复合函数奇偶性单调性共7页文档格式.docx
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对于
(1),获得f(0)的值进而取x=-y是解题关键;
对于
(2),判定x2x1的范围是焦点.
1x1x2
证明:
(1)由f(x)+f(y)=f(xy),令x=y=0,得f(0)=0,令y=-x,得f(x)+f(-1xy
xx
x)=f
(2)=f(0)=0.∴f(x)=-f(-x).∴f(x)为奇函数.
1x2
(2)先证f(x)在(0,1)上单调递减.
令0<
x1<
x2<
1,则f(x2)-f(x1)=f(x2)-f(-x1)=f(x2x1)
∵0<
1,∴x2-x1>
0,1-x1x2>
0,∴21>
0,
1x2x1
又(x2-x1)-(1-x2x1)=(x2-1)(x1+1)<
∴x2-x1<
1-x2x1,
∴0<
x2x1<
1,由题意知f(x2x1)<
1x2x11x1x2
即f(x2)<
f(x1).
∴f(x)在(0,1)上为减函数,又f(x)为奇函数且f(0)=0.
∴f(x)在(-1,1)上为减函数.
[例2]设函数f(x)是定义在R上的偶函数,并在区间(-∞,0)内单调递增,f(2a2+a+1)<
f(3a2-2a+1).求a的取值范围,并在该范围内求函数y=
(1)a3a1的单调递减区间.
命题意图:
本题主要考查函数奇偶性、单调性的基本应用以及对复合函数单调性的判定方法.本题属于★★★★★级题目.
逆向认识奇偶性、单调性、指数函数的单调性及函数的值域问题.错解分析:
逆向思维受阻、条件认识不清晰、复合函数判定程序紊乱.技巧与方法:
本题属于知识组合题类,关键在于读题过程中对条件的思考与认识,通过本题会解组合题类,掌握审题的一般技巧与方法.
解:
设0<
x2,则-x2<
-x1<
0,∵f(x)在区间(-∞,0)内单调递增,
∴f(-x2)<
f(-x1),∵f(x)为偶函数,∴f(-x2)=f(x2),f(-x1)=f(x1),∴f(x2)<
f(x1).∴f(x)在(0,+∞)内单调递减.
21272122
又2a2a12(a)20,3a22a13(a)20.
4833
由f(2a+a+1)<
f(3a-2a+1)得:
2a+a+1>
3a-2a+1.解之,得0<
a<
3.
又a2-3a+1=(a-3)2-5.
24
∴函数y=
(1)a23a1的单调减区间是[3,+∞]
22
结合0<
3,得函数y=(3)a23a1的单调递减区间为[3,3).
•锦囊妙计
本难点所涉及的问题及解决方法主要有:
(1)判断函数的奇偶性与单调性若为具体函数,严格按照定义判断,注意变换中的等价性.若为抽象函数,在依托定义的基础上,用好赋值法,注意赋值的科学性、
合理性.同时,注意判断与证明、讨论三者的区别,针对所列的“磁场”及“训练”认真体会,用好数与形的统一.
复合函数的奇偶性、单调性.问题的解决关键在于:
既把握复合过程,又掌握基本函数.
(2)加强逆向思维、数形统一.正反结合解决基本应用题目,下一节我们将展开研究奇偶性、单调性的应用.
•歼灭难点训练
一、选择题
1.
(★★★★)下列函数中的奇函数是()
2.(★★★★★)函数f(x)=1xx1的图象()
1x2x1
A.关于x轴对称
C.关于原点对称
B.关于y轴对称
D.关于直线x=1对称
、填空题
3.(★★★★)函数f(x)在R上为增函数,则y=f(|x+1|)的一个单调递减区间是
32
4.(★★★★★)若函数f(x)=ax3+bx2+cx+d满足f(0)=f(x1)=f(x2)=0(0<
x2),
且在[x2,+∞)上单调递增,则b的取值范围是
三、解答题
5.(★★★★)已知函数f(x)=ax+x2(a>
1).x1
(1)证明:
函数f(x)在(-1,+∞)上为增函数.
(2)用反证法证明方程f(x)=0没有负数根.
3
6.(★★★★★)求证函数f(x)=2x2在区间(1,+∞)上是减函数.(x1)
7.(★★★★)设函数f(x)的定义域关于原点对称且满足:
(i)f(x1-x2)=
f(x1)f(x2)1
f(x2)f(x1)
(ii)存在正常数a使f(a)=1.求证:
(1)f(x)是奇函数.
(2)f(x)是周期函数,且有一个周期是4a.
8.(★★★★★)已知函数f(x)的定义域为R,且对m、n∈R,恒有f(m+n)=f(m)+f(n)-1,且
11
f(-1)=0,当x>
-1时,f(x)>
0.
(1)求证:
f(x)是单调递增函数;
(2)试举出具有这种性质的一个函数,并加以验证.
参考答案
难点磁场
(1)解:
依题意,对一切x∈R,有f(x)=f(-x),即eax1x+aex.整理,得(a
aeae
x112(ex-1x)=0.因此,有a-1=0,即a2=1,又a>
0,∴a=1ea
111
(2)证法一:
x2,则f(x1)-f(x2)=ex1ex21x11x2(ex2ex1)(x11x21)e1e2e12
由x1>
0,x2>
x1,∴ex2x11>
0,1-ex1x2<
∴f(x1)-f(x2)<
0,即f(x1)<
f(x2)
∴f(x)在(0,+∞)上是增函数
证法二:
由f(x)=ex+ex,得f′(x)=ex-ex=ex·
(e2x-1).当x∈(0,+∞)时,ex>
0,e2x-1>
此时f′(x)>
0,所以f(x)在[0,+∞)上是增函数.
歼灭难点训练
xx(x0)(xx)(x0)
一、1.解析:
f(-x)=22=-f(x),故
x2x(x0)(x2x)(x0)
f(x)为奇函数.
答案:
C
2.解析:
f(-x)=-f(x),f(x)是奇函数,图象关于原点对称.
二、3.解析:
令t=|x+1|,则t在(-∞,-1]上递减,又y=f(x)在R上单调递增,∴y=f(|x+1|)在(-∞,-1]上递减.
(-∞,-1]
4.解析:
∵f(0)=f(x1)=f(x2)=0,∴f(0)=d=0.f(x)=ax(x-x1)(x-x2)=ax3-a(x1+x2)x2+ax1x2x,
∴b=-a(x1+x2),又f(x)在[x2,+∞)单调递增,故a>
0.又知0<
x,得x1+x2>
∴b=-a(x1+x2)<
(-∞,0)
、5.证明:
(1)设-1<
+∞,则x2-x1>
0,ax2x1>
1且ax1>
∴ax2ax1ax1(ax2x11)>
0,又x1+1>
0,x2+1>
x22x12(x22)(x11)(x12)(x21)3(x2x1)
∴>
x21x11(x11)(x21)(x11)(x21)
于是f(x2)-f(x1)=ax2ax1+x22x12>
x21x11
∴f(x)在(-1,+∞)上为递增函数.
(2)证法一:
设存在x0<
0(x0≠-1)满足f(x0)=0,则ax0x02且由0<
ax0<
x01
1得0<
-x02<
1,即1<
x0<
2与x0<
0矛盾,故f(x)=0没有负数根.
x012
0(x0≠-1)使f(x0)=0,若-1<
x0<
0,则x02<
-2,ax0<
1,∴f(x0)<
-1与f(x0)=0矛盾,若x0<
-1,则x02>
0,ax0>
0,∴f(x0)>
0与f(x0)=0x01
矛盾,故方程f(x)=0没有负数根.
6.
∵x≠0,∴f(x)=22(x21)2x3
7.
∴f(x1)>
f(x2),f(x)在(1,+∞)上是减函数.(本题也可用求导方法解决)
8.证明:
(1)不妨令x=x1-x2,则f(-x)=f(x2-x1)=f(x2)f(x1)1f(x1)f(x2)1
x)=f(x1)f(x2)f(x2)f(x1)
=-f(x1-x2)=-f(x).∴f(x)是奇函数.
(2)要证f(x+4a)=f(x),可先计算f(x+a),f(x+2a).
f(x2a)f[(xa)a]f(xa)1
f(x)11
f(x)1
f(xa)1f(x)11f(x).f(x)11
∴f(x+4a)=f[(x+2a)+2a]==f(x),故f(x)是以4a为周期的周期函数.
f(x2a)
111
9.
(1)证明:
设x1<
x2,则x2-x1->
-,由题意f(x2-x1-)>
222
∵f(x2)-f(x1)=f[(x2-x1)+x1]-f(x1)=f(x2-x1)+f(x1)-1-f(x1)=f(x2-x1)-
1=f(x2-x1)+f(-)-1=f[(x2-x1)-]>
∴f(x)是单调递增函数.
(2)解:
f(x)=2x+1.验证过程略.
2.3函数的单调性学法导引1.熟练掌握增减性的概念.要注意定义中对区间内,的任意性,而不是某两个特殊值,.
2.掌握好证明函数单调性的方法(用定义):
取值——作差——定号——判断.3.熟悉几种基本函数的单调性.
4.掌握好利用函数的单调性来比较数的大小的方法.知识要点精讲
1.增函数、减函数、单调性、单调区间的概念
(1)函数的单调性是函数在定义域内某一区间内的局部性质,而不是整体性质.一是同属于一个单调区间,二是任意性,切不可用两个特殊值代替,三是规定了大小关系.要
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- 复合 函数 奇偶性 调性