求映射中指定元素的象与原象.能够有效判别学生对映射、象、原象这些概念的把握程度.同时,题目中兼顾对于函数
性质的探究,具有一定的综合程度.
2.函数的定义域问题:
确定函数的定义域是研究函数问题的先决条件,因此对于一个函数问题,首先要明确自变量的取值集合.教学中,教师可通过类似下述问题明确求函数定义域的几类常见问题:
例2:
求下列函数的定义域:
(1)
(2)
(3)
(4)
解:
(1)由
,得
,所以
或
所以,所求函数的定义域为
(2)由
得,
(3)由
得
,且
(4)由
即
所以
所以,所求函数定义域为
例3:
如图,用长为
的铁丝弯成下部为矩形,上部为半圆形的框架,若矩形的底边长为
,求此框架围成的面积
的函数关系式,并指出定义域.
解:
根据题意,
.
弧长为
所以,
根据问题的实际意义.
解
上述求函数定义域问题涵盖了确定函数定义域的两种类型问题.
(1)给出函数解析式求定义域(如例2),这类问题就是求使解析式有意义的自变量的取值范围.正确的解不等式或不等式组在解决这类问题中是重要的.
中学数学中常见的对变量有限制的运算法则有:
①分式中分母不为零;
②偶次方根下被开方数非负;
③零次幂的底数要求不为零;
④对数中的真数大于零,底数大于零且不等于1;
⑤
(2)在实际问题中求函数的定义域(如例3).在这类问题中除了考虑解析式对自变量的限制,还应考虑实际问题对自变量的限制.
另外,在处理函数问题时要有一种随时关注定义域的意识,这是极其重要的.比如在研究函数单调性、奇偶性、最值等问题时,首先要考虑的就是函数的定义域.
3.函数的对应法则问题:
确定函数的对应法则(即求函数的解析式)是有关函数概念中的重要问题,教学中教师可以设置如下相关题组,和学生共同解决.
例4:
(1)已知
,求
的解析式;
(2)已知
的值;
(3)如果
为二次函数,
,并且当
时,
取得最小值
(4)已知函数
与函数
的图象关于直线
对称,求
的解析式.
(1)求函数
的解析式,从映射的角度看就是求对应法则,于是,我们一般有下面两种方法解决
(1)这样的问题.
方法一:
.通过这样“凑型”的方法,我们可以明确看到法则
是“原象对应于原象除以原象的平方减1”.所以,
方法二:
设
则
.则
这样,通过“换元”的方法也可以明确看到法则是什么.
(2)用“凑型”的方法,
.所以
(3)因为
为二次函数,并且当
所以,可设
又
(4)这个问题相当于已知
的图象满足一定的条件,进而求函数
的解析式.所以,可以类比解析几何中求轨迹方程的方法求
的图象上任意一点坐标为
关于
对称点的坐标为
,由已知,点
在函数
的图象上,
所以,点
的坐标
满足
的解析式,即
由于已知条件的不同,求函数的解析式的常见方法有像
(1)
(2)所用到的“凑形”及“换元”的方法;
有像(3)所用到的待定系数法;
也有像(4)所用到的解析法.
值得注意的是(4)中所用的解析法.在求函数解析式或求曲线的轨迹方程时都可以用这种方法,是一种通法.同时也表明函数和它的图象与曲线和它的方程之间有必然的取系.
(二)教学中如何突出函数性质的本质?
函数的性质主要包括函数的单调性、奇偶性、周期性与对称性等,侧重点在于理解与函数性质有关的概念,掌握有关判断、证明的基本方法以及简单的应用.这部分内容常用到数形结合的思想方法.
1.关于基本概念的理解:
(1)设函数
的定义域为
内的任意一个
,都有
,则这个函数叫做奇函数.
设函数
内任意一个
,则这个函数叫做偶函数.
由奇函数定义可知,对于奇函数
,点
与点
都在其图象上.又点
关于原点对称,我们可以得到:
奇函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形;
通过同样的分析可以得到,偶函数的图象是以
轴为对称轴的轴对称图形.
(2)一般地,设函数
,区间
.如果取区间
中的任意两个值
,改变量
当
时,就称函数
在区间
上是增函数;
上是减函数.
如果一个函数在某个区间
上是增函数或是减函数,就说这个函数在这个区间
上具有单调性,区间
称为单调区间.
在单调区间上,增函数的图象是上升的,减函数的图象是下降的.
(3)一般地,对于函数
,如果存在一个不为零的常数
,使得当
取定义域中的每一个值时,
都成立,那么就把函数
叫做周期函数,不为零的常数
叫做这个函数的周期.
(4)一般地,对于函数
都成立,则函数
对称.
这四个概念都比较抽象,建议讲述相关概念时采用数形结合的手段,不断揭示概念的几何背景,进而完善学生对概念的认识.
2.关于函数的奇偶性问题:
对于函数的奇偶性,要求学生会判断及简单应用.教学中可给出如下题组:
判断下列函数的奇偶性.
(2)
(3)
(5)
(1)解
,得到函数的定义域为
,关于原点不对称,
所以此函数为非奇非偶函数.
(2)函数的定义域为
,但是,由于
(3)函数的定义
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