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(3)如图3,把△DEC绕点C顺时针旋转45°
,BE、CD交于点G.若∠DCF=30°
,求及的值.
4.(上海模拟)如图,∠ACB=90°
,CD是∠ACB的平分线,点P在CD上,CP=.将三角板的直角顶点放置在点P处,绕着点P旋转,三角板的一条直角边与射线CB交于点E,另一条直角边与直线CA、直线CB分别交于点F、点G.
(1)当点F在射线CA上时
①求证:
PF=PE.
②设CF=x,EG=y,求y与x的函数解析式并写出函数的定义域.
(2)连接EF,当△CEF与△EGP相似时,求EG的长.
E
5.(上海模拟)已知△ABC中,AB=AC,BC=6,sinB=.点P从点B出发沿射线BA移动,同时点Q从点C出发沿线段AC的延长线移动,点P、Q移动的速度相同,PQ与直线BC相交于点D.
(1)如图①,当点P为AB的中点时,求CD的长;
(2)如图②,过点P作直线BC的垂线,垂足为E,当点P、Q在移动的过程中,线段BE、DE、CD中是否存在长度保持不变的线段?
请说明理由;
(3)如图③,当PQ经过△ABC的重心G时,求BP的长.
图①
6.(上海模拟)如图,三角形纸片ABC中,∠C=90°
,AC=4,BC=3.将纸片折叠,使点B落在AC边上的点D处,折痕与BC、AB分别交于点E、F.
(1)设BE=x,DC=y,求y关于x的函数关系式,并确定自变量x的取值范围;
(2)当△ADF是直角三角形时,求BE的长;
(3)当△ADF是等腰三角形时,求BE的长
(4)过C、D、E三点的圆能否与AB边相切?
若能,求BE的长;
若不能,说明理由.
C
F
7.(上海模拟)如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°
,AB=6,AC=8,AD⊥BC于D,点E、F分别是AB边和AC边上的动点,且∠EDF=90°
,连接EF.
(1)求的值;
(2)设AE的长为x,△DEF的面积为S,求S关于x的函数关系式;
(3)设直线DF与直线AB相交于点G,△EFG能否成为等腰三角形?
若能,求AE的长;
若不能,请说明理由.
8.(上海模拟)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°
,AC=4,BC=5,D是BC边上一点,CD=3,P是AC边上一动点(不与A、C重合),过点P作PE∥BC交AD于点E.
(1)设AP=x,DE=y,求y关于x的函数关系式;
(2)以PE为半径的⊙E与以DB为半径的⊙D能否相切?
若能,求tan∠DPE的值;
若不能,请说明理由;
(3)将△ABD沿直线AD翻折,得到△AB′D,连接B′C,当∠ACE=∠BCB′时,求AP的长.
9.(上海模拟)已知Rt△ABC中,∠ACB=90°
,点P是边AB上的一个动点,连接CP,过点B作BD⊥CP,垂足为点D.
(1)如图1,当CP经过△ABC的重心时,求证:
△BCD∽△ABC;
(2)如图2,若BC=2厘米,cotA=2,点P从点A向点B运动(不与点A、B重合),点P的速度是厘米/秒,设点P运动的时间为t秒,△BCD的面积为S平方厘米,求S关于t的函数解析式,并写出自变量t的取值范围;
(3)在
(2)的条件下,若△PBC是以CP为腰的等腰三角形,求△BCD的面积.
10.(上海模拟)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°
,CE是斜边AB上的中线,AB=10,tanA=.点P是CE延长线上的一动点,过点P作PQ⊥CB,交CB延长线于点Q.设EP=x,BQ=y.
(1)求y关于x的函数关系式及定义域;
(2)连接PB,当PB平分∠CPQ时,求∠PE的长;
(3)过点B作BF⊥AB交PQ于F,当△BEF和△QBF相似时,求x的值.
11.(上海模拟)如图1,在Rt△AOC中,AO⊥OC,点B在OC边上,OB=6,BC=12,∠ABO+∠C=90°
,动点M和N分别在线段AB和AC边上.
△AOB∽△COA,并求cosC的值;
(2)当AM=4时,△AMN与△ABC相似,求△AMN与△ABC的面积之比;
(3)如图2,当MN∥BC时,以MN所在直线为对称轴将△AMN作轴对称变换得△EMN.设MN=x,△EMN与四边形BCNM重叠部分的面积为y,求y关于x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围.
12.(上海模拟)把两块边长为4的等边三角板ABC和DEF如图1放置,使三角板DEF的顶点D与三角板ABC的AC边的中点重合,DF经过点B,射线DE与射线AB相交于点M.把三角板ABC固定不动,将三角板DEF绕点D按逆时针方向旋转,设旋转角为α,其中0°
,射线DF与线段BC相交于点Q(如图2).
(1)当0°
<α<60°
时,求AM·
CN的值;
(2)当0°
时,设AM=x,两块三角板重叠部分的面积为y,求y与x的函数关系式并确定自变量x的取值范围;
(3)当BM=2时,求两块三角板重叠部分的面积.
N
13.(上海模拟)如图,在△ABC中,∠ACB=90°
,∠A=60°
,AC=2,CD⊥AB,垂足为点D,点E、F分别在边AC、BC上,且∠EDF=60°
.设AE=x,BF=y.
(1)求y关于x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;
(2)当△BDF是等腰三角形时,求x的值;
(3)以DF为直径的圆能否与AC相切?
如果能,求tan∠AED的值;
如果不能,请说明理由.
14.(上海模拟)如图,P是线段AB上任意一点(不与点A、B重合),分别以AP、BP为边,在AB的同侧作等边△APD和等边△BPC,连接BD与PC交于点E,连接CD.
(1)当BC⊥CD时,试求∠DBC的正切值;
(2)若线段CD是线段DE和DB的比例中项,试求此时的值;
(3)记四边形ABCD的面积为S,当P在线段AB上运动时,S与BD2是否成正比例?
若成正比例,试求出比例系数;
若不成正比例,请说明理由.
H
15.(上海模拟)如图,在△ABC中,AB=AC=5,BC=6,D是AC边的中点,E是BC边上一动点(不与端点重合),EF∥BD交AC于F,交AB延长线于G,H是BC延长线上的点,且CH=BE,连接FH.设BE=x,CF=y.
(1)求y关于x的函数关系式;
(2)连接AE,当以GE为半径的⊙G和以FH为半径的⊙F相切时,求tan∠BAE的值;
(3)当△BEG与△FCH相似时,求BE的长.
16.(上海模拟)如图,△ABC中,∠ABC=90°
,AB=BC=4,点O为AB边的中点,点M是BC边上一动点(不与点B、C重合),AD⊥AB,垂足为点A.连接MO,将△BOM沿直线MO翻折,点B落在点B1处,直线MB1与AC、AD分别交于点F、N.
(1)当∠CMF=120°
时,求BM的长;
(2)设BM=x,y=,求y关于x的函数关系式。
并写出自变量x的取值范围;
B1
(3)连接NO,与AC边交于点E,当△FMC∽△AEO时,求BM的长.
17.(上海模拟)如图,在△ABC中,AB=AC=10,cosB=,点D在射线AB上,DE∥BC交射线AC于点E,点F在AE的延长线上,且EF=AE,以DE、EF为邻边作□DEFG,连接BG.
(1)当EF=FC时,求△ADE的面积;
(2)设AD=x,□DEFG与△ABC重叠部分的面积为y,求y与x的函数关系式;
(3)当点F在线段AC上时,若△DBG是等腰三角形,求AD的长.
18.(上海模拟)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°
,cos∠BAC=,点O在AB上,且CA=CO=6.将△ABC绕点A顺时针旋转得到△AB′C′,且C′落在CO的延长线上,连接BB′交CO的延长线于点D,
C′
△COA∽△BOD
(2)求BD的长.
19.(安徽)如图1,在△ABC中,D、E、F分别为三边的中点,G点在边AB上,△BDG与四边形ACDG的周长相等,设BC=a、AC=b、AB=c.
(1)求线段BG的长;
(2)求证:
DG平分∠EDF;
(3)连接CG,如图2,若△BDG与△DFG相似,求证:
BG⊥CG.
20.(浙江金华、丽水)在△ABC中,∠ABC=45°
,tan∠ACB=.如图,把△ABC的一边BC放置在x轴上,有OB=14,OC=,AC与y轴交于点E.
(1)求AC所在直线的函数解析式;
(2)过点O作OG⊥AC,垂足为G,求△OEG的面积;
(3)已知点F(10,0),在△ABC的边上取两点P,Q,是否存在以O,P,Q为顶点的三角形与△OFP全等,且这两个三角形在OP的异侧?
若存在,请求出所有符合条件的点P的坐标;
若不存在,请说明理由.
21.(浙江义乌)在锐角△ABC中,AB=4,BC=5,∠ACB=45°
.将△ABC绕点B按逆时针方向旋转,得到△A1BC1.
(1)如图1,当点C1在线段CA的延长线上时,求∠CC1A1的度数;
(2)如图2,连接AA1、CC1.若△ABA1的面积为4,求△CBC1的面积;
(3)如图3,点D为线段AB中点,点P是线段AC上的动点,在△ABC绕点B按逆时针方向旋转过程中,点P的对应点是点P1,求线段DP1长度的最大值与最小值.
图3
22.(浙江模拟)如图,在边长为2的等边△ABC中,AD⊥BC于点D,点P是边AB上的一个动点,过点P作PF∥AC交线段BD于点F,作PG⊥AB交AD于点E,交线段CD于点G,设BP=x.
(1)用含x的代数式表示线段DG的长,并写出自变量x的取值范围;
(2)记△DEF的面积为S,求S与x之间的函数关系式,并求出S的最大值;
P
(3)以P、E、F为顶点的三角形与△EDG是否可能相似?
如果能,求出BP的长;
23.(江苏模拟)在平面直角坐标系中,点C的坐标为(0,4),A(t,0)是x轴上一动点,M是线段AC的中点.把线段AM绕点A按顺时针方向旋转90°
,得到线段AB,过点B作x轴的垂线,过点C作y轴的垂线,两直线交于点D,直线DB交x轴于点E.
(1)若t=3,则点B的坐标为____________,若t=-3,则点B的坐标为____________;
(2)若t>0,当t为何值时,△BCD的面积等于6?
x
(3)是否存在t,使得以B、C、D为顶点的三角形与△AOC相似?
若存在,求此时t的值;
24.(江苏模拟)如图,△ABC和△ADE都是等腰直角三角形,∠ACB=∠ADE=90°
,∠BAE=135°
,AC=2,AD=1,F为BE的中点.
(1)求CF的长;
(2)将△ADE绕点A旋转一周,求点F运动路径的长.
25.(江苏模拟)如图,在△ABC中,AB=AC=10cm,BC=12cm,点D为AC边上一点,且AD=8cm.动点E从点B出发,以1cm/s的速度沿线段BC向终点C运动,F是射线CA上的动点,且∠DEF=∠B.设运动时间为ts,CF的长为ycm.
(1)求y与t之间的函数关系式及点F运动路线的长;
(2)当以点B为圆心,BE长为半径的⊙B与以点C为圆心,CF长为半径的⊙C相切时,求t的值;
(3)当△CEF为等腰三角形时,求t的值.
B
26.(江苏模拟)如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠A=90°
,AB=8,tanC=,BD=CD,E、F分别是线段BC、BD上的动点(点E与点B、C不重合),且∠DEF=∠ADB.设CE=x,DF=y.
(1)求BC和BD的长;
FM
(2)求y与x的函数关系式;
(2)当△DEF为等腰三角形时,求x的值.
27.(江苏模拟)如图,Rt△ABC中,∠BAC=90°
,AB=AC,D是BC的中点,E是AC上一点,点G在BE上,连接DG并延长交AE于F,若∠FGE=45°
BD·
BC=BG·
BE;
AG⊥BE;
(3)若E是AC的中点,求的值.
28(河北)如图1,点E是线段BC的中点,分别以B,C为直角顶点的△EAB和△EDC均是等腰直角三角形,且在BC的同侧.
(1)AE和ED的数量关系为______________,
AE和ED的位置关系为______________;
(2)在图中,以点E为位似中心,作△EGF与△EAB位似,点H是BC所在直线上的一点,连接GH,HD,分别得到了图2和图3.
①在图2中,点F在BE上,△EGF与△EAB的相似比是1:
2,H是EC的中点.
求证:
GH=HD,GH⊥HD.
②在图3中,点F在BE的延长线上,△EGF与△EAB的相似比是k:
1,若BC=2,请直接写出CH的长为多少时,恰好使得GH=HD且GH⊥HD(用含k的代数式表示).
29.(河北)如图1和图2,在△ABC中,AB=13,BC=14,cos∠ABC=.
探究如图1,AH⊥BC于点H,则AH=__________,AC=__________,△ABC的面积S△ABC=__________.
拓展如图2,点D在AC上(可与点A,C重合),分别过点A,C作直线BD的垂线,垂足为E,F.设BD=x,AE=m,CF=n.(当点D与A重合时,我们认为S△ABD=0)
(1)用含x,m或n的代数式表示S△ABD及S△CBD;
(2)求(m+n)与x的函数关系式,并求(m+n)的最大值和最小值;
(3)对给定的一个x值,有时只能确定唯一的点D,指出这样的x的取值范围.
发现请你确定一条直线,使得A,B,C三点到这条直线的距离之和最小(不必写出过程),并写出这个最小值.
30.(河北模拟)如图,在平面直角坐标系中,点O是坐标原点,在△ABC中,tan∠ACB=,BC=2AB,点B的坐标为(-4,0),点A、C分别在y轴正半轴和x轴正半轴上,点D是BC的中点.
(1)求点A的坐标;
(2)点P从C点出发,沿线段CB以每秒5个单位的速度向终点B匀速运动,过点P作PE⊥AB,垂足为E,PE交直线AC于点F,设EF的长为y(y≠0),点P的运动时间为t秒,求y与t之间的函数关系式(直接写出自变量t的取值范围);
(3)在
(2)的条件下,过点O作OQ∥AC交AB于Q点,连接DQ.是否存在这样的t值,使△FDQ是直角三角形?
若存在,求出t的值;
31.(山西模拟)如图1,在平面直角坐标系中,直线l与坐标轴相交于A(2,0),B(0,)两点,将Rt△AOB绕原点O逆时针旋转得到Rt△A′OB′.
(1)求直线l的解析式;
(2)若OA′⊥AB,垂足为D,求点D的坐标;
(3)如图2,若将Rt△AOB绕原点O逆时针旋转90°
,A′B′与直线l相交于点F,点E为x轴上一动点.试探究:
是否存在点E,使得以点A,E,F为顶点的三角形和△A′BB′相似.若存在,请求出点E的坐标;
32(陕西)如图,正三角形ABC的边长为3+.
(1)如图①,正方形EFPN的顶点E、F在边AB上,顶点N在边AC上.在正三角形ABC及其内部,以点A为位似中心,作正方形EFPN的位似正方形E′F′P′N′,且使正方形E′F′P′N′的面积最大(不要求写作法);
(2)求
(1)中作出的正方形E′F′P′N′的边长;
(3)如图②,在正三角形ABC中放入正方形DEMN和正方形EFPH,使得DE、EF在边AB上,点P、N分别在边CB、CA上,求这两个正方形面积和的最大值及最小值,并说明理由.
33.(陕西模拟)
(1)如图1,△ABC在平面坐标系内,点A(0,3),B(-3,0),C(2,0).一动点由点A沿y轴向下运动,运动到线段OA上的G点时,再沿GC到达C.若由A到G方向的速度是G到C方向的速度的2倍,要使动点由A-G-C所用的时间最短,求点G的坐标;
(2)如图2,A、B两村相距10千米,且tanA=,现计划修一条公路把A、B两村连接起来,由于A、B两村之间有些重要的建筑物不能直接经过,故计划先沿水平AC方向修到某处M,再由M处沿山坡修到B村.
①若由A到M的速度是M到B的速度的倍,要尽快完成任务,求AM的长;
②若由A到M的速度是M到B的速度的3倍,要尽快完成任务,求AM的长;
③若由A到M的速度是M到B的速度的n倍,要尽快完成任务,直接写出AM的长.
34.(新疆乌鲁木齐)如图,已知点A(-12,0),B(3,0),点C在y轴的正半轴上,且∠ACB=90°
D
(1)求点C的坐标;
(2)求Rt△ACB的角平分线CD所在直线l的解析式;
(3)在l上求出满足S△PBC=S△ACB的点P的坐标;
(4)已知点M在l上,在平面内是否存在点N,使以O、C、M、N为顶点的四边形是菱形.若存在,请直接写出点N的坐标;
35.(内蒙古赤峰)如图所示,要在燃气管道l上修建一个泵站,分别向A、B两镇供气,已知A、B到l的距离分别是3km、4km(即AC=3km,BE=4km),AB=xkm,现设计两种方案;
方案一:
如图①所示,AP⊥l于点P,泵站修建在P处,该方案中管道长度a1=AB+AP;
l
方案二:
如图②所示,点A′与点A关于l对称,A′B与l相交于点P,泵站修建在点P处,该方案中管道长度a2=AP+BP
(1)在方案一中,a1=____________km(用含x的式子表示);
(2)在方案二中,a2=____________km(用含x的式子表示);
(3)请你分析要使铺设的输气管道最短,应选择方案一还是方案二.
(C)
36.(黑龙江哈尔滨)如图,在平面直角坐标系中,点O坐标原点,直线y=2x+4交x轴于点A,交y轴于点B,四边形ABCO是平行四边形
,直线y=-x+m经过点C,交x轴于点D.
(1)求m的值;
(2)点P(0,t)是线段OB上的一个动点(点P不与O,B两点重合),过点P作x轴的平行线,分别交AB,OC,DC于点E,F,G.设线段EG的长为d,求d与t之间的函数关系式(直接写出自变量t的取值范围);
(3)在
(2)的条件下,点H是线段OB上一点,连接BG交OC于点M,当以OG为直径的圆经过点M时,恰好使∠BFH=∠ABO.求此时t的值及点H的坐标.
37(黑龙江哈尔滨)已知:
在△ABC中,∠ACB=90°
,点P是线段AC上一点,过点A作AB的垂线,交BP的延长线于点M,MN⊥AC于点N,PQ⊥AB于点Q,AQ=MN.
(1)如图l,求证:
PC=AN;
(2)如图2,点E是MN上一点,连接EP并延长交BC于点K,点D是AB上一点,连接DK,∠DKE=∠ABC,EF⊥PM于点H,交BC延长线于点F,若NP=2,PC=3,CK:
CF=2:
3,求DQ的长.
(图1)
38(哈尔滨模拟)已知△ABC中,∠ACB=2∠BAC,点E在边AC上,且AE=BE,CD平分∠ACB交AB于点D,连接DE.
(1)如图1,求证:
BD=ED;
(2)设线段CD、BE相交于点P,将∠BAC沿直线AC翻折得到∠B′AC(如图2),射线AB′交BE延长线于点Q,连接CQ.若DE:
BC=2:
3,求∠ACQ的正切值.
39.(哈尔滨模拟)在△ABC中,∠ACB=90°
,点P、D分别在边AB、AC上,且PC=PD.
(1)如图1,若tanB=1,请写出线段CD与线段PB的数量关系;
(2)如图2,若tanB=2,求证:
2BC=AD+PB.
(3)如图3,在
(2)的条件下,若点B关于直线CP的对称点E恰好落在边AC上,连接PE、BD,BD分别交PE、CP于M、N两点,且AD=2,求线段MN的长.
40.(哈尔滨模拟)已知△ABC中,∠ACB=2∠ABC,AD为∠BAC的平分线,E为线段AC上一点,过E作AD的垂线交直线AB于F.
(1)如图1,当点E与点C重合时,求证:
BF=DE;
(E)
(2)如图2,连接BE交AD于点N,M是BF的中点,连接DM.若DM⊥BF,DC=4,S△ABD:
S△ACD=3:
2,求DN的长.
41.(辽宁沈阳)已知,如图①,∠MON=60°
,点A,B为射线OM,ON上的动点(点A,B不与点O重合),且AB=4,在∠MON的内部、△AOB的外部有一点P,且AP=BP,∠APB=120°
(1)求AP的长;
点P在∠MON的平分线上;
(3)如图②,点C,D,E,F分别是四边形AOBP的边AO,OB,BP,PA的中点,连接CD,DE,EF,FC,OP.
①当AB⊥OP时,请直接写出四边形CDEF的周长的值;
②若CDEF的周长用t表示,请直接写出t的取值范围.
42.(辽宁抚顺)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°
,∠ABC=30°
.点D是直线BC上的一个动点,连接AD,并以AD为边在AD的右侧作等边△ADE.
(1)如图①,当点E恰好在线段BC上时,请判断线段DE和BE的数量关系,并结合图①证明你的结论;
(2)当点E不在直线BC上时,连接BE,其它条件不变,
(1)中结论是否成立?
若成立,请结合图②给予证明;
若不成立,请直接写出新的结论;
(3)若AC=3,点D在直线BC上移动的过程中,是否存在以A、C、D、E为顶点的四边形是梯形?
如果存在,直接写出线段CD的长度;
如果不存在,请说明理由.
图②
图
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