重积分及其计算和多重积分Word下载.docx
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12
三、三重积分的计算
方法同二重积分一样,我们这里给出三重积分的计算方法,理论上的证明读者自己完成
1.利用直角坐标系计算三重积分
先给一个结论.
定理12.14若函数fx,y,z
是长方体V=[a,b]x[c,d]x[e,h]上的可积,记D=[c,d]x[e,h],
也存在,且fx,y,zdV
b
dxfx,y,zdydz
aD
bd
dx
ac
h
dyfx,y,zdz.
e
对任意x€[a,b],二重积分
这时右边称为三次积分或累次积分,即三重积分化为三次积分证明分别中[a,b],[c,d],[e,h]插入若干个分点
ax0x1x2
Xnb;
cyoyiy2
ym
eZoZiZ2Zsh
作平面xXj,yyj,zZk,(i=0,1,2,…,n;
ji=0,1,2,…,m;
k=0,1,2,…,s,)得到V的一个分
划P.令Vijk[Xi1,Xi][yj1,yj][Zk1,Zk],(i=1,2,…,n;
ji=1,2,-,m;
k=1,2,…,s,),Mjk,mOk分别是fx,y,z在v*上的上,下确界•那么在Djk[yj1,yj][Zk1,Zk]上有
mjkyjZkf(i,y,z)dydzM咏yjZk
Djk
其中△Xi,=X-Xi-i,△yj,=yj-yj-1,△zk,=zk-zk-i,(i=1,2,…,n;
ji=1,2,…,m;
k=1,2,…,s,).
f(i,y,z)dydzf(i,y,z)dydz1(J
j,kDjkD
mijkXiyjZkI(i)XiMjkXiyjZk
i,j,ki1i,j,k
若函数fx,y,z在V上的可积,那么fx,y,zdVdzfx,y,zdxdy.
VeDz
设函
F面给出一般三重积分的具体计算方法,理论证明读者可参照二重积分自己完成.
图12-4-2
.V=矽
Jz
数f(x,y,z)在有界闭区域上连
续,我们先讨论一种比较特殊的情况.{xy,z|x,yD,Z|x,yzz>
x,y},其中
Dxy为在xoy平面上的投影,且Dxy{x,y|axb,ydx)yy2x}.如图12.
我们现在z轴上做积分,暂时将x,y看成是常数•把函数fx,y,z看作是z的函数,
将它在区间[乙x,y,Z2x,y]上积分得到
zx,y
fx,y,zdz.
Zix,y
显然这个结果是x,y的函数,再把这个结果在平面区域Dxy上做二重积分
Z2x,y
fx,y,zdzdxdy.
Dxy
Dxy可以用不等式
在利用二重积分的计算公式便可以得到所要的结果•若平面区域
axb,yixyy?
x表示,则
by2xZ2x,y
fx,y,zdVdxdyfx,y,zdz.
yixZix,y
a
这个公式也将三重积分化为了三次积分.
如果积分区域是其他的情形,可以用类似的方法计算.
例1计算三重积分xdV,其中是由三个坐标面和平面xyz1所围的立体区
域.
解积分区域如图所示,可以用不等式表示为
0x1,0
y1
x,0
z
1xy,
1M
所以积分可以化为
1/
-bV+—1
11
x1
xy
x
xdVdx
00
dy
J0
xdz
X
/1
xydy
1丫
11,
2
/
-x1
02
1
AJf
图12-4-3
14
13
-x
—x
—
8
3
4
24
四、三重积分的积分变换
和二重积分的积分变换一样,有如下的结果:
定理12.15设V是uvw空间R3中的有界可求体积的闭区域,T:
x=x(u,v,w),y=y(u,v,w),
z=z(u,v,w),是V到xyz空间R3中的一一映射,它们有一阶连续偏导数,并且
uvzy_yyuvzzzz
如果f(x,y,z)是T(V)上的可积函数,那么
在R3中有两种重要的变换柱面坐标和球面坐标
1.利用柱面坐标计算三重积分
前面我们可以看到,由于积分区域与被积函数的特点,二重积分可以用极坐标来计算.同
样对于三重积分可以用柱面坐标和球面坐标计算•我们先讨论用柱面坐标来计算三重积分.
设空间中有一点Mx,y,z,其在坐标面xoy上的投影点M'
的极坐标为r,,这样
三个数乙r,就称为点M的柱面坐标(如图12-4-4).
这里规定三个变量的变化范围是
0r
注意到,当r常数时,表示以z轴为中心轴的一个柱面.
当=常数时,表示通过z轴,与平面xoy的夹角为的半平面.
当z常数时,表示平行于平面xoy,与平面xoy距离为z的平面.
空间的点的直角坐标与柱面坐标之间的关系
即是
R3到R3的映射
rcos
y
rsin.
zz
(x,y,z)
cos
rsin
所以其
崖Jacobi为-
sin
r,
(r,,z)
故容易得到:
如果f(x,y,z)是R3中的有界可求体积的闭区域V上的可积函数,则
fx,y,zdVfrcos,rsin,zrdrddz,
VV
其中,变换前后区域都用V表示.
我们也可以从几何直观的意义来描述这个公式的由来
用三组坐标面rCi,Ci,zC3将积分区域划分为若干个小区域,考虑其中有代
表性的区域,如图12-4-5所示的区域可以看成是由底面圆半径为r和rdr两个圆柱面,极
角为和d的两个半平面,以及高度为z和zdz的两个平面所围成的.它可以近似的看作一个柱体,其底面的面积为rdrd,高为dz.所以其体积为柱面坐标下的体积元素,
即
dVrdrddz.
再利用两种坐标系之间的关系,可以得到
fx,y,zdVfrcos,rsin,zrdrddz.
在柱面坐标下的三重积分的计算也是化为三次积分.
例2计算三重积分x2y2dV,其中是由椭圆抛物面z4x2y2和平面
z4所围成的区域.
解如图所示,积分区域
在坐标面xoy上的投影是一个圆心在原点的单位圆.所
角.为向量0M与z轴的夹角.如图12-4-7.规定三个变量的变化范围是
由一般的重积分变换公式容易得到:
fx,y,zdVfrsincos,rsinsin,rcosrsindrdd,
用几何直观的意义可以如下理解:
已知f(x,y,z)闭区域V上的可积函数.
用三组坐标r常数,常数,常数,将积分区域V划分为若干个小的区域.考
虑其中有代表性的区域,此小区域可以看成是有半径为r和rdr的球面,极角为和
d的半平面,与中心轴夹角为和d的锥面所围成,它可以近似的看作边长分别
是dr,rd,rsind的小长方体,从而得到球面坐标系下的体积元素为
dVrsindrdd.
再由直角坐标系与球面坐标之间的关系,可以得到下面的公式
fx,y,zdVfrsincos,rsinsin,rcosrsindrdd
围成的区域.
解在球面坐标下,积分区域可以表示为
{0ra,0,0}
所以
x2y2dVr2sin2r2sindrdd
d
4・3
rsindr
15
・3
rd
50
5
45
30
15
与二重积分,三重积分一样可以定义一般n重积分•我们这里只是简单介绍.
当V是Rn中的有界闭区域.依照可求面积的方法定义V的可求“体积”或可测(略).设
f(X1,X2,,…,xn,)是Rn中的有界可测闭区域V上的函数,任取V的分划P,,即把分成若干个
可测小区域V1,V2,,Vm,它们的”体积”或测度分别记为VV2,,Vm,当令
f(xi,X2,,…,xn,)在V上的n重积分,记为
f(Xi,X2,,Xn)dV或
特别当V=[ai,bi]x[a2,b2]x-x[an,bn]时,
f(Xi,X2,,Xn)dXidX2dXn.
f(Xi,X2,,Xn)dXidX2dXn
bib2bn
dXidX2f(Xi,X2,,Xn)dXn.
aia2an
nn
若V上有一一映射T
XiXi(Ui,U2,
Un)
T:
X2X2(Ui,U2,
Un),其每个分量的函数有连续偏导数,
XnXn(Ui,U2,
当V是有界可测区域,
f(xi,X2,,…,xn,)在T(V)上可积,并且Jacobi
那么
Un),,Xn(Ui,U2,
Un))
T(V)
f(Xi(Ui,U2,,Un),X2(Ui,U2,
(Xi,X2,—,Xn)dUidU2dUn
(Ui,U2,,Un)
特别是Rn中的球坐标变换
x1rcos1,x2rsin1cos
2,X3
rsin1sin
2cos
xn1rsin1sin
2sin3
n2cosn1,
xnrsin
1sin
sinn
2sinn1,
在Rn中,0r
01
2,3
n2
0n1
2.
这时的Jacobi是
X1
r
n1
(X1,X2,,Xn)
X2
n1・n2
・n
(r,1,,n1)
Xn
3,
同样可以得到相应的公式
4求
X12
dX1dx2
dXn.
Xn2R2
用球坐标.这时,0
R,0
0
R2
dXn
R
drd
从而有
Rn
其中
dx1dx2dxn
R2m
m!
2R2m1
(2m1)!
sinn2dn1
xdx,k
1,2,
n
2m
(2)m
习题12-4
1•设有物体占有空间V:
0<
xw1,Owyw1,OWzw1,在点
x,y,z的密度是
x,y,z
xyz,求该物质量.
2.计算
xy2z3dxdydz,其中V是曲面zxy与平面y
x,xa和z0所围成的闭
区域.
3.计算
严爲,其中V是平面X
o,y
0,z0,xyz1所围成的
四面体.
4.计算
xyzdxdydz,其中V是球面x
z1及坐标面所围成的第一卦限内的
闭区域.
5.计算
xyzdxdydz,其中V是平面x
0,z
y,y1以及抛物柱面yx2所围成的
6.
计算
zdxdydz,其中V是曲面z
x2y2及z
X2y2所围成的闭区域.
7.
(x2
y2)dv,其中V是x2
2z及平面z
2所围成的闭区域.
8.
y2z2)dv,其中
V是球面
z2
1所围成的闭区域.
9.
zdv,其中V是由不等式
x2
a2
z2所围成的闭
10.用三重积分计算下面所围体的体积
(1)
22j
z6xy及z,x
2az及x
z(含z轴部分)
11.计算
2yb2
勺dv,V:
c
12.计算
(笃
V&
—)dx1dx2an
dXn,V:
◎
Xn1
21.an
13计算
(X1X2
xn)dx1dx2dxn,
V:
xi0,(i1,2,,n),x1
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