步步高高考数学大一轮复习 13基本逻辑联结词全称量词与存在量词教师用书 理 苏教版Word格式文档下载.docx
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1;
命题q:
∃x∈R,cosx≤-1,则下列结论是真命题的是________.
①p∧q;
②綈p∧q;
③p∨綈q;
④綈p∧綈q.
答案 ②
解析 ∵p是假命题,q是真命题,
∴綈p∧q是真命题.
2.(2013·
重庆改编)命题“对任意x∈R,都有x2≥0”的否定为________.
答案 存在x0∈R,使得x
<
解析 因为“∀x∈M,p(x)”的否定是“∃x0∈M,綈p(x0)”,故“对任意x∈R,都有x2≥0”的否定是“存在x0∈R,使得x
0”.
3.(2014·
重庆改编)已知命题
p:
对任意x∈R,总有2x>
0;
q:
“x>
1”是“x>
2”的充分不必要条件.
则下列命题为真命题的是________.
②綈p∧綈q;
③綈p∧q;
④p∧綈q.
答案 ④
解析 因为指数函数的值域为(0,+∞),所以对任意x∈R,y=2x>
0恒成立,故p为真命题;
因为当x>
1时,x>
2不一定成立,反之当x>
2时,一定有x>
1成立,故“x>
2”的必要不充分条件,故q为假命题,则p∧q、綈p为假命题,綈q为真命题,綈p∧綈q、綈p∧q为假命题,p∧綈q为真命题,故④正确.
4.若命题“∃x∈R,x2-mx-m<
0”是假命题,则实数m的取值范围是________.
答案 [-4,0]
解析 “∃x∈R,x2-mx-m<
0”是假命题,则“∀x∈R,x2-mx-m≥0”是真命题.即Δ=m2+4m≤0,
∴-4≤m≤0.
题型一 含有逻辑联结词命题的真假判断
例1
(1)命题p:
将函数y=sin2x的图象向右平移
个单位得到函数y=sin
的图象;
函数y=sin
cos
的最小正周期为π,则命题“p∨q”“p∧q”“綈p”中真命题的个数是________.
若a>
1,则ax>
logax恒成立;
在等差数列{an}中,m+n=p+q是an+am=ap+aq的充分不必要条件(m,n,p,q∈N*).则下面选项中真命题是________.
①(綈p)∧(綈q)②(綈p)∨(綈q)
③p∨(綈q)④p∧q
答案
(1)2
(2)②
解析
(1)函数y=sin2x的图象向右平移
个单位后,
所得函数为y=sin
=sin
,
∴命题p是假命题.
又y=sin
=sin2
=
-
∴其最小正周期为T=
=π,
∴命题q真.
由此,可判断命题“p∨q”真,“p∧q”假,“綈p”为真.
所以真命题的个数是2.
(2)当a=1.1,x=2时,
ax=1.12=1.21,logax=log1.12>
log1.11.21=2,
此时,ax<
logax,故p为假命题.
命题q,由等差数列的性质,
当m+n=p+q时,an+am=ap+aq成立,
当公差d=0时,由am+an=ap+aq不能推出m+n=p+q成立,故q是真命题.
故綈p是真命题,綈q是假命题,
所以p∧q为假命题,p∨(綈q)为假命题,(綈p)∧(綈q)为假命题,(綈p)∨(綈q)为真命题.
思维升华 “p∨q”“p∧q”“綈p”等形式命题真假的判断步骤:
(1)确定命题的构成形式;
(2)判断其中命题p、q的真假;
(3)确定“p∧q”“p∨q”“綈p”等形式命题的真假.
(1)(2014·
湖南改编)已知命题p:
若x>
y,则-x<
-y;
y,则x2>
y2.在命题①p∧q;
②p∨q;
③p∧(綈q);
④(綈p)∨q中,真命题是________.
(2)“p或q”为真命题是“p且q”为真命题的________条件.
答案
(1)②③
(2)必要不充分
解析
(1)当x>
y时,-x<
-y,故命题p为真命题,从而綈p为假命题.
当x>
y时,x2>
y2不一定成立,故命题q为假命题,从而綈q为真命题.
由真值表知,①p∧q为假命题;
②p∨q为真命题;
③p∧(綈q)为真命题;
④(綈p)∨q为假命题.
(2)若命题“p或q”为真命题,则p、q中至少有一个为真命题.
若命题“p且q”为真命题,则p、q都为真命题,
因此“p或q”为真命题是“p且q”为真命题的必要不充分条件.
题型二 含有一个量词的命题的真假判断与否定
例2
(1)下列命题中的假命题是________.
①∃x∈R,lnx=0;
②∃x∈R,tanx=
;
③∀x∈R,x2>
0;
④∀x∈R,3x>
0.
(2)写出下列命题的否定,并判断其真假:
①p:
∀x∈R,x2-x+
≥0;
②q:
所有的正方形都是矩形;
③r:
∃x0∈R,x
+2x0+2≤0;
④s:
至少有一个实数x0,使x
+1=0.
思维点拨 含一个量词的命题的否定要改变量词,并对结论进行否定.
答案
(1)③
解析
(1)∵ln1=0,∴①正确;
∵tanx∈R,∴∃x∈R,tanx=
正确,∴②正确;
当x=0时x2>
0不成立,∴③错;
∵x∈R,3x>
0正确,∴④正确.
(2)解 ①綈p:
-x0+
0,假命题.
②綈q:
至少存在一个正方形不是矩形,假命题.
③綈r:
∀x∈R,x2+2x+2>
0,真命题.
④綈s:
∀x∈R,x3+1≠0,假命题.
思维升华
(1)判定全称命题“∀x∈M,p(x)”是真命题,需要对集合M中的每个元素x,证明p(x)成立;
要判断存在性命题是真命题,只要在限定集合内至少找到一个x=x0,使p(x0)成立.
(2)对全(存在性)称命题进行否定的方法:
①找到命题所含的量词,没有量词的要结合命题的含义先加上量词,再改变量词.
②对原命题的结论进行否定.
(1)下列命题:
①若xy=1,则x、y互为倒数;
②四条边相等的四边形是正方形;
③平行四边形是梯形;
④实数的平方是非负数.
其中真命题的序号是________.
(2)命题“存在实数x,使x>
1”的否定是________.
答案
(1)①④
(2)对任意实数x,都有x≤1
解析
(1)四条边相等的四边形可能是菱形,故②错,③显然错误,①④正确.
(2)利用存在性命题的否定是全称命题求解.
“存在实数x,使x>
1”的否定是“对任意实数x,都有x≤1”.
题型三 逻辑联结词与命题真假的应用
例3
(1)设p:
关于x的不等式ax>
1的解集是{x|x<
0};
函数y=
的定义域为R.若p∨q是真命题,p∧q是假命题,则实数a的取值范围是________________.
“∀x∈[0,1],a≥ex”;
“∃x∈R,使得x2+4x+a=0”.若命题“p∧q”是真命题,则实数a的取值范围是__________.
答案
(1)
∪[1,+∞)
(2)[e,4]
解析
(1)根据指数函数的单调性,可知命题p为真命题时,实数a的取值集合为P={a|0<
a<
1},
对于命题q:
函数的定义域为R的充要条件是ax2-x+a≥0恒成立.
当a=0时,不等式为-x≥0,解得x≤0,显然不成立;
当a≠0时,不等式恒成立的条件是
解得a≥
.
所以命题q为真命题时,a的取值集合为Q={a|a≥
}.
由“p∨q是真命题,p∧q是假命题”,可知命题p,q一真一假,
当p真q假时,a的取值范围是P∩(∁RQ)={a|0<
1}∩{a|a<
}={a|0<
};
当p假q真时,a的取值范围是(∁RP)∩Q={a|a≤0或a≥1}∩{a|a≥
}={a|a≥1}.
综上,a的取值范围是
∪[1,+∞).
(2)若命题“p∧q”是真命题,那么命题p,q都是真命题.由∀x∈[0,1],a≥ex,得a≥e;
由∃x∈R,使x2+4x+a=0,知Δ=16-4a≥0,a≤4,因此e≤a≤4.
思维升华 以命题真假为依据求参数的取值范围时,首先要对两个简单命题进行化简,然后依据“p∧q”“p∨q”“綈p”形式命题的真假,列出含有参数的不等式(组)求解即可.
(1)已知命题p:
“∀x∈[1,2],x2-a≥0”,命题q:
“∃x∈R,使x2+2ax+2-a=0”,若命题“p且q”是真命题,则实数a的取值范围是________.
(2)命题“∃x∈R,2x2-3ax+9<
0”为假命题,则实数a的取值范围为________.
答案
(1){a|a≤-2或a=1}
(2)[-2
,2
]
解析
(1)由题意知,p:
a≤1,q:
a≤-2或a≥1,
∵“p且q”为真命题,
∴p、q均为真命题,
∴a≤-2或a=1.
(2)因题中的命题为假命题,则它的否定“∀x∈R,2x2-3ax+9≥0”为真命题,也就是常见的“恒成立”问题,因此只需Δ=9a2-4×
2×
9≤0,即-2
≤a≤2
常用逻辑用语与一元二次不等式
一、命题的真假判断
典例:
已知命题p:
∃x∈R,x2+1<
2x;
若mx2-mx-1<
0恒成立,则-4<
m<
0,那么________.
①“綈p”是假命题
②q是真命题
③“p或q”为假命题
④“p且q”为真命题
解析 由于x2-2x+1=(x-1)2≥0,
即x2+1≥2x,所以p为假命题;
对于命题q,当m=0时,有-1<
0,恒成立,
所以命题q为假命题.
综上可知:
綈p为真命题,
p且q为假命题,p或q为假命题.
答案 ③
温馨提醒 判断和一元二次不等式有关的命题的真假,首先要分清是要求解一元二次不等式,还是要求一元二次不等式恒成立(有解、无解),然后再利用逻辑用语进行判断.
二、确定参数的取值范围
(1)若命题“存在实数x,使x2+ax+1<
0”的否定是真命题,则实数a的取值范围为________.
(2)已知p:
∃x∈R,mx2+1≤0,q:
∀x∈R,x2+mx+1>
0,若p∨q为假命题,则实数m的取值范围为________.
解析
(1)方法一 由题意,命题“对任意实数x,使x2+ax+1≥0”是真命题,故Δ=a2-4×
1×
1≤0,
解得-2≤a≤2.
方法二 若命题“存在实数x,使x2+ax+1<
0”是真命题,则Δ=a2-4×
1>
0,解得a>
2或a<
-2.故原命题实数a的取值范围是取其补集,即[-2,2].
(2)依题意知,p,q均为假命题.当p是假命题时,∀x∈R,mx2+1>
0恒成立,则有m≥0;
当q是假命题时,则有Δ=m2-4≥0,m≤-2或m≥2.因此由p,q均为假命题得
即m≥2.
答案
(1)[-2,2]
(2)[2,+∞)
温馨提醒 在与全称命题、存在性命题有关的问题中,如果从原来的命题出发解决问题不方便,则可以先否定原来的命题,再依据补集思想解决原问题.
方法与技巧
1.把握含逻辑联结词的命题的形式,特别是字面上未出现“或”、“且”时,要结合语句的含义理解.
2.要写一个命题的否定,需先分清其是全称命题还是存在性命题,再对照否定结构去写,并注意与否命题区别;
否定的规律是“改量词,否结论”.
失误与防范
1.p∨q为真命题,只需p、q有一个为真即可;
p∧q为真命题,必须p、q同时为真.
2.p或q的否定:
非p且非q;
p且q的否定:
非p或非q.
3.命题的否定与否命题
“否命题”是对原命题“若p,则q”的条件和结论分别加以否定而得到的命题,它既否定其条件,又否定其结论;
“命题的否定”即“非p”,只是否定命题p的结论.
A组 专项基础训练
(时间:
35分钟)
1.设命题p:
函数y=sin2x的最小正周期为
函数y=cosx的图象关于直线x=
对称.则下列判断正确的是________.
①p为真;
②綈q为假;
③p∧q为假;
④p∨q为真.
解析 p是假命题,q是假命题,因此只有③正确.
2.已知命题p:
所有有理数都是实数;
正数的对数都是负数,则下列命题中为真命题的是________.
①綈p∨q;
②p∧q;
③綈p∧綈q;
④綈p∨綈q.
解析 不难判断命题p为真命题,命题q为假命题,从而上述叙述中只有綈p∨綈q为真命题.
3.命题“存在x∈R,使得x2+x+2≤0”是________命题(用“真”或“假”填空).
答案 假
解析 ∵Δ=1-8<
0,
∴x2+x+2>
0恒成立,
∴不存在x∈R,使x2+x+2≤0.
4.已知命题p:
所有指数函数都是单调函数,则綈p为________.
答案 存在一个指数函数,它不是单调函数
解析 命题p:
所有指数函数都是单调函数,则綈p为:
存在一个指数函数,它不是单调函数.
5.已知命题p:
“任意x∈[0,1],a≥ex”,命题q:
“存在x∈R,x2+4x+a=0”,若命题p为真命题,q是假命题,则实数a的取值范围是________.
答案 (4,+∞)
解析 当x∈[0,1]时,ex∈[1,e],∴a≥e;
又q为假命题,∴Δ=16-4a<
0,即a>
4.综上,当p为真命题,q为假命题时,a的取值范围是(4,+∞).
6.下列结论正确的个数是________.
①已知复数z=i(1-i),z在复平面内对应的点位于第四象限;
②若x,y是实数,则“x2≠y2”的充要条件是“x≠y或x≠-y”;
③命题p:
“∃x0∈R,x
-x0-1>
0”的否定綈p:
“∀x∈R,x2-x-1≤0”;
答案 1
解析 ①已知复数z=i(1-i),z在复平面内对应的点位于第四象限是错误的,因为z=1+i,对应点在第一象限;
②若x,y是实数,则“x2≠y2”的充要条件是“x≠y或x≠-y”是错误的,因为“x2≠y2”的充要条件是“x≠y且x≠-y”;
“∀x∈R,x2-x-1≤0”是正确的,存在性命题的否定是全称命题.
7.若命题p:
对于任意x∈[-1,1],有f(x)≥0,则对命题p的否定是________.
答案 存在x0∈[-1,1],使f(x0)<
8.已知命题p:
x2+2x-3>
>
1,若“綈q且p”为真,则x的取值范围是____________________.
答案 (-∞,-3)∪(1,2]∪[3,+∞)
解析 因为“綈q且p”为真,即q假p真,而q为真命题时,
<
0,得2<
x<
3,所以q假时有x≥3或x≤2;
p为真命题时,由x2+2x-3>
0,解得x>
1或x<
-3,
由
解得x<
-3或1<
x≤2或x≥3,
所以x的取值范围是x<
x≤2或x≥3.
9.下列结论:
①若命题p:
∃x∈R,tanx=1;
∀x∈R,x2-x+1>
0.则命题“p∧(綈q)”是假命题;
②已知直线l1:
ax+3y-1=0,l2:
x+by+1=0,则l1⊥l2的充要条件是
=-3;
③命题“若x2-3x+2=0,则x=1”的逆否命题:
“若x≠1,则x2-3x+2≠0”.其中正确结论的序号为________.
答案 ①③
解析 ①中命题p为真命题,命题q为真命题,
所以p∧(綈q)为假命题,故①正确;
②当b=a=0时,有l1⊥l2,故②不正确;
③正确.所以正确结论的序号为①③.
10.已知c>
0,且c≠1,设p:
函数y=cx在R上单调递减;
函数f(x)=x2-2cx+1在
上为增函数,若“p且q”为假,“p或q”为真,求实数c的取值范围.
解 ∵函数y=cx在R上单调递减,∴0<
c<
1.
即p:
0<
1,∵c>
0且c≠1,∴綈p:
c>
又∵f(x)=x2-2cx+1在
上为增函数,
∴c≤
即q:
c≤
,∵c>
0且c≠1,
∴綈q:
且c≠1.
又∵“p或q”为真,“p且q”为假,
∴p真q假或p假q真.
①当p真,q假时,
{c|0<
1}∩
②当p假,q真时,{c|c>
=∅.
综上所述,实数c的取值范围是
B组 专项能力提升
25分钟)
1.已知命题p:
∃x∈R,x-2>
lgx,命题q:
∀x∈R,x2>
0,则________.
①p∨q是假命题;
②p∧q是真命题;
③p∧(綈q)是真命题;
④p∨(綈q)是假命题.
解析 ∵x=10时,x-2=8,lg10=1,x-2>
lgx成立,∴命题p为真命题,又x2≥0,命题q为假命题,
所以p∧(綈q)是真命题.
2.下列结论正确的是________.
①若p:
∃x∈R,x2+x+1<
0,则綈p:
∀x∈R,x2+x+1<
②若p∨q为真命题,则p∧q也为真命题;
③“函数f(x)为奇函数”是“f(0)=0”的充分不必要条件;
④命题“若x2-3x+2=0,则x=1”的否命题为真命题.
解析 ∵x2+x+1<
0的否定是x2+x+1≥0,∴①错;
若p∨q为真命题,则p、q中至少有一个为真,∴②错;
f(x)为奇函数,但f(0)不一定有意义,∴③错;
命题“若x2-3x+2=0则x=1”的否命题为“若x2-3x-2≠0,则x≠1”是真命题,④对.
3.下列结论正确的个数是________.
①命题“∃x0∈R,x
+1>
3x0”的否定是“∀x∈R,x2+1≤3x”;
②函数f(x)=cos2ax-sin2ax的最小正周期为π是“a=1”的必要不充分条件;
③x2+2x≥ax在x∈[1,2]上恒成立⇔(x2+2x)min≥(ax)max在x∈[1,2]上恒成立;
④“平面向量a与b的夹角是钝角”的充分必要条件是“a·
b<
答案 2
解析 ①中命题“∃x0∈R,x
3x0”的否定是“∀x∈R,x2+1≤3x”为真命题;
②中如果函数f(x)=cos2ax-sin2ax=cos2ax的最小正周期为π,那么由
=π得a=±
由a=1得f(x)=cos2ax-sin2ax=cos2ax=cos2x,其最小正周期为π,所以
(2)是真命题;
③是假命题,由x∈[1,2],可将x2+2x≥ax化为a≤x+2,所以原命题等价于a≤(x+2)min;
④是假命题,因为a·
0,有可能a与b的夹角是π.
4.给定两个命题,命题p:
对任意实数x都有ax2>
-ax-1恒成立,命题q:
关于x的方程x2-x+a=0有实数根.若“p∨q”为真命题,“p∧q”为假命题,求实数a的取值范围.
解 若p为真命题,则a=0或
即0≤a<
4;
若q为真命题,则(-1)2-4a≥0,即a≤
因为“p∨q”为真命题,“p∧q”为假命题,
所以p,q中有且仅有一个为真命题.
若p真q假,则
若p假q真,则a<
综上,实数a的取值范围为(-∞,0)∪(
,4).
5.设命题p:
实数x满足x2-4ax+3a2<
0,其中a>
0,命题q:
实数x满足
(1)若a=1,且p∧q为真,求实数x的取值范围;
(2)綈p是綈q的充分不必要条件,求实数a的取值范围.
解
(1)由x2-4ax+3a2<
0,得(x-3a)(x-a)<
又a>
0,所以a<
3a.
当a=1时,1<
3,即p为真命题时,
实数x的取值范围是1<
3.
解得
即2<
x≤3.
所以q为真时实数x的取值范围是2<
若p∧q为真,则
⇔2<
3,
所以实数x的取值范围是(2,3).
(2)綈p是綈q的充分不必要条件,
即綈p⇒綈q且綈qD
綈p.
设A={x|x≤a或x≥3a},B={x|x≤2或x>
3},
则AB.∴0<
a≤2且3a>
∴1<
a≤2,
∴实数a的取值范围是(1,2].
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