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YnXk,n
k1
1,则{Yn,n
链。
答案
、填空题
gn(t);
.EX;
3.
eibtg(at)
4.Y;
是5
gi(t);
6.等价
7.
时间差;
•独立增量过程;
9.
EX(t2)
X(t1)X(t4)
X(t3)
10
X(min{s,t})
11.
t;
t;
12.f(t)
1e1t
f(t)
3)e(123)tt0
』e
n!
t14
15
.24000016
.复合;
17.
714—e
18.2;
19.遍历状态;
20
.齐次马尔科夫链;
二、判断题(每题2分)
1.gi(t)(i1,2,n)是特征函数,
gi(t)不是特征函数。
i1
2.n维正态分布中各分量的相互独立性和不相关性等价。
3.任意随机变量均存在特征函数。
(
4.gi(t)(i1,2,n)是特征函数,
gi(t)是特征函数。
(
5.设X1,X2,X3,X4是零均值的四维高斯分布随机变量,则有
E(X1X2X3X4)E(X1X2)E(X3X4)+E(X1X3)E(X2X4)+E(X1X4)E(X2X3)
6.严平稳过程二阶矩不一定存在,
因而不一定是宽平稳过程。
7.独立增量过程是马尔科夫过程。
8.维纳过程是平稳独立增量过程。
9.非齐次泊松过程是平稳独立增量过程。
10.有限状态空间不可约马氏链的状态均常返。
11.有限齐次马尔科夫链的所有非常返状态集不可能是闭集。
k即为正常返的。
12.有限马尔科夫链,若有状态k使limpi(kn)0,则状态
0,则i非周期。
13.设iS,若存在正整数n,使得p(in)0,p(n1)
14.有限状态空间马氏链必存在常返状态。
15.i是正常返周期的充要条件是limpi(in)不存在。
16.平稳分布唯一存在的充要条件是:
只有一个基本正常返闭集。
17.有限状态空间马氏链不一定存在常返状态。
18.i是正常返周期的充要条件是limpi(in)存在。
(n
20.不可约马氏链或者全为常返态,或者全为非常返态.
二、判断题
1.X
2.V
3
.V
4
.V5.V
6.V
7.
V
8
9
.X
10.V
11
.V
12
13.V
14
16.V
17
.X
18
X
19.V
.V15.V
三、大题
1.(10分)—
易)设
X~B(n,p),
求X的特征函数,并利用其求
EX。
2.(10分)—
中)利用重复抛掷硬币的试验定义一个随机过程,
X(t)
cost,出现正面
2t,出现反面
出现正面和反面的概率相等,求
X(t)的一维分布函数
F(x,1/2)和F(x,1),X(t)的二维
0,其中A与B是相互独立的随机
分布函数F(x1,x2;
1/2,1)。
3.(10分)—(易)设有随机过程X(t)ABt,t变量,均服从标准正态分布,求X(t)的一维和二维分布。
4.(10分)一(易)设随机过程X(t)=Vt+b,t€(0,+0),b为常数,V服从正态分布N(0,1)的随机变量,求X(t)的均值函数和相关函数。
5.(10分)—
易)已知随机过程
X(t)的均值函数mx(t)和协方差函数Bx(t1,t2),g(t)
为普通函数,令
Y(t)=X(t)+g(t)
,求随机过程Y(t)的均值函数和协方差函数。
6.(10分)—
中)设{X(t),t
T}是实正交增量过程,T[0,),X(0)0,是一服
从标准正态
分布的随机变量,若对任一t0,X(t)都与相互独立,求
Y(t)X(t)
t[0,)的协方差函数。
方差矩阵为
2,求Z(t)的协方差函数。
2
(10分)一(难)
设有随机过程{X(t),tT}和常数a,试以X(t)的相关函数表示随
机过程Y(t)X(t
a)X(t),tT的相关函数。
9.(10分)一(易)某商店每日8时开始营业,从8时到11时平均顾客到达率线性增加.在
8时顾客平均到达率为5人/时,11时到达率达到最高峰20人/时,从11时到13时,平均
顾客到达率维持不变,为20人/时,从13时到17时,顾客到达率线性下降,到17时顾客
到达率为12人/时。
假定在不相重叠的时间间隔内到达商店的顾客数是相互独立的,
问在&
30—9:
30间无顾客到达商店的概率是多少在这段时间内到达商店的顾客数学期望是多少
10.(15分)一(难)设到达某商店的顾客组成强度为
的泊松过程,每个顾客购买商品的
概率为P,且与其它顾客是否购买商品无关,求(0,t)内无人购买商品的概率。
11.(15分)一(难)设X1(t)和X2(t)是分别具有参数1和2的相互独立的泊松过程,
证明:
Y(t)是具有参数12的泊松过程。
12.(10分)一(中)设移民到某地区定居的户数是一泊松过程,平均每周有
2户定居.即
2。
如果每户的人口数是随机变量,一户四人的概率为
1/6,一户三人的概率为1/3,
一户两人的概率为1/3,一户一人的概率为1/6,并且每户的人口数是相互独立的,求在五
周内移民到该地区人口的数学期望与方差。
13.(10分)一(难)在时间t内向电话总机呼叫k次的概率为Pt(k)
k
一e,k0,1,2,k!
其中0为常数•如果任意两相邻的时间间隔内的呼叫次数是相互独立的,求在时间
2t
内呼叫n次的概率P2t(n)
14.(10分)一(易)设顾客到某商场的过程是泊松过程,巳知平均每小时有
30人到达,
求下列事件的概率:
两个顾客相继到达的时间间隔超过
2min
15.(15分)一(中)设进入中国上空流星的个数是一泊松过程,平均每年为
10000个.每
个流星能以陨石落于地面的概率为,求一个月内落于中国地面陨石数
EWvarW和P{W
>
2}.
16.(10分)一(易)通过某十字路口的车流是一泊松过程•设
1min内没有车辆通过的概
率为,求2min内有多于一辆车通过的概率。
17.(10分)一(易)设顾客到某商场的过程是泊松过程,巳知平均每小时有
两个顾客相继到达的时间间隔短于
4min
18.(15分)一(中)某刊物邮购部的顾客数是平均速率为
6的泊松过程,
订阅1年、2年
1元手续费;
订
或3年的概率分别为1/2、I/3和1/6,且相互独立.设订一年时,可得
两年时,可得2元手续费;
订三年时,可得
3元手续费.以X(t)记在[0,t]内得到的总手
2个/min,求
(1)在5min内到达顾客数
续费,求EX(t)与varX(t)
19.(10分)一(易)设顾客到达商场的速率为
的平均值;
(2)在5min内到达顾客数的方差;
(3)在5min内至少有一个顾客到达的概率.
20.(10分)一(中)设某设备的使用期限为
10年,在前5年内平均年需要维修一次,后5
年平均2年需维修一次,求在使用期限内只维修过1次的概率.
21.(15分)一(难)设X(t)和丫⑴(t>
0)是强度分别为X和Y的泊松过程,证明:
在
X(t)的任意两个相邻事件之间的时间间隔内,
Y(t)恰好有k个事件发生的概率为
22.(10分)一(中)已知随机游动的转移概率矩阵为
0.5
求三步转移概率矩阵P3)及当初始分布为
P{X01}P{X0
2}0,P{X03}1
时,经三步转移后处于状态
3的概率。
23.(15分)一(难)将2个红球4个白球任意地分别放入甲、乙两个盒子中,每个盒子放
3个,现从每个盒子中各任取一球,交换后放回盒中(甲盒内取出的球放入乙盒中,乙盒内取出的球放入甲盒中),以X(n)表示经过n次交换后甲盒中红球数,则{X(n),n》0}为齐次
马尔可夫链,求
(1)一步转移概率矩阵;
(2)证明:
{X(n),n>
0}是遍历链;
(3)求
limrT,j0,1,2o
24.(10分)一(中)已知本月销售状态的初始分布和转移概率矩阵如下:
PT(0)(0.4,0.2,0.4)
0.8
0.1
0.7
0.2
0.6
求下一、二个月的销售状态分布。
难)设马尔可夫链
的状态
空间
I=
{1,
2,…
,7},
0.4
P0
0.3
25.(15分)—
转移概率矩阵为
求状态的分类及各常返闭集的平稳分布。
26.(15分)一(难)设河流每天的BOD生物耗氧量
)浓度为齐次马尔可夫链,状态空间I={1,
2,3,4}是按BOD浓度为极低,低、中、高分别表示的,
其一步转移概率矩阵
(以一天为单
若BOD^度为高,则称河流处于污染状态。
位)为
(1)证明该链是遍历链;
(2)求该链的平稳分布;
(3)河流再次达到污染的平均时间
4。
27.(10分)—(易)
设马尔可夫链的状态空间
1,2,3},转移概率矩阵为
1/2
1/4
1
I={0,
求状态空间的分解。
28.(15分)—(难)
设马尔可夫链的状态空间为
I={1
,2,3,4}.转移概率矩阵为
讨论limpi(1n)
P
1/3
2/3
29.(10分)—(易)
设马尔可夫链的转移概率矩阵为
P1/2
求其平稳分布。
q,和局的概率为r,且p+q+r=1.设每局比赛胜者记1分,负者记一1分.和局记零分。
当有一人获得2分时比赛结束.以Xn表示比赛至n局时甲获得的分数,则{Xn,n1}是齐次马尔可夫链.
1)写出状态空间I;
(2)求出二步转移概率矩阵;
3)求甲已获1分时,再赛两局可以结束比赛的概率.
31.(10分)—(中)(天气预报问题)设明天是否有雨仅与今天的天气有关,而与过去的
天气无关.又设今天下雨而明天也下雨的概率为
而今天无雨明天有雨的概率为
规
定有雨天气为状态0,无雨天气为状态l。
因此问题是两个状态的马尔可夫链.设
0.7,0.4,求今天有雨且第四天仍有雨的概率.
32.(10分)—
中)设{Xn,n
1}是一个马尔可夫链,其状态空间
I={a,b,c},转移概
率矩阵为
求
(1)P{X1
b,X2c,X3
a,X
3/5
2/5
4c,
X5
6
c,X7
b|X0c}
2)P{Xn
2c|Xnb}
33.(15分)—(难)设马尔可夫链
{Xn,n
0}的状态空间
I={1,
2,…,6},转移概率
矩阵为
试分解此马尔可夫链并求出各状态的周期。
1.解:
引入随机变量Xi
1,2
1分)
i(t)EeitXi
it0
eq
it1
ep
itpeit
3分)
Xi~B(n,p)
4分)
(t)
_itX
Ee
it(Xi)
Eei1
itXi
i1
it\n
(peq)
(6分)
(0)iEX
8分)
EXi(0)
・/it
i(pe
\n
q)
.,it\n1it.
in(peq)pei
np
10分)
2.解:
依题意知硬币出现正反面的概率均为
(1)当t=1/2
时,X(1/2)的分布列为P
x
(1)
0PX
(1)1
其分布函数为
11
F(2;
x)2
同理,当t=1
时X
(1)的分布列为
F(1;
x)-
3分)
X
(1)
PX
(1)2
5分)
(2)由于在不同时刻投币是相互独立的,故在
t=1/2,t=1
时的联合分布列为
PX
(1)
0,
0,X
(1)
PX(-)
1,
X
(2)
1,X
(1)
故联合分布函数为
X1
or
1and
X2
F(2,1;
X1,X2)
3.解:
对于任意固定的
orx1
1and1
1andX2
t€T,
X(t)是正态随机变量,故
E[X(t)]E(A)E(B)t0
D[X(t)]D(A)D(B)t21t2
所以X(t)服从正态分布N(0,1t2)
其次任意固定的t1,t2T,X(t1)ABt1,X(t2)ABt2
则依n维正态随机向量的性质,X(t1),X(t2)服从二维正态分布,且
E[X(t1)]E[X(t2)]0
D[X(t1)]1t12D[X(t2)]1t22
Cov(X(t1),X(t2))E[X(t1)X(t2)]1t1t2
1t21
所以二维分布是数学期望向量为(0,0),协方差为1
1t1t21
t1t22的二维正态分布。
t2
X(t)Vt
b,V
~
N(0,1),
故X(t)服从正态分布,
EX(t)
EVt
b
tEV
bb
DX(t)
DVt
t2DV
4.解:
m(t)EX(t)b
均值函数为
相关函数为
R(t1,t2)EX(t1)X(t1)
EVt1
bVt2b
EV2t1t2V(t1t2)b
b2t1t2b2
5.解:
mY(t)EY(t)E[X(t)g(t)]mX(t)g(t)
BY(t1,t2)RY(t1,t2)mY(t1)mY(t2)
EY(t1)Y(t2)mY(t1)mY(t2)
g(t2)]
E[X(t1)g(t1)][X(t2)g(t2)][mX(t1)g(t1)][mX(t2)
RX(t1,t2)mX(t1)mX(t2)BX(t1,t2)
6.解:
因为{X(t),tT}是实正交增量过程,故E[X(t)]0
E[Y(t)]E[X(t)]E0
Cov[Y(s),Y(t)]
E[Y(s)Y(t)]
E{[X(s)
E[X(s)X(t)]
E[X(s)
Cov[X(s),X(t)]1••…
X2(min{s,t})
1
利用数学期望的性质可得,
CZ(s,t)E(X
Ys)(X
Ys)(X
E(X
X)(Ys
E(X
X)2E(X
X)t(Y
X)s(Y
DX
(st)Cov(X,Y)stDY
12(st)
st22
又因为t0,X(t)都与相互独立
Yt)(
Y)
7.解:
X)
][X(t)]}
6分)
8.解:
RY(t1,t2)E{[X(t1a)
E[X(t1a)X(t2a)]E[X(t1
RX(t1a,t2a)RX(t1
9.解:
根据题意知顾客的到达率为
55t
202(t
5)5
mX(1.5)mX(0.5)
P{X(1.5)X(0.5)
]E[X(t)]E2
XYt)
(YtYt)
Est(Y
Y)2
2分)
X(t1)][X(t2a)X(t2)]}
a)X(t2)]E[X(t1)X(t2
2分)
a)]E[X(t1)X(t2)]
a,t2)RX(t1,t2a)RX(t1,t2)
1.5
0.5(5
5t)dt
0}e
1第i个顾客购物
0第i个顾客不购物
则由题意知
i独立同分布.且与
X(t)独立
P(i
1)
p,
P(
i0)1p
因此,Y(t)
i是复合泊松过程,
t)内购买商品的顾客数,
由题意求
P{Y(t)
0}
pi
i0,X(t)k
PX(t)
(10分)
(t)k
e
0k!
(qt)k
e
teqtept
P{Y(t
)
Y(t)
n}
P{X1(t
X2(t
)X1(t)
X2(t)
X1(t)
X2(t)
11.证明:
(15分)
p{X1(t
i0
i,
X2(t)ni}
(5分)
i}
P{X2(t
2)ni
(ni)!
e(12)
[(
2)]nn!
n0,1,2
故Y(t)是具有参数1
2的泊松过程
(15
分)
12.解:
设N(t)为在时间[0,t]内的移民户数,其是强度为
2的泊松过程,Yi表示每户的
N(t)
人数,则在[0,t]内的移民人数X(t)Yi是一个复合泊松过程。
Yi是独立同分布的随机变量,其分布为
EYi15
EYi243
mx(5)EN(5)
EY125
25
7分)
x(5)DN(5)EY1
43215
63
13.解:
以A记时间2t内呼叫n次的事件,
记第一时间间隔内呼叫为Hk,则P(Hk)
Pt(k),
第二时间间隔内P(A|Hk)Pt(n
k)成立,于是
P2t(n)Pt(k)R(n
k0
k)
k0k!
nk
(nk)!
(4分)
e2n
k0k!
Ck
Cn
Yi
14.解:
由题意,顾客到达数N(t)
是强度为
的泊松过程,则顾客到达的时间间隔{Xn,n1}
52n!
服从参数为的指数分布,
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