届湖南省衡阳市高三下学期一模数学试题解析.docx
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届湖南省衡阳市高三下学期一模数学试题解析
2022届湖南省衡阳市高三下学期一模数学试题
一、单选题
1.集合
( )
A.RB.
C.
D.
答案:
B
【分析】利用正弦函数的值域可得正确的选项.
解:
,
故选:
B.
2.若曲线
在点
处的切线与直线
平行,则
( )
A.
B.1C.
D.2
答案:
C
【分析】利用导数的几何意义,结合平行线的性质进行求解即可.
解:
由
,显然
在曲线
上,
所以曲线
在点
处的切线的斜率为
,
因此切线方程为:
,
直线
的斜率为
,
因为曲线
在点
处的切线与直线
平行,
所以
,
故选:
C
3.已知
,则
( )
A.
B.
C.
D.
答案:
A
【分析】利用二倍角公式代入计算.
解:
因为
,所以
,从而得
.
故选:
A
4.2021年10月16日0时23分,搭载神舟十三号载人飞船的长征二号F遥十三运载火箭,在酒泉卫星发射中心按照预定时间精准点火发射,顺利将翟志刚、王亚平,叶光富3名航天员送入太空,飞行乘组状态良好,发射取得圆满成功,火箭在发射时会产生巨大的噪音,已知声音的声强级
(单位:
)与声强x(单位:
)满足
.若人交谈时的声强级约为
,且火箭发射时的声强与人交谈时的声强的比值约为
,则火箭发射时的声强级约为( )
A.
B.
C.
D.
答案:
B
【分析】运用所给的公式,结合对数的运算性质进行求解即可.
解:
当人交谈时的声强级约为
,
,
即人交谈时的声强为
,因为火箭发射时的声强与人交谈时的声强的比值约为
,
所以火箭发射时的声强为:
,
因此火箭发射时的声强级为
,
故选:
B
5.已如函数
,则( )
A.
B.
C.
D.
答案:
D
【分析】根据函数的奇偶性以及单调性进行判断即可.
解:
由题
,所以
是奇函数,所以
,故A,B错误,
又因为
,且
,即
,解得
,
根据单调性的结论可知
为
上的单调递增函数,所有当
,
,当
,
;
所以
,C错误,
,D正确.
故选:
D
6.2022年2月4日,中国北京第24届奥林匹克冬季运动会开幕式以二十四节气的方式开始倒计时创意新颖,惊破了全球观众,衡阳市某中学力了弘扬我国二十四节气文化,特制作出“立春”、“惊蛰”、“清明”、“立夏”、“芒种”、“小暑”六张知识展板分别放置在六个并排的文化橱窗里,要求“立春”和“惊蛰”两块展板相邻,且“清明”与“惊蛰”两块展板不相邻,则不同的放置方式有多少种?
( )
A.192B.240C.120D.288
答案:
A
【分析】先用捆绑法得到,只有“立春”和“惊蛰”相邻的情况,再减去“清明”和“惊蛰”不相邻的情况即可.
解:
由题,只考虑“立春”和“惊蛰”时,利用捆绑法得到
当“立春”和“惊蛰”和“清明”均相邻时,只有2种排法,即“惊蛰”在中间,“立春”“清明”分布两侧,此时再用捆绑法,将三者捆在一起即
,
所以最终满足题意的排法为240-48=192.
故选:
A
7.设抛物线
的焦点为F,点P为C上的任意点,若点A使得
的最小值为4,则下列选项中,符合题意的点A可为( )
A.
B.
C.
D.
答案:
C
【分析】根据抛物线的性质,结合选项逐一判断即可.
解:
抛物线的准线方程为:
,焦点坐标为:
,
A:
因为
在抛物线内部,而
到准线的距离为:
,
所以
的最小值为
,不符合题意;
B:
因为
在抛物线上,所以
的最小值就是
,不符合题意;
C:
因为
在抛物线内部,
到准线的距离为:
,
所以
的最小值为
,符合题意,
D:
因为
在抛物线外部:
所以
的最小值就是
,不符合题意,
故选:
C
8.在正方体
中,点P满足
,且
,若二面角
的大小为
,O为
的中心,则
( )
A.
B.
C.
D.
答案:
D
【分析】设正方体中心为
,先根据条件得
平面
,所以作
于Q,连
,通过证明
面
可得
即为
的平面角,接下来在
和
中计算即可.
解:
设正方体中心为
,
因为点P满足
,且
所以
平面
,
平面
平面
,
由正方体性质
平面
,且
平面
,
所以作
于Q,连
,
面
,
则
即为
的平面角,所以
.
设正方体棱长为1,
中,
,
则
在
中,
,
所以
.
故选:
D.
二、多选题
9.复数
,则下列选项一定正确的是( )
A.
B.
C.
D.
答案:
AC
【分析】根据共轭复数的定义,结合复数的四则运算法则逐一判断即可.
解:
因为
,所以
.
A:
因为
,
,所以
,因此本选项正确;
B:
因为
,
,所以
,因此本选项不正确;
C:
因为
,
,所以
,因此本选项正确;
D:
因为
,
所以
,因此本选项不正确,
故选:
AC
10.下列选项中,与“
”互为充要条件的是( )
A.
B.
C.
D.
答案:
BC
【分析】先求出
的范围,再逐项求出对应的范围,从而可得正确的选项.
解:
的解为
,
对于A,因为
为
的真子集,故A不符合;
对于B,因为
等价于
,其范围也是
,故B符合;
对于C,
即为
,其解为
,故C符合;
对于D,
即
,其解为
,
为
的真子集,故D不符合,
故选:
BC.
11.已知双曲线
的左焦点为F,过点F作C的一条渐近线的平行线交C于点A,交另一条渐近线于点B.若
,则下列说法正确的是( )
A.双曲线C的渐近线方程为
B.双曲线C的离心率为
C.点A到两渐近线的距离的乘积为
D.O为坐标原点,则
答案:
BCD
【分析】根据共线向量的性质,结合双曲线的渐近线方程、离心率公式逐一判断即可.
解:
双曲线的渐近线方程为
,
不妨设过点F的直线与直线
平行,交于C于点A.
对于A:
设双曲线半焦距为c,
过点F与直线
平行的直线的方程为
,与
联立,解得
,由
,设
,所以
,
可得
,依题:
,得
,故渐近线方程为
,A错误;
对于B:
由
可得
,B正确;
对于C:
A到两渐近线距离的乘积
,C正确
对于D:
故
,
故
,所以D正确.
故选:
BCD
关键点睛:
求出
两点坐标是解题的关键.
12.数列
满足,
,则( )
A.数列
可能为常数列B.当
时,数列
前10项之和为
C.当
时,
的最小值为
D.若数列
为递增数列,则
答案:
ABD
【分析】利用构造数列法可得数列
为等差数列,写出通项公式,从而判断每个选项.
解:
A.由
,得
,当
时,
,为常数列;
B.
,故
为等差数列,
时,
的前10项和为
;
C.由B知,
时,
,故
,数列
的最小值为
;
D.
,故
,当
递增时,有
.
故选:
ABD
求解本题的关键是通过构造数列法,证明得数列
为等差数列,从而写出通项公式,再判断每个选项.
三、填空题
13.已知
,若
,则
________.
答案:
2.5
【分析】利用数量积为零可求
,从而可求
.
解:
因为
,故
,故
,
故
,
故答案为:
14.已知
,则
_________.
答案:
3
【分析】利用基本不等式求得
,从而可得
,求解出
值,代入即可得
值.
解:
因为
,当且仅当
时取等号,所以
,即
,得
,所以
,即
,所以
.
故答案为:
15.已知点
,点P在圆
上,则直线
倾斜角的最大值为________.
答案:
【分析】根据圆的切线性质进行求解即可.
解:
设直线
的斜率为
,倾斜角为
,方程为:
,
当直线
是圆
的切线时,
有
或
,所以有
,即
,
直线
倾斜角的最大值
,
故答案为:
四、双空题
16.已知函数
,写出函数
的一个单调递增区间________;当
时,函数
的值域为
,则a的取值范围是_______.
答案:
【分析】分
和
讨论去绝对值符号,再根据正弦函数的单调性和最值分析结合题意即可得出答案.
解:
解:
当
时,
,
当
时,
,
令
,则
,
所以函数
的一个单调递增区间为
,
,
则函数
在
上递增,在
上递减,
则当
时,
,且
,
令
,则
,
所以函数
在
上递增,此时
令
,则
,
所以函数
在
上递减,
当
时,令
,则
,
因为当
时,函数
的值域为
,
所以
.
故答案为:
(答案不唯一);
.
五、解答题
17.在
中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知
.
(1)求
中的最大值;
(2)求
边上的中线长.
答案:
(1)最大值为
(2)
【分析】
(1)先判断
为最大,再根据余弦定理可求其余弦值,从而可求其正弦值.
(2)由
可得求中线长.
(1)
,故有
,
由余弦定理可得
,
又
,
,故
.
(2)
设
边上的中线为
,则
,
,
,即
边上的中线长为
.
18.已知数列
的前n项和为
,
.
(1)证明:
数列
为等比数列;
(2)记数列
的前n项和为
,证明:
.
答案:
(1)证明见解析;
(2)证明见解析.
【分析】
(1)根据通项公式和前n项和公式的关系证明
为常数即可;
(2)由
(1)知
,故
即可证.
(1)
,
,∴
,
故数列
为等比数列,首项为
,公比为2;
(2)
由
(1)可知
,∴
,
.
19.如图,正四面体
,E为
的中点.
(1)证明:
平面
平面
;
(2)若
,求
与平面
所成角的正弦值.
答案:
(1)证明见解析
(2)
【分析】
(1)利用平面和平面垂直的判定定理即可证明;
(2)将正四面体放进正方体中,建立空间直角坐标系,利用空间向量的方法求解即可.
(1)
证明:
∵
为正四面体,∴△
,△
均为正三角形,
∴
,又∵
,∴
平面
,
又∵
平面
∴平面
平面
;
(2)
把此正四面体放于棱长为
正方体中,并建立空间直角坐标系如图所示:
∵
,∴
,
又∵
∴
平面
的一个法向量为
,
则
,令
,则
,即
∴
,
设所求角为
,则
.
20.甲、乙运动员进行乒乓球友谊赛,每场比赛采用5局3胜制(即有一运动员先胜3局即获胜,比赛结束).比赛排名采用积分制,积分规则如下:
比赛中,以3:
0或3:
1取胜的运动员积3分,负者积0分,以3:
2取胜的运动员积2分,负者积1分,已知甲、乙两人比赛,甲每局获胜的概率为
.
(1)甲、乙两人比赛1场后,求甲的积分
的概率分布列和数学期望;
(2)甲、乙两人比赛2场后,求两人积分相等的概率.
答案:
(1)分布列见解析,数学期望为
;
(2)
.
【分析】
(1)根据题意知X的可能取值为0,1,2,3﹒X=0时,乙以3:
0或3:
1
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